一道双曲线试题的命制失误与修正

1.试题呈现。题目。已知F₁,F₂分别为双曲线C:x²/3-y²/9的左,右焦点,过点F₂的直线与双曲线的右支交于A,B两点,设H(xH+yH),G(xc+yc)分别为△AF₁F₂,△BF₁F_z的内心,若|yH|=3|yc|,则|HG|=().(A)2√3.(B)3.(C)3√3.(D)4.2.试题解析。本题是安庆市省示范高中2020年高考模拟考试文科数学的第11题。     

一道全国高中数学联赛预赛试题的推广

<正>题目(2015年全国高中数学联赛四川预赛15题)过双曲线x²-y2-y²/4=1的右支上任意一点P(x_0,y_0)作一直线l与两条渐近线交于A、B,若P是AB的中点.(1)求证:直线l与双曲线只有一个交点;(2)求证:△OAB的面积为定值.解答证明:(1)双曲线的两条渐近线方程为y=±2x.当y_0=0时,易得直线l的方程为x=x_0,此时直线l与双曲线只有一个交点.     

我为高考设计题目

<正>题424在平面直角坐标系xOy中,点F的坐标为(2,0),以线段FG为直径的圆与圆O:x²+y²=3相切.(1)求动点G的轨迹的方程;(2)记动点G的轨迹为曲线E.过点F且不与坐标轴平行的直线l与E的右支交于A、B两点,P为线段AB的中点,直线OP与过点F且垂直于l的直线交于Q点,与E的右支交于R点,证明|OP|,|OR|,|OQ|成等比数列.     

新题征展(124)

A 题组新编 1.(张乃贵)(1)已知F1,F2是双曲线x2/a2-y2/b2=1的左、右焦点,点P是双曲线右支上的一点,且PF1=5PF2,则双曲线的离心率取值范围是____;     

双曲线和椭圆的又一个几何性质

<正>问题设F₁,F₂是双曲线x²-y²=4的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线,垂足为P,求点P的轨迹方程.     

千头万绪理思路 运算优化有恒心——记一道解析几何试题的命制历程

<正>解析几何题在高考中所占比重较大,下面通过一道解析几何试题的命题过程的分析,希望有助于抓住解析几何试题的特点,便于提高解析几何的复习质量.1试题(改编)已知双曲线■(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为■,圆O的方程为x²+y²=2,过圆O上任意一点P作圆O的切线l交双曲线于A,B两点.     

椭圆准线的六种作图方法

<正>对于椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a> b> 0),右焦点F(c,0),直线l过F交椭圆于A、B两点,下面的定理给出了其准线的六种作法,并能类比应用于双曲线和抛物线的情形.方式1若l与坐标轴不平行,做B关于x轴的对称点B',作直线AB'交x轴于M,过M作x轴垂线m即为椭圆右准线.     

2014年一道高考题探究

<正>题目已知双曲线C:(x²)/(a2)/(a²)-y2)-y²=1的右焦点F,点A、B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过C上一点P(x_0,y_0)(y_0≠0)的直线l:(x_0x)/a2=1的右焦点F,点A、B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过C上一点P(x_0,y_0)(y_0≠0)的直线l:(x_0x)/a²-y_0y=1与直线AF相交于点M,与直     

相似双曲线的一组优美性质

文[1]介绍了相似椭圆的一组性质,很容易把这些性质类推至双曲线.不仅如此,相似双曲线还具有更多的优美性质.为行文方便,本文约定双曲线C1的方程为ax22-by22=λ2(0<λ<1),双曲线C2的方程为xa22-by22=1.显然C1与C2相似,且相似比为λ.定理1过双曲线C2上任一点P引C2的切线l交双曲线C1于A,B两点.则|PA|=|PB|.定理2若直线l与双曲线C1交于A,B两点,与双曲线C2交于C,D两点,则|AC|=|BD|.以上性质的证明与文[1]完全类似,故略.定理3过原点的直线l1与双曲线C1,C2的右支分别交于点A1,A2.过原点的直线l2与双曲线C1,C2的右支分别交于点B1,B2.则…     

综合题新编选登

题136已知双曲线x~2-y~2=1,过右焦点F_2的直线与右支交于A,B两点,且线段AF_2,BF_2的长度分别为m,n.1)证明:mn≥1.2)若m>n当直线AB的斜率k∈[5~(1/2),3]时,求m/n的取值范围.     

同轴椭圆与双曲线的两个性质

<正>如果椭圆的长轴、短轴分别与双曲线的实轴、虚轴(或虚轴、实轴)重合,则称这样椭圆与双曲线是同轴曲线.同轴椭圆与双曲线方程的形式类似,应该有内在的联系,本文进行初步探讨.题目如图1,已知椭圆D:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,双曲线C:x2=1,双曲线C:x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(或y2=1(或y²/b2/b²-x2-x²/a2/a²=1),其中a>b>0.     

新题征展(11)

A.题组新编1.( 1)过定点 A( 2 ,1)且与双曲线 x2 - y2 =4恰有一个公共点的直线共有　　条 ;( 2 )过定点 B( - 2 ,- 2 )且与双曲线 x2 - y2 =4恰有一个公共点的直线共有　　条 ;( 3)以双曲线 x2 - y2 =4的两支为间隔把平面划分成左、中、右三个区域 ,其中过中域 (不含边界 )任一     

一题答案引发的思考与探究

<正>在高二解析几何单元测试中,有这样一道题:题目在平面直角坐标系xOy中,过双曲线x2-y2/9=1的左焦点F1作圆x2+y2=1的一条切线(切点为T)交双曲线右支于P,若M为线段F1P的中点,则|OM|-|MT|= _____.在答卷中有52.3%的人为2,有45.6%的     

椭圆问题的推广及变式

<正>众所周知,数学的学习离不开解题,对于典型的试题,不仅要探究一题多解,更要思考一题多变,多角度的变换试题的条件和结论,力争构造出更加新颖的试题,切实达到一题多用、融会贯通的效果.题目(2012年高中数学联赛贵州省预赛)如图1,已知A、B是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左、右顶点,P、Q是该椭圆上不同于顶     

一个难以绕过的误区

下面这道题来自11版5·3数学,无论是出题者还是我的老师以及同学们都由于想当然地陷入了误区.过双曲线x2/a2-y2/b2=1左焦点F作⊙O:x2+y2=a2的切线交右支于点A,切点为T,AF中点为M,求OM-MT.     

一道2021年高三联考圆锥曲线解答题的解法探究

<正>(湖南省天壹名校联盟2022届高三入学摸底考试第22题)椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1 (a> b> 0)的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,直线AB的斜率为-1/2,△OAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆上有两点M,N (异于椭圆顶点,且MN与x轴不垂直),证明:当△OMN的面积最大时,直线OM与ON的斜率之积为定值.     

2014年一道高考解析几何压轴题透视

<正>高考题往往具有丰富的内涵,数学教师要善于思考、发掘、研究,在备考复习中恰当选用,这对提高学生的数学思维水平和解题能力十分有益.笔者对2014年安徽高考数学文科卷第21题压轴题进行透视.1题目如图1,设F₁,F₂分别是椭圆E:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF₁|=3|F₁B|.（Ⅰ）若|AB|=4,△ABF₂     

参数方程在数学竞赛中的应用

<正>题目已知A、B是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左、右顶点,P、Q是该椭圆上不同于顶点的两点,且直线AP与QB,PB与AQ分别交于M、N.(1)证明:MN⊥AB;(2)若弦PQ过椭圆的右焦点F_2,求直线MN的方程.分析与猜想对于椭圆的大题计算量本来就很大,初看此题似乎什么条件都没有,笔者也试着从一般方法做过,但计算量实在很大.而后仔细分析,此时想着从椭圆的参数方     

“母子”椭圆和双曲线及其一个有趣性质

<正>椭圆（x²/c²）+（y²/b²）=1(a>c>6>0,c=（a²-b²）^1/2内含于椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）,双曲线（x²/c²） -（y²/b²）=1(a>0,b>0,c=（a⁺b²）^1/2内含于双曲线（x²/a²）-（y²/b²）=1（n>0,b>0）.所以,我们不妨把     

2016年高考数学一题的多解与引申

<正>2016年江苏高考第10题以椭圆为载体,主要考查椭圆的离心率的求法,此题看似平淡,但是设计不落俗套,匠心独运,综合考查了学生运算能力、数形结合等思想方法.一、原题回放如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b/2