不等式证明的常用方法

不等式在数学中的地位十分重要，证明不等式的方法和技巧也很多，本文介绍一些常用方法及其在数学竞赛中的应用。     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97.　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :(ａ 1 ) 3ｂ (ｂ 1 ) 3ｃ (ｃ 1 ) 3ａ ≥814.下面给出此题的证明 .证　左边≥ 3 (ａ 1 ) (ｂ 1 ) (ｃ 1 )3 ａｂｃ=3(ａ 12 12 ) (ｂ 12 12 ) (ｃ 12 12 )3 ａｂｃ≥ 3·33 ａ4·33 ｂ4·33 ｃ43 ａｂｃ =814.等号当且仅当ａ =ｂ =ｃ =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求证 :　　(ａ2 1 ) ｍａ1 (ａ3 1 ) ｍａ2 … (ａ1 1 ) ｍａｎ≥ ｎｍｍ(ｍ - 1 ) ｍ -1.证　左边≥ｎ[(ａ2 1 ) (ａ3 1 )…     

平几证题思路探索方法

在平几解题教学中至关重要的是培养学生对证题思路的分析探索能力,本文将以一些典型的问题为例,介绍探索几何证题思路的几种常用思考方法,通过这些分析将会看到,要能在证题过程中处处得心应手,有必要熟记一些常见的基本题,这些基本题包括常用定理及课本中的一些典型习题。一、分析、联想、转化当你拿到一道几何题,该从何入手呢?一般地说,先从结论入手,对问题的结论与条件进行分析,把握住题中所提供的各种信息。对这些信息能联想到一些已有的结论,应用你所联想到的结论能把原命题转化为一个新命题。用重复上面的分析直至把原命题转化成一个你已熟知的命题,从而使问题获得解决,这种     

浅谈平行弦在证题中的作用

在圆中 ,由于借助平行法可以传递同圆中的弧 ,弦及圆周角等有关几何量之间的数量关系 ,因而在解决一些与平行弦有关的几何命题时 ,往往可以通过构造平行弦而获得证题思路 ,效果十分明显 ,下面分类举例说明平行弦在证题中的应用 .供读者参考 .1　证弧的倍分关系例 1　已知 :如图 ,ＡＢ是⊙ｏ的直径 ,ＯＣ ⊥ＡＢ ,在ＡＣ⌒ 上取一点Ｄ ,过Ｄ作弦ＤＥ交ＯＣ于点Ｆ ,且ＤＦ=ＯＤ ,求证 :ＢＥ⌒ =3ＡＤ⌒ .证明　过Ｄ作ＤＧ∥ＡＢ交⊙ｏ于Ｇ ,连结ＯＥ、ＯＧ .因ＤＧ ∥ＡＢ ,故ＡＤ⌒ =ＢＧ⌒故∠ＡＯＤ =∠ＢＯＧ　　又因ＤＧ∥ＡＢ ,故∠ＡＯ…     

用数值代入的方法证明平面几何题

平面几何中的证明题很多可以用数值代入的方法去证明,其基本思想是这样的:首先将几何证明中的点的坐标用符号来表示,然后将几何条件转化为代数求解问题,最后对给定的符号用具体的数值来代替,从而达到证明的目的.     

学习《平面几何教本》推进数学思维方法的教学——纪念傅种孙先生百年诞辰

学习《平面几何教本》推进数学思维方法的教学—纪念傅种孙先生百年诞辰王树茗（北京一零一中学１０００９１）原名《高中平面几何》，１９３３年由算学丛刻社出版，前后共出四版．１９８２年北师大出版社出版了第四版的白话译本，易名如上．本文引语多按原著．傅种孙先...     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

简捷证明一题

题目 已知a,b,c∈R,且1.4（c-a）^2=（a-b）（b-c）,则a,b,c成等差数列．     

浅谈初中数学二次函数解析式的解题方法和技巧

二次函数非常重要,是初中数学学习中最难的知识点之一,也是学生最容易出错的地方.其中,求二次函数解析式是教师教学的重点,如何让学生掌握解题方法与技巧,提升解题正确率是教师思考的关键点.文章分析了二次函数解析式的多种解题方法和技巧,希望能为教师和学生带来启发.     

培养创造性思维的一道好题

文〔1〕对“题 :设ａ1 ,ｂ1 ,ｃ1 ,ａ2 ,ｂ2 ,ｃ2 ∈Ｒ ∪{0 },且ａ1 ｂ2 =ｂ1 ｃ2 =ｃ1 ａ2 =1 .求证ａ1 ａ2 ｂ1 ｂ2 ｃ1 ｃ2 ≤ 1”根据创造规律 ,变换观点 ,得到了一些创造性结果 .本文对文〔1〕的结果进行了深入探讨 ,也得到了一些创造性结果 ,权作文〔1〕的补充 .1　变换条件　结论怎样若题设改为 :设ａ1 ,ｂ1 ,ｃ1 ,ａ2 ,ｂ2 ,ｃ2 ∈Ｒ ∪ {0 },且ａ1 ｂ2 =ｌ1 ,ｂ1 ｃ2 =ｌ2 ,ｃ1 ａ2=ｌ3,ｌ1 ｌ2 ｌ3≠ 0 ,结论如何 ?把ａ1 ｂ2 =ｌ1 变形为 1ｌ1ａ1 1ｌ1ｂ2 =1ｂ1 ｃ2 =ｌ2 变形为1ｌ2ｂ1 1ｌ2ｃ2 =1ｃ1 ａ2 =ｌ3变形…     

初中数学选择题解题方法探析

选择题是初中数学考题目类型的重要组成部分,并且在考试试卷中占据很大的比例,学生唯有具备扎实的数学基础,掌握选择题的解题技巧,才能快速、正确解答选择题,不断提升数学成绩.本文就以此作为研究焦点,结合典型的选择题目,对常见的数学选择题目做题方法进行简单的分析.     

在初中数学解题教学中渗透数学思想方法

相较于小学数学,初中数学难度加深.初中阶段是学生数学学习中容易出现两极分化的阶段,究其原因,发现与教师教学有很大的关系,教师更多的是重视数学知识的讲解、应用和巩固,没有将数学思想方法渗透到学生的解题过程当中去.学生也没有将数学解题过程当中的一些方法或者思维模式进行归类总结,达到掌握某一类数学题的解题方法,从而学生缺乏逻辑思维能力,学习中不会举一反三,很多题目稍微变换出题方式,学生就不会解答.因此应该在数学解题讲解过程中渗透数学思想方法,提升学生的逻辑思维能力.     

评第41届IMO第2题

20 0 0年第 4 2届ＩＭＯ的第 2题是 :设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａｂｃ =1.求证 :(ａ - 1 1ｂ) (ｂ - 1 1ｃ) (ｃ - 1 1ａ)≤ 1( 1)此题是一道陈题的变形 .事实上 ,由ａｂｃ =1,不妨设ａ =ｘｙ ,ｂ =ｙｚ ,ｃ=ｚｘ (ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ )代入 ( 1)式 ,得( ｘｙ - 1 ｚｙ) ( ｙｚ - 1 ｘｚ) ( ｚｘ - 1 ｙｘ)≤ 1 (ｘ ｚ - ｙ) (ｘ ｙ -ｚ) ( ｙ ｚ -ｘ)≤ｘｙｚ . ( 2 )( 2 )式是 1983年瑞士国际数学竞赛题之一 .关于它的证明较多 .其中最简单的莫过于如下证法 :由　ｘ2 ≥ｘ2 - ( ｙ -ｚ) 2=(ｘ ｙ -ｚ) (ｚ ｘ - ｙ) ,ｙ2 ≥ ( ｙ ｚ -ｘ) (…     

从平面几何角度巧解某些高考解析几何题

高中《解析几何》中圆锥曲线这一部分的题目计算量大，很多学生望而生畏，拿到题目之后就开始设坐标，然后就无从下手，因为他们既难以摸清题目的真正意思(本质特征)，又惧怕于复杂的计算过程，所以在历年的高考中解析几何大题的得分并不理想。本文试从平面几何的角度来审视     

证明不等式的基本方法

证明不等式的基本方法主要有以下几种 :1)比较法 .根据实数的有序性 ,在证明不等式A>B或A 相似文献   

剖析初中数学图形旋转问题的几种方法

图形旋转问题是初中数学课程学习的重点和难点,这类题型在中考试题中经常出现,给不少学生带来困难.本文从图形旋转的规律本质分析出发,借助典型的案例进行剖析,帮助厘清图形旋转问题的本质,帮助学生掌握高效解决图形旋转问题的重点方法与思路,以飨读者.