等差（等比）数列中的相等问题

我们知道 ,非零的常数列既是等差数列 ,又是等比数列 .在这类数列中 ,对于任意自然数 p ,q ,都有ap=aq.除此之外 ,还有没有其它等差 (等比 )数列使ap=aq 成立 ?Sp =Sq的情况又如何 ?本文将对这些问题进行探讨 .1　等差数列中的相等问题设 {an}是等差数列 (非常数列 ,下同 ) ,是否存在自然数 p ,q ( p≠q) ,使ap =aq,Sp=Sq?分析　若ap=aq,则由等差数列的通项公式有a1+ ( p - 1 )d =a1+ ( q - 1 )d .因为 {an}不是常数列 ,即公差d≠ 0 ,所以 ,必有 p =q .这与 p≠q的条件相矛盾 .这样 ,我们就得出第一个结论 :对于非常数列的数差数列 ,它的…     

有穷等差数列的中间项

引理 在等差数列{an}中,若p＋q=r＋s,则ap＋aq=ar＋as． 特别地,当p＋q=2m时,有ap＋aq=2am．     

等差数列的性质及其应用

本文介绍等差数列的性质,目的在于掌握等差数列的性质,灵活运用性质解题,以提高解题能力.常用的性质有以下三条:(1)在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N+).(2)在等差数列{an}中,若m+n=2k,则     

等差数列中一条性质的推广

我们知道在等差数列{an}中有这样一条性质：若m＋n=p＋q,则am＋an=ap＋aq（m,n,p,q均为正整数）．这条性质有着很广泛的应用．     

在平凡中凸现新课标理念——"等差数列的前n项和"的教学实录及其反思

教学内容:人教版《全日制普通高级中学教科书试验修订本.必修》第一册(上)第三章第3节“等差数列的前n项和”第一课时教学目标:略教与学互动过程1复习提问,温故而知新[评注:告知目标]师:上一节习题3.2第10题,通过大家的合作探索,我们得出了等差数列{an}的一个什么性质?(播放媒体资料)生1:若m n=p q,则am an=ap aq(m,n,p,q∈N).师:由此,我们可以得出“等差数列中,与首末两项等距离的两项之和是什么关系?(有穷数列)”生1:相等.由等差数列的性质“若m n=p q,则am an=ap aq”可知.[评注:承上启下的复习提问,既是巩固上节课的探究成果,激起学生…     

一道北京高考题的研究历程

2008年北京高考第6题：已知数列{an},对任意的p,q∈N^＊满足ap＋q=ap＋aq,且a2=-6,那么a10等于（ ）     

一类可以从等式出发进行思考的不等式问题

近日,学生问我一道武汉大学自主招生试题的解法,题目如下:设正项数列{an}有an-1+an+1≥2an,(1)求证:ap-aq≥(p-q)(aq+1-aq)(p,q∈N*),(2)若数列{an}的前n项和Sn,求证:an-an+1≤2Sn/n(n+1).第一眼看到这个问题,感觉很熟悉,因为条件中取等号时{an}就是等差数列,但一时又对该问题的解决感到束手无策.……     

2004年全国高考数学试题分类集锦(Ⅱ)

4 数列 (1)[全国卷Ⅲ理(3)]设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则( ).     

等差(比)数列前n项和的一个性质及应用

对于等差(比)数列{an},我们可得如下性质:定理1设等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,则Sm n=Sm Sn mnd(1)证在等差数列{an}中,am k=ak md(m,k∈N ).Sm n=a1 a2 a3 … am am 1 am 2 … am n=Sm (a1 md) (a2 md) … (an md)=Sm Sn mnd.定理2设等比数列{an}的公比为q,前n项的和     

关于正项等比数列方幂的不等式

文[1 ]给出了正项等差数列方幂的若干不等式,本文将建立正项等比数列方幂一些类似的不等式.为简便起见,以下约定数列{an}是正项等比数列,公比为q (q >0 ) ,前n项和为Sn,m ,p ,n ,k均为正整数,且m

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AN EXTENSION OF THE HARDY-LITTLEWOOD-PóLYA INEQUALITY

The Hardy-Littlewood-Pólya (HLP) inequality [1] states that if a∈l~p,b∈l~q and p>1,q>1,1/p + 1/q>1, λ=2-(1/p+1/q),then Σ[(a_rb_s)/︱r-s︱~λ](r≠s)≤C‖a‖_P‖b‖_q.In this article, we prove the HLP inequality in the case where λ= 1, p = q = 2 with a logarithm correction, as conjectured by Ding [2]:Σ[(a_rb_s)/︱r-s︱~λ](r≠s,1≤r,s≤N)≤(2㏑N+1)‖a‖_2‖b‖_2.In addition, we derive an accurate estimate for the best constant for this inequality.     

等差数列的等比累进和

设公差为d的等差数列{an}的前k1,k2,…,kn项的和,依次为Sk1,Sk2,…,Skn.当k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列时,则称Sk1 Sk2 … Skn为等差数列的等比累进和,并记为SSn.若令m=k1(1-qn)1-q,m′=k1(1 qn)1 q,则有如下的定理SSn=ma1 12m(m′-1)d.证∵公差为d的等差数列{an}的前ki项和为Ski=kia1 12ki(ki-1)d=12(2a1-d)ki 12dki2,令i=1,2,…,n,得n个等式,把这n个等式的两边分别相加,并整理得SSn=Sk1 Sk2 … Skn=12(2a1-d)(k1 k2 … kn) 12d(k12 k22 … kn2).由k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列,可知k12,k22,…,kn2是公比为q2…     

Logistic增长的线性反馈控制

研究非自治时滞Logistic线性反馈控制系统{n'(t)=r(t)n(t)[1-a1n(t)+a2n(t-τ)/K-cu(t-σ)]u'(t)=p(t)[-au(t)+bn(t-δ)]平衡点的3/2-全局吸引性,所获定理大大改进已有结果.     

一道高中数学预赛题的多向推广

众所周知,等差数列存在一些美妙的性质,列出如下. 性质1 等差数列{an｝的前n项之和An=an2+bn. 性质2 若等差数列{an｝与等差数列{bn｝前n项之和分别为An,Bn,则An/Bn=an+b/cn+d. 证明:设{an｝,{bn｝的公差分别为d1,d2,由An=na1+n(n-1)d1,Bn=nb1+n(n-1)d2,得An/Bn=d1/2n+(a1-d1/2)/d2/2n+(b1-d2/2)=an+b/cn+d,其中a=d1/2,b=a1-d1/2,c=d2/2,d=b1-d2/2.     

数列中两个简单恒等式的应用

1　两个恒等式“某代数式减去一数 ,又加上这个数 .其值不变 .”这是一个简单的原理 ,多次运用它便得数列 {an}的一个非常有用的恒等式 :an=( an- an- 1) ( an- 1- an- 2 ) … ( a3- a2 ) ( a2 - a1) a11或表示为an =a1 ∑nk=2( ak - ak- 1) 2更一般地有an =ap ∑nk=p 1　 ( ak - ak- 1) .类似地 ,若 {an}中各项非零 ,则有恒等式 :an =anan- 1.an- 1an- 2.an- 2an- 3.… .a2a1.a13从形式上看 ,1、3两恒等式都简单而且和谐有序 ,他们有重要的应用价值 .例如 ,若{an}是等差数列 ,1式中每个括号的值为公差 d,故 1式就化成了通项公式…     

等差数列中“和问题”的一种处理方法

公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1 (n-1)d (n∈N),若函数f(x)=dx (a1-d) (x∈R),则有an=f(n).本文称函数f(x)为等差数列{an}的伴随函数,这样便有下面的定理.定理 若f(x)为等差数列{an}的伴随函数,且mi (i=1,2,3,…,k)为自然数,则证 ∵ f(x)为等差数列{an}的伴随函数,∴ f(x)=dx (a1-d) (x∈R),故定理得证.推论 若f(x)为等差数列{an}的伴随函数,Sn为前n项和,则证 由定理得：利用定理及推论可巧妙解答等差数列中有关的和问题.例1 在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,则a2 a8=( )(A) 45. (B) 75. (C) 180.…     

综合题新编选登

题197设a1=1,an 1=2an n 1.(Ⅰ)是否存在常数p,q使{an pn q}为等比数列?若存在,求出p,q的值,若不存在,说明理由:(Ⅱ)求{an}的通项公式;(Ⅲ)当n≥5时,证明:an>(n 2)2.解(Ⅰ)由an 1 p(n 1) q=2(an pn q)得an 1=2an pn (q-p).可见应有p=1,q-p=1,p=1,q=2,∴an 1 (n 1) 2=2(an n 2).     

一个不等式的再推广及应用

文 [1 ]给出了一个不等式 :2 (n 1 - 1 ) <∑ni=11i<2n - 1　 (n>1 )(1 )文 [2 ]将 (1 )式推广为 :11 -k[(n 1 ) 1-k- 1 ]<∑ni=11ik <11 -k·n1-k- 11 -k 1 (2 )(k∈R且k>0 ,k≠ 1 ,n>1 )文 [3]给出了不等式 (2 )的简证及其几何直观 .文 [4 ]又将 (1 )式推广为 :命题　已知 {an}为等差数列且a1>0 ,公差d>0 ,则2d(an 1- a1) <∑ni =11ai<2d(an -a1) 1a1(3)本文将采用文 [3]的方法 ,对 (2 )、(3)两式进行统一推广 ,并给出其应用 .定理　设 {an}为等差数列 ,且首项a1>0 ,公差d >0 ,k∈R 且k≠ 1 ,n>1 ,则1d(1 -k) (a1-kn 1-a1-k1) <∑…     

利用等差数列的性质解题几例

等差数列有不少性质,现列举如下: 一、设{a,},{b。}是等差数列,则{a。+b。}也是等差数列. 二、设{a,}是等差数列,。为常数,则{ca,}也是等差数列. 三、设{a。}是等差数列,c为常数,则{a。+好也是等差数列. 四、设{a。}是等差数列,如果项数号码P,q,:,:,…成等差数列,则。,,a。,。r,a,,…也成等差数列. 以上性质皆不难证明,仅就性质四为例来证明。 设等差数列通a,}的公差为d,取新数列a,,a。,a,一中的任意相邻两项“‘,a,, az一a、=〔a;+(j一1)d)一〔a:+(‘一l)d〕 =(j一f)d. ,.’p,q,:…i,j,…成等差数列,+abc也成等差数差列,各项都减去abc,则 …     

由递推式a_(n+1)=pa_n+f(n)求通项的方法

一、引子 线性递推式an+1=pan+q(p,q为常数)的启示. 常见线性递推公式an+1=pan+q(p,q为常数)求数列通项公式的基本思路是由待定系数法构造等比数列,令an+1+a=p(an+a),得a=q/p-1(p≠1),从而有an+1+q/p-1=p(an+q/p-1),数列{an+q/p-1}为等比数列,则数列通.项公式易得. 受以上解题启发,我们可以求以下相关数