四元整数环上的二维射影线性群的自同构

设K是有理四元数体,它含有子环 R={(a+bi+cj+dk)/2|a,b,c,d同为奇数或同为偶数}, R是个非交换欧几里得环。由[1]知道,R的乘法可逆元集合是 U={±1,±i,±j,±k,(±1±i±j±k)/2},     

四元数矩阵代数的实表示及其应用

设R记实数域,Q记R上四元数代数,若x∈EQ,x=a+bi+cj+dk,其中a、b、c、d在R中,则x的共轭元=a—bi—cj—dk,x的范数N(x)=a~2+b~2+c~2+d~2。设Q~(×n)(或R~(×))记Q(或R)上n×n矩阵构成的R代数,我们以Hom(Q~×,R~(4×4))记Q~(×)的全部R代数表示的集合。还以E_(ij)表示(i,j)位置是1,其余位置是0的n阶方阵,I_r记r阶单位阵;GLr(Q)及GLr(R)分别记Q上及R上一般线性群。     

环Z[X]不是中华环

设R是具有单位元1的交换环;A是R中的理想而a,b则是R中的任意元.定义a≡b(A)若Ra+A=Rb+A.称环R是中华环若a≡b(A+B),则存在c∈R使c≡a(A)及c≡b(B).环是中华环的充要条件是由K.Aubert与A.Beck二人于1980年找出的.显然,整数环Z必是中华环.Aubert与Beck二人亦证明了Z[x,y]不是中华环.但他们二人无法证明Z[X]是否中华环.本文用不同的手法处理,证明了Z[X]不可能是中华环.同时,我们进一步证明,对任意代数数a,环Z[a]均是中华环.因此,Aubert与Beck在1980年所提出的问题,在本文中得到圆满的解答.     

Gauss数环中的素元

对于Gauss数环Z[i]＝{a bi|a,b∈Z}中的素元，给出了其整数中的素元形式为可表成4n 3的素数，非整数素元为其范数N(α)为一素数的形式。     

Gauss数环中的素元

对于 Gauss数环 Z[i]={ a+ bi| a,b∈ Z}中的素元 ,给出了其整数中的素元形式为可表成 4 n+ 3的素数 ,非整数素元为其范数 N( α)为一素数的形式     

基于同异反态势排序的学生成绩分析

同异反态势排序是根据同异反联系数 a+bi+cj中 a、b、c大小关系而进行的一种排序。当把学生成绩用同异反联系数表示之后 ,可对照同异反态势排序表来研究其中的某些规律     

一个Ulam问题的解答

在最近出版的Ulam的问题集[1]中包含如下一个未解决的问题: 设R表正有理整数之集,在其上定义有通常的运算a+b=s(a,b)及a·b=m(a,b)。现在考虑任一把R×R一一地映成R的映射c=p(a,b)。我们可以定义两个函数б和μ使之分别与s和m相应,其定义如下:今问是否存在这样的一一映射p(由R×R到R),使得对于一切c∈R成立? 本文的目的是给上述问题以一个否定的解决。     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.若a、c、d是整数,b是正整数,且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+c+d的最大值.(安徽省淮南市第三中学(232007)王秉春)2.小红家的电话号码是八位数,若将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405,若将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970,求小红家的电话号码.(北京市海淀区世纪城三期时雨园11-2-8B(100097)胡怀志)     

环的交换性定理

本文证明了: 定理1 设R是有左单位元e的结合环的而N为其诣零元集合,如果R中恒有。(i) x~(n(x))-x∈N x∈R此处n(x)是大于1的依赖于x的整数;(ii) x≡y(mod N)就导致x~i=y~i x~j=y~j i=i(x,y) j=j(x,y) (i,j)=1是与x,y有关的大于2的整数或者x,y与N中每一元都可交换。则R为交换环. 定理2 若R是kothe半单环,a,b∈R,存在k≥m=m(a,b)≥1;l≥n=n(a,b)》1使得[(ab)~m(ba)~n]∈Z(R)且R之特征为p(素数),则R为交换环。     

Whc 83的解决

文[1]提出至今未见人解决的W hc83:怎样对一般的复系数二次方程的根的情况进行简易判别和完全的分类?能否有象实系数一元二次方程那样的求根公式?本文研究了这个问题.1复系数一元二次方程根的判别设一般复系数二次方程为(a1 a2i)z2 (b1 b2i)z (c1 c2i)=0,其中,aj,bj,cj∈R,j=1,     

环的交换性定理

设条件(A)为:若对任意的a,b,c∈R,存在依赖于a,b,c的整系数多项式f(x,y),f(x,y)形如∑ki=0αiyixyK-i+f1(x,y),f1(x,y)为一整系数多项式,其每一项关于x的次数2,关于y的次数K(此处K=K(a,b)为依赖于a,b的正整数),∑i=0αi=1,使[f(a,b),c]=0.结论为:满足条件(A)的K the半单纯环是交换的.这是一些结论的统一推广.     

数学奥林匹克问题选登

1991年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 3.设ABCDEF是内接于半径为r的圆的六边形,AB=CD=EF=R,则BC、DE、FA的中点G、H、K是某个等边三角形的顶点。证明设ABCDEF内接于以0为圆心,以r为半径的圆,顶点按逆时针方向排列,对应复数依次设为a、b、c、d、e、f,因|AB|=r,所以△0AB是等边△,因此b=aω,其中ω=e(x)/3,同理,d=cω,f=eω,又设G、H、K对应复数为g、h、k,则g=b c/2,h=d e/2,k=f a/2,于是,h、k,则g=b c/2,h=d e/2,k=f a/2,于是,     

一道不等式试题的再推广

题目(美国大学生竞赛试题)给定正数a,b,c,d,证明:a3 b3 c3a b c b3 c3 d3b c d c3 d3 a3c d a d3 a3 b3d a b≥a2 b2 c2 d2(1)文[1]探讨了这道试题的背景并将其进行推广,文[2]又将(1)式再推广为:设α,β∈R,且β(α-β)>0,xi∈R (i=1,2,…,n).则x2α x3α … xnαx2β x3β …     

一种具有Goldbach性质的可换环上的二次同余

[1]—[3] 用模型论与数论方法讨论了整数环的某些扩环的数论性质,说明一些数论命题间的和谐性与相对独立性。[4]进一步研究了一种具有Golabach性质的可换环R,分析了R与整数环I的异同。[4]证明了R上有与I极不相同的二次同余性质。如R上存在8k±3形素元以2为平方剩余,也存在8k±1形素元不以2为平方剩余,等等。一个自然的问题是对任意非平方数a∈I,任意b,c∈I,若(b,c)=1,是否总存在bk+c形素元以a为     

C_n~k的奇偶性規律

(一) 奇偶性判别法则为方便起见,若两个非负整数a,b的奇偶性相同,即都是奇数或都是偶数,则记为a～b。显然,这个关系式是一个等价关系,即 (ⅰ) a～a。 (ⅱ) 若a～b,则b～a。 (ⅲ) 若a～b,b～c,则a～c。不仅如此,还有结论: (ⅳ) 若a～b,c～d,贝a+c～b+d。 (ⅴ) a～0表示a为偶数,a～1表示a为奇数。本文主要是给出下面的判别法则: 法则.给定非负整数n,k(0≤k≤n),则C_n~k的奇偶性由以下的方法而定(约定C_0~0=1): 先将数n+1表成二进位形式,即求出非负整数     

关于丢番图方程ax2+by2=cz2+dw2的整数解

数论中作为勾股定理的推广曾讨论过方程x2 +y2 =z2 +w2 ( 1 )的整数解 (如文 [1 ]、[2 ]) ,文 [2 ]得到了方程 ( 1 )满足 ( x,y,z,w) =1的全部整数解的一组公式 ,但表达式不够简洁。本文将其推广 ,考虑更一般的这类四元二次丢番都方程ax2 +by2 =cz2 +dw2 ( 2 )其中 a,b,c,d均为正整数 ,( a,b,c,d) =1。当知道它的一组不全为零的整数解时 ,来导出它满足 ( x,y,z,w) =1的全部整数解的公式。按所设 ,显然 z,w不会全为 0 ,不妨设 w≠ 0 ,从而方程 ( 2 )可变为a( xw) 2 +b( yw) 2 -c( zw) 2 =d令 X=x/ w,Y=y/ w,Z=z/ w,得a X2 +b Y2 -c Z2 =d …     

一道不等式试题的再推广

题目　给定正数a ,b ,c ,d ,证明 :a3 b3 c3a b c b3 c3 d3b c d c3 d3 a3c d a d3 a3 b3d a b　≥a2 b2 c2 d2 ( 1 )(美国大学生竞赛试题 )文 [1 ]探讨了这道不等式试题的背景 ,并将其推广为 :设xi∈R (i =1 ,2 ,… ,n) ,记Sn= ni=1xin 1,Gn= ni=1xi,Tn= ni=1xin,则　 Sn-x1n 1Gn-x1 Sn-x2 n 1Gn-x2 … Sn-xnn 1Gn-xn ≥Tn ( 2本文将把 ( 2 )式进一步推广为 :命题　设α ,β∈R ,且 β(α - β) >0 ,xi∈R (i=1 ,2 ,… ,n) ,则x2 α x3 α … xnαx2 β x3 β … xnβ x1α x3 α … xnαx…     

关于D.H.Lehmer问题与超级Kloosterman和

设整数q>2,c与q互素．对于1到q之间与q互素的任意整数a,在1到q之间存在唯一的整数b满足ab≡c mod q．对任意整数k≥2,定义M(q,k,c)为满足1≤ai≤q, (ai,q)=1,i=1,2,…,k,a1a2…ak≡c mod q且2 a1 a2 … ak的正整数组(a1,a2,…,ak)的数目,并设E(q,k,c)=M(q,k,c)-(φk-1(q))/2．本文的主要目的是利用Gauss和与原特征的性质,以及Dirichlet L-函数的均值定理,来研究E(q,k,c)与超级Kloosterman和K(h,k,q)的混合均值,并给出一个均值公式．     

等比数列中的几个问题

下列说法都是错的,试说明错在哪里? 1 设等比数列{an}的公比q,|q|<1,则此数列为单调递减数列。 2 b~2=ac是a、b、c组成等比数列的充要条件 3 设n为奇数a,x_1,x_2…,x_n, b均为实数,且at<0,则a,x_1,x_2,…x_n,b可以组成一个等比数列。 4 已知a,b,c,d成等比数列,则a+b,b+c,c+d成等比数列。     

一个四元十四次不等式

<中等数学>1997年第4期的数学奥林匹克问题第56是: 设a,b,c,d∈R,且a b c d=0, 求证:(I)3(a3 b3 c3 d3)2 ≤(a2 b2 c2 d2)3; (1) (ii)108(a5 b5 c5 d5)2 ≤25(a2 b2 c2 d2)5 (2) 受此题启发,笔者发现了如下