Zur Konvergenz des Rayleigh-Ritz-Verfahrens bei Eigenwertaufgaben

Zusammenfassung Bei der näherungsweisen Berechnung von Eigenwerten und Eigenelementen spielt das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren gerade im Hinblick auf die Finite-Elemente-Methode eine bedeutende Rolle. Umfangreiche Untersuchungen zur Konvergenz des Verfahrens liegen vor (vgl. etwa [1, 2, 4, 5, 7, 12, 15, 16, 19, 20]). Dabei werden zumeist quantitative Fehlerabschätzungen für konkrete Approximationen spezieller Probleme hergeleitet. Die Behandlung der Näherungseigenelemente erweist sich als besonders schwierig, wenn die zugehörigen Eigenwerte mehrfach vorliegen. Die für viele weiteren Untersuchungen fundamentalen Ergebnisse von Birkhoff et al. [1] gelten ausschließlich für einfache Eigenwerte.Das Hauptanliegen dieser Arbeit ist die Darlegung des qualitativen und quantitativen Konvergenzverhaltens der Näherungseigenelemente. In einer rein funktionalanalytischen Vorgehensweise betrachten wir Eigenwertaufgaben, die sich durch halbbeschränkte selbstadjungierte Operatoren beschreiben lassen. Die Konvergenzaussagen werden zurückgeführt auf die Approximationsgüte der Diskretisierung. Die erzielten Abschätzungen stehen somit generell fürjede Konkretisierung zur Verfügung. Insbesondere werden die Resultate aus [1] verallgemeinert. Die Beweise orientieren sich direkt an der Problemstellung. Methoden der Spektralapproximation (vgl. Chatelin [3], Vainikko [20]) werden nicht eingesetzt.

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On the convergence of the Rayleigh-Ritz method for eigenvalue problems

Summary This paper is concerned with the Rayleigh-Ritz method applied to eigenvalue problems, discribed by operators which are selfadjoint and bounded from below. In a purely functional analytic procedure the convergence results are reduced to error estimates for the discretization.

Dedicated to the memory of Professor Lothar Collatz     

Das zweistufige Problem der stochastischen linearen Programmierung

Zusammenfassung Es wird das aus der Literatur ([1], [4], [7], [9]) bekannte zweistufige Problem behandelt, wobei allerdings nicht nur die rechten Seiten bzw. die Koeffizienten der Zielfunktion stochastische Variable sind. ZunÄchst wird das Problem neu formuliert wie in [1], was sich für den Beweis der in [7] und [4] eher umstÄndlich bewiesenen Ungleichungen als nützlich erweist. Schlie\lich wird ein Verfahren der zulÄssigen Richtungen zur Lösung des Problems angegeben und seine Konvergenz bewiesen.     

Convergence of a Dinkelbach-type algorithm in generalized fractional programming

The convergence of a Dinkelbach-type algorithm in generalized fractional programming is obtained by considering the sensitivity of a parametrized problem. We show that the rate of convergence is at least equal to (1+5)/2 when regularity conditions hold in a neighbourhood of the optimal solution. We give also a necessary and sufficient condition for the convergence to be quadratic (which will be verified in particular in the linear case) and an idea of its implementation in the convex case.

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Zusammenfassung Die Konvergenz eines Verfahrens i. S. von Dinkelbach zur Lösung verallgemeinerter Quotientenprogramme wird durch Untersuchung der Sensitivität eines parametrisierten Problems abgeleitet. Es wird gezeigt, daß die Konvergenzrate durch (1+5)/2 nach unten beschränkt ist, falls gewisse Regularitätsbedingungen in einer Umgebung der Optimallösung erfüllt sind. Ferner wird eine notwendige und hinreichende Bedingung zur quadratischen Konvergenz hergeleitet. Es wird gezeigt, wie diese im Falle konvexer Probleme implementiert werden kann.

     

Numerical solutions of the Van der Pol equation

Zusammenfassung Die Amplitude und Periode der periodischen Lösungen der van der Polschen Gleichung sind für sehr kleine und für sehr grosse Werte des Parameters durch asymptotische Entwicklungen annähernd bekannt. Für endliche Werte von werden die Resultate von numerischen Integrationsmethoden mitgeteilt, und der Anschluss an die asymptotischen Werte wird diskutiert. Ausserdem werden Störungen der Differentiagleichung betrachtet.     

Fehlerabschätzungen für Koeffizienten von Exponentialsummen und Polynomen

Zusammenfassung Für Polynome und Exponentialsummen mit festen Frequenzen werden die Normäquivalenzkonstanten zwischen Parameterraum und Funktionenraum untersucht. Dies führt im Exponentialsummenfall auf Tschebyscheff-Exponentialsummen als Verallgemeinerung der Tschebyscheff-Polynome, wenn man nach numerisch praktikablen Strategien zur Fehlerabschätzung im Parameterraum sucht; für theoretische Zwecke wird eine Ungleichung von Markoff-Typ für Exponentialsummen hergeleitet. Im Falle der Polynome ergeben sich asymptotisch optimale Konstanten als Verschärfungen von Resultaten von Gautschi. Ferner wird eine elementare Herleitung der Normäquivalenzkonstanten für den Fall der Monombasis angegeben.

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Error estimation in coefficients of exponential sums and polynomials

Summary Equivalence constants for the norms on parameter and function space are considered for both polynomials and exponential sums. In the latter case Chebyshev exponential sums are introduced as generalizations of the Chebyshev polynomials, providing a practical method for error estimation in parameter space. For theoretical purposes a Markoff-type inequality is proved. In the case of polynomials asymptotically optimal constants are derived, thus improving on earlier results of Gautschi. Furthermore, a simple construction of the equivalence constants for the monomial basis is included.

Diese Arbeit entstand als Studie Nr.2 des SFB 135 Ökosysteme auf Kalkgestein unter teiweiser Förderung durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft. Die numerischen Rechnungen wurden auf der Rechenanlage der Gesellschaft für wissenschaftliche Datenverarbeitung in Göttingen durchgeführt     

Energy stability of channel flows

Zusammenfassung Die Energiemethode wird zur Untersuchung der Stabilität einer beliebigen Kanalströmung angewandt. Es wird eine auf Eigenwertabschätzungen basierte qualitative Beschreibung der Fläche (, ) gegeben, welche die Schranke für den Instabilitätsbereich in Abhängigkeit von Längs- bzw. Querwellenzahl der Störungen darstellt. Eine allgemeine untere Grenze für die minimalisierende Querwellenzahl und den zugehörigen Eigenwert (0, ) wird angegeben. Das Problem der Energiestabilität wird dann für eine Klasse von Geschwindigkeitsprofilen mit Wendepunkt gelöst. Die durch numerische Integration erhaltenen Ergebnisse werden mit den Ergebnissen der linearen Stabilitätstheorie verglichen.     

On an integral method for backward boundary layers

Zusammenfassung Eine Integralmethode für die Lösung von zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen wird entwickelt für Fälle, in denen die Lösungen sich anfänglich wie diejenigen von End-Grenzschichten benehmen. Diese Lösungen sind von Goldstein behandelt worden. Die bedeutendste Anwendung betrifft den Fall, wo ein zweidimensionaler Strom gegen eine Öffnung fliesst, durch welche die Flüssigkeit entleert wird. In erster Annäherung wird die Grenzschichtströmung für grosse Entfernungen von der Öffnung durch die Ähnlichkeitsgesetze der konvergenten Strömung in einem keilförmigen Kanal beschrieben. Um Strömungen dieser Art zu studieren, die über lange Entfernungen laufen, wird die Geschwindigkeit am Rande der Grenzschicht an Stelle der Entfernung längs der Grenzschicht als unabhängige Veränderliche eingeführt. Die beschriebene Methode wird auf den Fall der Strömung in Richtung eines Schlitzes angewendet, ausgehend von einem unendlichen Halbraum, ferner auf den Fall einer Strömung um eine endliche Platte, die senkrecht zur Strömungsrichtung steht. In beiden Beispielen ist die Potentialströmung in der Form des Kirchhoff-Rayleighschen Gesetzes angenommen, wobei die freien Stromlinien an die scharfen Kanten gebunden sind. Die Methode wird verallgemeinert, so dass sie für allgemeinere End-Grenzschichten benutzt werden kann. Die Resultate stimmen ausgezeichnet mit denen der Methode von Thwaites sowie mit den Ähnlichkeitslösungen von Falkner-Skan überein.     

Computation of total,differential and double-differential cross sections for compound nuclear reactions of the type (a,b γ) and (a,b γ−γ)

Zusammenfassung Zur vollautomatischen Berechnung von totalen, differentiellen und doppeldifferentiellen Wirkungsquerschnitten im Falle von Kernreaktionen des Typus (a, b, ) und (a, b –) wurden Programme in der ALGOL-64-Sprache aufgestellt, die für einen schnellen Computer, wie die CDC 1604-A, geeignet sind. Wie hier beschrieben, liefern sie entsprechende Winkelverteilungen und Winkelkorrelationen in absoluter und normierter Form für Reaktionen, bei denen Spin-1/2-Teilchena (z. B. Nukleonen) mit willkürlichem Bahndrehimpuls von einem Targetkern (dessen Spin im Grundzustand ganz- oder halbzahlig sein darf) aufgefangen werden, unter Bildung eines kurzlebigen Zwischenkernes, dessen Energieniveaus ein statistisches Quasi-Kontinuum bilden, und der unter Emission von Spin-1/2-Teilchenb mit beliebigem Bahndrehimpuls in einen angeregten Zustand eines Restkerns zerfällt. Die Programme ermöglichen es, weitere Ausgangskanäle des Zwischenzustandes sowie gemischte Multipolarität beim -Zerfall des Restkerns zu berücksichtigen; ferner können sie, durch Wahl geeigneter Transmissionskoeffizienten, den Einfluss einer Spin-Bahn-Wechselwirkung miteinschliessen. Sie dienen weiter zur Berechnung des Beitrages weiterer -Kaskaden durch die Behandlung von Fällen der Art (a, b ₁– ₁), bei denen der ₁ unbeobachtet bleibt, während ₂ beobachtet wird. Bei der Winkelverteilung von -übergangsstrahlung gemischter Multipolarität werden normierte, wie auch absolute Entwicklungskoeffizienten der Legendre-Polynomreihe für reine Multipolarität und für gemischte Multipolarität mit einem vorgegebenen Mischungsverhältnis berechnet. Ferner wird ein weiterer Satz von Mischungsverhältnissen behandelt, was zur Bestimmung unbekannter Verhältnisse oder Spin-Paritäts-Zuordnungen eines Kernzustands führen kann.Weitere Möglichkeiten im Falle von Teilchen- und/oder -Verteilungen (wenn die letzteren keinen unbeobachteten -Übergang einschliessen) wurden eingebaut, die automatisch eine systematische Änderung des Spins (mit positiverund negativer Parität) des durch die austretenden Teilchenb bevölkerten Niveaus für irgendeine anfängliche Spin-Sequenz durchführen. Weitere schnelle Computer-Programme, die mit den obigen verwandt sind, werden zusammenfassend diskutiert.     

Simulationstechnik bei Lagerplanung mit stochastischer Nachfrage

Zusammenfassung Ein aus der Praxis vorgegebenes Dispositionssystem der Lagerhaltung ist zu optimieren. Es wird unterschieden zwischen Groß- und Kleinbestellmengen, wobei die Großbestellmengen einer anderen Dispositionsregel als die Kleinbestellmengen unterliegen. Neben einem kostenoptimalen Prameter zur Trennung der Bestellmengen sind zwei weitere kostenoptimale Parameter (Mindestlosgröße und Lagererneuerungsgrenze) zur Disposition der Lagerhaltung zu bestimmen. Zur numerischen Lösung dient die Simulationstechnik.

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Summary An inventory policy of a system given by practice has to be optimized. There is a difference between the ordering rules for large-scale-demand and small-scale-demand. The optimal parameters of the system are: the parameter to split demand in large-scale- and small-scale-demand, the minimal lot size and the reorder point. A numerical solution is attained by simulation.

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Herrn Professor Dr.H. Kellerer und Herrn Dipl.-Math.K. Wenke danke ich für wertvolle Hinweise bei der Ausarbeitung des Problems und Herrn Professor Dr.H. P. Künzi und Herrn Dr.D. Onigkeit für die Diskussion eines Manuskriptes.

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Vorgel. v.:K. Wenke, Ludwigshafen a. Rh.     

A new method of numerical calculation for stagnation point flows

Zusammenfassung Bei der Berechnung von zweidimensionalen inkompressiblen Potentialströmungen um abgerundete und symmetrische Körper erhält man einen Annäherungswert für den Bereich nahe dem Staupunkt, indem man annimmt, dass die Strömungsart dieselbe ist wie die um einen Kreiszylinder.Mit der Eingliederung dieses Verfahrens in Thom's Squaring Verfahren kann man dann die Berechnung leicht mit Hilfe eines elektronischen Computers durchführen. Dieses Verfahren könnte nützlich sein für eine Annäherungsauswertung ohne unangemessene Verfeinerung des Netzes im Strombereich.     

Rotational-flow analysis of plane right-angle bends

Zusammenfassung Nach einem Verfahren, das als Methode der gefrorenen Wirbel bezeichnet wird, werden ebene Strömungen durch einen Krümmer berechnet. Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, die Wirbelstärke näherungsweise als eine Funktion der Stromfunktion allein anzusetzen. Man wird so auf eine Poisson-Gleichung für die Stromfunktion geführt. Die Rechnungen werden durchgeführt für Geschwindigkeitsverteilungen im Eintrittsquerschnitt, die der ausgebildeten laminaren und turbulenten Strömung entsprechen. Am Beispiel der Laminarströmung wird der Einfluss vorgegebener Wirbelverteilungen und Ausflussbedingungen auf die Strömung in den verschiedenen Bereichen des durchströmten Raumes untersucht. Bei den Berechnungen mit Geschwindigkeitsprofilen, die der turbulenten Strömung entsprechen, wurden zudem die Einflüsse der Krümmung und der Art der Zuströmung betrachtet, wobei der Krümmungsradius vom 0,75fachen bis zum 4fachen der Kanalbreite variiert wurde. Das Verhältnis des Mittelwertes der Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt zur Geschwindigkeit in der Mitte dieses Querschnittes erweist sich dabei als ein hydrodynamisch charakteristischer Parameter, während die Annahmen über die Geschwindigkeitsverteilung am Austritt nur von geringfügigem Einfluss sind. Bei scharfer Krümmung und ungleichmässigen Geschwindigkeitsprofilen tritt Strömungsablösung an der Aussenwand auf. Ablösungserscheinungen an der Innenwand — die praktisch beobachtet werden — liefert diese Theorie nicht, womit die Grenzen ihrer Anwendbarkeit in Erscheinung treten.     

Zur Schätzung der Marktreaktion mit Zeitreihendaten: Die Band-Spektrum-Regression

Zusammenfassung Der folgende Beitrag befaßt sich mit einer der vermutlich häufigsten Ursachen für Fehlschläge bei der empirischen Marktmodellierung: zu Parametrisierung des auf spezifischen Hypothesen beruhenden Strukturmodells werden Zeitreihen-Daten herangezogen, in denen typischerweise andere als die gesuchten Interdependenzen dominieren. Dies führt zu den bekannten spurious regressions und falschen Modellkoeffizienten. Um die spezifischen Hypothesen in erster Linie mit der ihnen entsprechenden Variation in den Daten zu konfrontieren, schlägt der Autor die Band-Spektrum-Regression vor, die es ermöglicht, die für die Parametrisierung eines Marktreaktionsmodells relevante Information in den Daten zu lokalisieren und, von störenden Einflüssen befreit, in die Schätzung einzubringen. Anhand einer empirischen Studie wird gezeigt, daß sich das theoretische Konzept der Band-Spektrum-Regression auch bei der praktischen Marktmodellierung bewährt.

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This paper discusses a main problem in empirical market modelling, namely that rather specific hypothesis about market structure are confronted in the estimation phase with time series which are typically dominated by interdependencies from other sources than formulated in the model. Results are spurious regressions and wrong coefficients. In order to evaluate the specific hypothesis on the basis of the appropriate variation in the data, Band-Spectrum-Regression can serve as an instrument to locate the relevant part of information in the data and to eliminate the misleading information. An empirical case study proves that the theoretical concept of Band-Spectrum-Regression can successfully be applied in the practice of market analysis.

     

Heat transfer modeling for turbulent shear flows on curved surfaces

This paper examines two models for two-dimensional curved flow heat transfer. Both models are based on the assumption of local-equilibrium turbulence. Yet, one model predicts an increase for the turbulent Prandtl number with convex curvature, while the other gives the opposite behavior. Through examination of the near wall temperature profiles, it is possible to identify the correct behavior for turbulent Prandtl number. It is found that the turbulent Prandtl number for curved flows increases with convex curvature. The discrepancy between the two models is traced to the modeling terms proposed for the pressure-temperature-gradient correlation and for wall corrections. While the introduction of the rapid component and the wall corrections in the modeling of the pressure-strain correlation do not affect the behavior of the resultant shear stress, these modeling terms in the pressure-temperature-gradient correlation cause the turbulent Prandtl number to decrease with convex curvature.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit werden zwei Modelle für zweidimensionale Wärmeübertragung in gekrümmten Strömungen untersucht. Beide Modelle basieren auf der Annahme von lokalem Gleichgewicht innerhalb der turbulenten Strömung. Trotzdem resultiert das eine Modell in einer Erhöhung der turbulenten Prandtl-Zahl für konvexe Krümmungen, während das zweite Modell genau das Gegenteil vorhersagt. Es ist möglich, durch Untersuchung des Temperaturprofiles in Wandnähe das korrekte Verhalten der turbulenten Prandtl-Zahl zu identifizieren. Es stellt sich dabei heraus, daß die turbulente Prandtl-Zahl für gekrümmte Strömungen in konvexen Kurven zunimmt. Der Widerspruch zwischen den beiden Modellen läßt sich auf die Abbildungsausdrücke zurückführen, die für die Wechselbeziehungen zwischen den Druck- und Temperaturgradienten und die für die Wandkorrekturen angesetzt worden sind. Während die Einführung der schnellen Komponente und die Wandkorrekturen in der Darstellung der Wechselbeziehung zwischen Druck und Beanspruchung keinen Einfluß auf das Verhalten des resultierenden Schubdruckes haben, verursachen diese Darstellungsausdrücke für die Wechselbeziehung zwischen Druck- und Temperaturgradienten ein Abnehmen der turbulenten Prandtl-Zahl für konvexe Kurven.

     

A uniqueness theorem in hereditary electromagnetism

Zusammenfassung Für das elektromagnetische Feld in Medien, deren elektromagnetischen Materialfunktionen hereditär sind und gewissen Ungleichungen genügen, wird ein Eindeutigkeitssatz bewiesen. Dieser besagt, wenn der ganze Raum betrachtet wird, dass das elektromagnetische Feld zur Zeitt=0 in einem PunktP eindeutig bestimmt ist, wenn die Feldintensitäten fürT–T ₀tT in einer Kugel mit MittelpunktP und Radiusc |t| vorgeschrieben sind; hier bezeichnetT eine gegebene, negative Zeit,T ₀ die dauer der Heredität undc eine positive Konstante (Lichtgeschwindigkeit). Wird nur ein Teil des Raumes betrachtet, tritt hierzu noch eine Angabe der Tangentialkomponenten einer der Feldintensitäten auf einem gewissen Teil des Randes in gewissen Zeitintervallen. Der Satz liefert eine endliche Frontgeschwindigkeit des elektromagnetischen Feldes; man braucht daher nicht das Verhalten des Feldes fürt oder in dem unendlich fernen Teil des Raumes vorzuschreiben.     

Image capability of radio-telescopes

The image properties of a parabolic radio telescope have been investigated.The uncertainty relation has been used for an evaluation of the minimum resolvable intensity within the focal plane and for the calculation of the useful image field.The studies have provided that a reception with the whole aperture permits an image field of beam-widths without any error for a Gaussian illumination.

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Zusammenfassung Die prinzipiellen Grenzen für die Auflösung innerhalb der Brennebene eines Radioteleskopes und die Grösse des damit zusammenhängenden Bildfeldes wurden sowohl theoretisch als auch praktisch untersucht.Die Anwendung der Unschärfe-Relation liefert für eine Gauss-Ausleuchtung ein fehlerfreies Bildfeld (Strahlschwenkungsbereich) der Grösse von Antennenkeulen.Ein praktisches Beispiel zeigt die Abhängigkeit des relativ jähen Gewinnrückganges bei grösseren Auslenkungswinkeln.

     

Some numerical investigations on empirical strain energy functions in the large axi-symmetric extensions of rubber membranes

Zusammenfassung Ein numerisches Verfahren zur Behandlung von axial-symmetrischen Membranproblemen bei endlichen elastischen Formänderungen wird auf die Verwölbung einer kreisförmigen elastischen Membran angewendet. Die zur Lösung notwendige numerische Integration der Gleichgewichtsbedingungen erfolgt bei den gewählten Beispielen mit Hilfe einer für die Berechnung mit Handrechenmaschine gebräuchlichen Differenzmethode.Gestützt auf mehrere experimentelle und theoretische Arbeiten werden zur Untersuchung der Lösung des Membranproblems verschiedene Formen der FormänderungsenergieW bei grossen Deformationen betrachtet (10<I ₂<1000). Eine Verallgemeinerung der logarithmischen Form fürW vonGent undThomas erweist sich als ungeeignet für die betrachtete Ordnung der Deformation. Durch Anpassung der Parameter in der Drei-Parameter-Gestalt der Formänderungsenergie vonCarmichael undHoldaway wird eine gute Übereinstimmung mit dem Experiment erhalten. Für diese Lösungen besitzt W/I ₁ einen konstanten Wert bei der Deformation, was eine frühere Feststellung vonRivlin undSaunders für Werten vonI ₂ bis 1000 bestätigt. Das Versagen der logarithmischen Form vonW ist auf die starke Abnahme von W/I ₂ im Bereich grosser Dehnungen zurückzuführen.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National Science Foundation under Grant GP-991.     

A sophisticated expert system for the diagnosis of a CNC machining center

As the domains of diagnostic expert systems become larger and more complex, purely associative approaches are no longer adequate solutions. A good example for such a situation is the diagnosis of a CNC machining center where the diagnostic process has a rich inner structure that has to be reflected in the system. In this article we describe three ways of extending the conventional expert system architecture. Firstly, our system uses a structural model of the machining center in addition to production rules. Secondly, we pay special attention to knowledge acquisition which is intimately related to the learning process. Finally, several temporal aspects of the diagnostic situation are addressed explicitly.

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Zusammenfassung Im gleichen Maße, wie diagnostische Expertensysteme in immer umfangreichere und komplexere Aufgabenstellungen vordringen, zeigt sich, daß ausschließlich regelbasierte, assoziative Ansätze keine angemessene Lösung mehr darstellen. Ein typisches Beispiel für eine solche Situation ist die Diagnose von CNC-Bearbeitungszentren, deren komplexe innere Struktur und die spezifische Vorgehensweise des Experten explizit in der Wissensbasis repräsentiert werden müssen. In diesem Artikel beschreiben wir drei Richtungen, in denen diekonventionelle Expertensystemarchitektur erweitert werden kann, um den gestiegenen Anforderungen zu entsprechen. Unser System stützt sich auf ein Struktur- und Funktionsmodell des Bearbeitungszentrums, das das in Regelform gespeicherte Wissen ergänzt. Die Verwendung des Modells stellt neuartige Anforderungen an die Wissensakquisition, die durch eine enge Verzahnung mit dem Lernmechanismus des Expertensystems unterstützt wird. Schließlich gehen wir auf die zeitlichen Aspekte der Diagnosesituation ein, die eine spezielle Behandlung der dynamischen Maschinenprozesse und der sich darin entwickelnden Fehler erfordern.

     

Two-dimensional choked transonic flow

Summary Choked transonic flow about a thin two-dimensional airfoil in a wide wind tunnel is analyzed. Asymptotic expansions are constructed in terms of the transonic similarity variableK _T as K_T0 (and the tunnel height), in an inner region, near the body, and in an outer region, near the walls, and are matched. The inner expansion consists of sonic free flow plus a correction. The outer expansion accounts for the meeting of the sonic line and the limit characteristic at the wall. The magnitude of the correction to sonic free flight at the body as well as the dependence of the choking Mach number on the wind tunnel height are determined. A boundary value problem is formulated to determine the correction to the free flight sonic flow.

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Zusammenfassung Es wird die schallnahe Sperrströmung um einen zweidimensionalen Flügel in einem weiten Windkanal analysiert. Asymptotische Reihenentwicklungen werden in der transsonischen Ähnlich-KeitsvariablenK _T im inneren Bereich in der Nähe des Körpers und im äußeren Bereich nahe der Wandung konstruiert und verglichen. Die innere Reihenentwicklung besteht aus freier Schallströmung und einem Korrektionsglied. Die äußere Reihenentwicklung steht für das Zusammentreffen der Schallinie und der Grenzcharacteristik an der Wandung. Es werden die Größe des Korrektionsgliedes zur freien Schallströmung am Körper, als auch die Abhängigkeit der Machschen Zahl der freien Strömung von der Höhe des Windkanals bestimmt. Ein Randwertproblem wird formuliert um die Korrektur zur freien Schallströmung zu bestimmen.

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Research partly sponsored by AFOSR under Grant No. 82-0155 and by NSF under Grant DMS-8401738. The U.S. Government is authorized to reproduce and distribute reprints notwithstanding any copyright notation thereon.     

Methoden der Punktebewertung für Kreditscoringsysteme

Zusammenfassung Kreditscoringsysteme für Konsumentenkredite sollen eine erste Einstufung des bei einem potentiellen Kunden zu erwartenden Kreditrisikos ermöglichen. Hierzu werden Kundenmerkmale numerisch quantifiziert und zu einem Bonitätsscore addiert. Anhand von konkretem Datenmaterial werden solche Quantifizierungsoder Punktebewertungsverfahren diskutiert, Verbindungen der Punkteaddition mit der Unabhängigkeitsregel zur statistischen Diskrimination hergestellt und für die praktische Eisetzbarkeit notwendige Modifikationen beschrieben. Es zeigt sich auch, daß die bisweilen vorgeschlagenen multivariaten Verfahren wie lineare oder quadratische Diskriminanzanalysen im Vergleich zur Punkteaddition keine für die Praxis relevanten Verbesserungen erbringen, wenn die Punktebewertung an diejenige der Unabhängigkeitsregel oder an die der sog. nullpunktzentrierten Punktezuordnung angepaßt wird, wobei letztere Methode sogar von mathematischen Laien (z.B. in der zuständigen Fachabteilung) leicht und intuitiv einsehbar ist.

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Credit scoring systems for consumer loans should be able to estimate approximately an applicant's creditworthiness. To this end one quantifies numerically the items (variables) and adds them up to a creditworthiness score. Based upon concrete data such methods of scaling items are discussed, connections of the score adding method with the independence rule of statistical discrimination are explained and it is shown how to modify the scaling methods for practical use. Another result is that multivariate methods as discriminant analysis don't improve the misclassification rates of the simple score adding rule relevantly when the scaling of the items is adapted to the scaling of the independence rule or to the so-called zero-centered scaling method; this latter method is intuitively understandable even for mathematical laymen.

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Ausführliche Fassung eines Vortrags bei der DGOR-Tagung 1980 in Essen.     

Laguerre polynomial solution of the nonlinear Boltzmann equation for the hard-sphere model

We consider a spatially homogeneous and isotropic gas consisting of hard-sphere molecules. A vector representation of the scattering kernel is used to adapt the original Boltzmann equation to the idealized geometrical situation. By means of an expansion of the distribution function in terms of Laguerre polynomials this scalar Boltzmann equation is transformed to a set of moment equations. All algebraized collision integrals can be evaluated analytically. We discuss the truncation of the moment equations necessary for the practical application of this method. The eigenvalues of the linearized relaxation problem show a good convergence with respect to the truncation index.

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Zusammenfassung Wir betrachten ein räumlich homogenes Gas harter Kugeln mit isotroper Geschwindigkeitsverteilung. Mit Hilfe einer Vektordarstellung des Streukerns wird die nichtlineare Boltzmanngleichung den vereinfachten geometrischen Verhältnissen angepaßt. Die entstehende skalare kinetische Gleichung wird durch eine Laguerre-Reihenentwicklung der Teilchenverteilungsdichte in ein System von Momentegleichungen übergeführt. Sämtliche algebraisierten Stoßintegrale erweisen sich als analytisch lösbar. Wir diskutieren den für den praktischen Gebrauch der Methode notwendigen Abbruch des Systems der Momentegleichungen. Die Eigenwerte des linearisierten Relaxationsproblems zeigen eine rasche Konvergenz bezüglich einer Steigerung des Abbruchindex.