On the moduli space of ’t Hooft bundles

We describe the moduli spaceM ₁ (c ₂) of 't Hooft bundles onP ³, that is instanton bundles having sections at the first twist. We prove that such a moduli space is a rational variety whose singular locus is the moduli space of special 't Hooft bundles studied in [HN]. It turns out thatM ₁ (c ₂) possesses a canonical desingularization provided by the projectivized of a vector bundle on the Hilbert schemeH of the space curves which correspond to 't Hooft bundles in the Serre construction. Moreover, we show that the connected components of such curves are lines or multiple lines, which are scheme-theoretically a product. On such multiple lines every vector bundle splits, and we are able to determine their normal bundle. This allows to reprove the smoothness ofH, already known from [C], and the smoothness ofM ₁, shown in [C] and [NT].

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Sunto Si descrive lo spazio dei moduliM ₁ (c ₂) dei fibrati vettoriali di 't Hooft suP ³, cioè dei fibrati istantoni che ammettono una sezione lineare. Si dimostra che tale spazio è una varietà razionale il cui luogo singolare è costituito dai fibrati di 't Hooft speciali studiati in [HN]. Si trova, inoltre, una desingolarizzazione diM ₁ (c ₂) data da un aperto di un fibrato proiettivo sullo schema di Hilbert delle curve che sono luoghi degli zeri di sezioni lineari di fibrati di 't Hooft. Le componenti connesse di tali curve sono rette o rette multiple isomorfe a un prodotto. Questo risultato è conseguenza del fatto che ogni retta multiplaZ di genere aritmeticop _a (Z)≤1—deg (Z) fibrata in punti multipli curvilinei è schematicamente isomorfa al multiplo di una sezione di una opportuna superficie rigata razionale.

     

Holomorphic vector bundles on compact complex non-algebraic surfaces

LetX be a smooth complex compact surface without non-constant meromorphic functions. Here we prove the existence of rank holomorphic vector bundles onX containing exactly one rank one saturated subsheaf.

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Sunto SiaX una superficie complessa compatta non singolare senza funzioni meromorfe non costanti. In questo lavoro si domstra cheX possiede molti fibrati olomorfi di rango 2 contenenti un unico fibrato in rette.

     

Strange bundles onP 2 and elementary transformations

Summary Here we begin the study of moduli of vector bundles on a surfaceS with a fixed restriction to a divisorD. Here we stress the caseD≊P ¹. In this way we construct many families of stable rank-2 bundles onP ² with unbalanced general splitting type (in characteristicp>0).

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Riassunto Si comincia qui lo studio dei moduli di fibrati vettoriali su una superficieS con una assegnata restrizione ad un divisoreD (quasi sempre qui conD≊P ¹). In caratteristicap si ottengono così molte famiglie di fibrati stabili suP ² con ?strana? restrizione ad una retta generica.

     

Vanishings for the cohomology of certain families of stable rank two vector bundles onP 3

Sunto Si analizzano delle condizioni per l'annullamento della coomologia di fibrati stabili di rango 2su P ³.Dopo i primi risultati di annullamento dovuti principalmente ad Hartshorne, Chang congetturò che alcune disuguaglianze sulle, classi di Chern fossero sufficienti per l'annullamento del primo gruppo di coomologia. La congettura finora è provata solo in alcuni casi particolari. Nel lavoro si dimostra la congettura in molti altri casi. In particolare si completano alcuni risultati recenti dovuti ad Ellia affrontando il caso in cui la prima classe di Chern è dispari.     

On the duals of the stable rank 3 reflexive sheaves on P3 withc 3 maximal

Summary One proves some properties of the spectrum of the duals of the stable rank 3 reflexive sheaves onP ³ withc ₁=0 andc ₃=c ₂ ² -c ₂ and one determines the Chern classes of these duals.

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Riassunto Si prova alcune proprietà dello spettro degli duali degli fasci riflessivi stabili di rango 3 suP ³ conc ₁=0 ec ₃=c ₂ ² -c ₂ e si determina le classi di Chern di questi duali.

     

Some observations on cohomologicallyp-ample bundles

Sunto Usando un recente risultato di Deligne e Illusie si prova un teorema di annullamento per la coomologia di un fibrato coomologicamente p-ampio. Si studiano le proprietà dei gruppi di coomologia dei fibrati vettoriali nel caso in cui il morfismo di Frobenius si estenda a un sollevamento della varietà su W₂(k), anello dei vettori di Witt di lunghezza 2 del campo. Si studiano, infine, a titolo di esempio, i fibrati coomologicamente p-ampi su P^d.

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Partially supported by the MRST 40% and 60% funds.     

On the connectedness of the first cohomology module for rank two vector bundles on projective space

We provide sufficient conditions for the connectedness of the Hartshorne-Rao module of integral subcanonical curves and of the first cohomology module for rank two vector bundles on projective space.

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Sunto Si danno condizioni sufficienti per la connessità del modulo di Hartshorne-Rao di una curva integra sottocanonica e del primo modulo di coomologia di un fibrato vettoriale di rango due sullo spazio proiettivo.

     

Sul classificante del gruppoSp(n)·Sp(1)

Sunto Si studia la coomologia a coefficienti inZ ₂ del gruppo Sp(n)·Sp(1) e del suo spazio classificante B_Sp(n)·Sp(1), stabilendo in particolare che H*(Sp(n)·Sp(1),Z ₂) è generato da un sistema semplice di elementi universalmente trasgressivi e H*(B_Sp(n)·Sp(1),Z ₂) è un anello di polinomi suZ ₂ in classi di Stiefel-Whitney di opportuni fibrati. Ne vengono tratte alcune conseguenze geometriche. Entrata in Redazione il 4 agosto 1975. Lavoro eseguito con contributo del CNR, nell'ambito del Gruppo Nazionale per le Strutture Algebriche e Geometriche e loro Applicazioni.     

Coherent sheaves and algebraic vector bundles

Summary LetK be a non algebraically closed field andV an affine subvariety ofK ⁿ. It is know that theoremsA, B are false in this case. The purpose of this paper is to study some properties of coherent sheaves and of algebraic vector bundles onV in the spirit of the famous article F.A.C. of J. P. Serre.

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Riassunto SiaK un corpo non algebricamente chiuso eV una varietà affine diK ⁿ. è noto che i teoremiA, B non valgono in questo caso. Scopo di questo lavoro è studiare alcune proprietà dei fasci coerenti edei fibrati vettoriali algebrici suV nello spirito del famoso articolo diJ. P. Serre: F.A.C.

     

Alcune classi di gruppi abeliani misti di rango 1

Riassunto Si definisce una classe diZ _p-moduliQ _β, simili aip-gruppiP _β studiati daE. A. Walker, che danno una caratterizzazione delle sequenze esatte bilanciate diZ _p-moduli e degliZ _p-moduli bilanciati proiettivi. Si definiscono poi dei gruppi misti di rango 1,R _h, che sono un'estensione al caso globale deiQ _β e che generalizzano i gruppi razionali. Per gliR _h vale un teorema analogo a quello di classificazione coi tipi di Baer ed essi danno inoltre una caratterizzazione delle sequenze esatte bilanciate di gruppi e dei gruppi bilanciati proiettivi.

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Summary We define a class ofZ _p-modulesQ _β, like thep-groupsP _β studied byE. A. Walker, that give a characterization of balanced exact sequence ofZ _p-modules and balanced projectiveZ _p-modules. We introduce also some mixed groups of rank one,R _h, which are an extension to the global case ofQ _β and which generalize rational groups. Moreover, forR _h, there is a theorem, which is analogous to Baer's theorem of classification by types. GroupsR _h give too a characterization of balanced exact sequence of groups and of balanced projective groups.

     

Holomorphic vector bundles on a neighborhood of non-Stein compact subsets of Stein spaces

LetK be a compact subset of a complex spaceX. Here we give conditions onX andK assuring the existence of a fundamental systemU of open neighborhoods, ofK such that for everyU∈U there is a holomorphic vector bundleE onU which is not holomorphically trivial.

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Sunto SiaX uno spazio complesso eK∩X un compatto. In questo lavoro diamo condizioni suX eK che garantiscono l'esistenza di un sistema fondamentale di intorni apertiU diK inX tali che per ogniU∈U esiste un fibrato olomorfo non-triviale suU.

     

The connectedness of the real locus of the Hilbert scheme ofP r

Summary Let χ be a numerical polynomial. Here we prove the connectedness of the real locus Hilb χ(P ^r )(R) of the Hilbert scheme parametrizing all the subschemes ofP ^r with χ as Hilbert polynomial.

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Sunto Sia χ un polinomio numerico. In questa nota si dimostra la connessione della parte reale Hilb χ(P ^r )(R) dello schema di Hilbert che parametrizza tutti i sottoschemi diP ^r che hanno χ come polinomio di Hilbert.

     

Some classes of non general type codimension two subvarieties inP n

We classify smooth subvarieties of codimension twoX⊂P ⁿ , 4≤n≤5, which are arithmetically Cohen-Macaulay and of non general type. By the way we exhibit some classes of non extendable subvarieties. Then we give new proofs of the classification of scrolls inP ⁴; finally we consider smooth surfaces of non general type inP ⁴ arising from rank three vector bundles.

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Sunto Classifichiamo le sottovarietà lisce di codimensione dueX⊂P ⁿ , 4≤n≤5, aritmeticamente Cohen-Macaulay e non di tipo generale. Nel contempo descriviamo alcune classi di sottovarietà non estendibili. Diamo poi due nuove dimostrazioni della classificazione degli scrolls inP ⁴; infine consideriamo superfici lisce inP ⁴, non di tipo generale, associate a fibrati di rango tre.

     

A note on the postulation of maximal rank curves

Summary Lets be the lowest degree of a surface containing a maximal rank curveY. We want to compare the dimension of the space of the surfaces of degrees containingY with the dimension of the space of the surfaces of degrees+1. We apply the bound that we find for getting a bound for the third Chern class of a rank-two reflexive sheaf onP _k ³ with seminatural cohomology, thus answering to a conjecture proposed byR. Hartshorne.

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Riassunto Sias il più basso grado di una superficie contenente una curva di rango massimoY. Si vuole confrontare la dimensione dello spazio delle superfici di grados contenentiY con la dimensione dello spazio delle superfici di grados+1. Applichiamo la limitazione trovata per ottenere una limitazione per la terza classe di Chern di un fascio riflessivo di rango 2 suP _k ³ con coomologia seminaturale, rispondendo così ad una congettura posta daR. Hartshorne.

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Résumé Soits le plus petit degré d’une surface contenante une curveY de rang maximum. Nous comparons la dimension de l’espace des surfaces de degrés contenantesY avec la dimension de l’espace des surfaces de degrés+1. Nous appliquons la borne trouvée pour obtenir une borne pour la troisième classe de Chern d’un faisceau réflexif de rang deux surP _k ³ à cohomologie seminaturelle. Ceci répond à une conjecture posée parR. Hartshorne.

     

Pseudoconnessioni su uno spazio fibrato principale

Sunto Si generalizza la nozione di connessione su uno spazio fibrato principale P, introducendo la nozione di pseudoconnessione su P. Si studiano le pseudoconnessioni su P; si confrontano le pseudoconnessioni con le connessioni generalizzate introdotte da A. Verona [8]; si dimostra che le pseudoconnessioni sullo spazio fibrato principale dei riferimenti lineari di una varietà differenziabile M vengono a coincidere con delle pseudoconnessioni su M introdotte e studiate in [4] e [5]. Lavoro eseguito con il contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per le Strutture Algebriche e Geometriche e loro Applicazioni. Entrata in Redazione il 28 giugno 1972.     

Hilbert polynomials and powers of an ideal

Sunto Nel n1. viene definito il complesso generalizzato di Koszul K(A; E; t) di R-moduli associato ad una matrice A sopra un anello R e un R-modulo E. Si studia poi K(A; E; t) nel caso particolare in cui A sia una matrice della forma B(m, s) data nel n.3. Si dimostra infine che, sotto certe condizioni di finitezza, la lunghezza di ogni modulo d'omologia à una funzione polinomiale in m per m grande, e che per ogni m ≥1 la caratteristica di Euler-Poincaré è il prodotto di un coefficiente binomiale per la caratteristica del complesso di Koszul K(B(1, s); E;0).

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Entrata in Redazione il 18 novemb e 1972.     

Bipolarized threefolds with hyperelliptic curve sections

A classification of smooth complex projective threefoldsX polarized by two very ample line bundlesL andM is given, under the assumption that two general elements of |L| and |M| intersect transversally along a smooth hyperelliptic curve.

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Sunto Si fornisce una classificazione delle terne (X,L,M), doveX è una varietà algebrica proiettiva complessa liscia di dimensione 3 edL,M sono due fibrati lineari molto ampi suX, tali che l’intersezione di due elementi generici di |L| ed |M| sia una curva iperellittica.

     

La variazione seconda generalizzata nel caso dei punti terminali mobili e problemi sugli autovalori connessi

Suute. L'A. prendendo in esame un funzionaleJ[y] (l'integrale di una espressione quadratica iny ey′), pery variabile nell'insieme delle funzioni di classeC′ in un dato intervallo, mette in rilievo taluni problemi sugli autovalori inerenti a sistemi differenziali con condizioni quadratiche in due punti o generali condizioni lineari agli estremi, ed assegna, seguendo un procedimento assai semplice, una condizione espressiva e di facile applicazione che è necessaria e sufficiente: per l'esistenza del minimo diJ[y] e di autovaloricontenuti nell'intervallo (0, 1). Nel contempo dimostra l'esistenza di infiniti autovalori (con l'infinito come punto limite) pei menzionati sistemi, e, richiamandosi a precedenti studi, rileva la possibilità di estendere le superiori considerazioni al caso che si debba decidere dell'esistenza o no di autovalori contenuti in un intervallo assegnato (r ₁, r₂) e che il parametro figuri non linearmente.     

A desingularization theorem of Néron type

Summary LetA→A′ be a regular morphism between two noetherian rings. Then for everyA-algebra of finite typeB, everyA-morphism fromB toA′ can be factorised through aB-algebra of finite typeB′ which is standard (smooth) overA and which is ?as smooth as possible? overB (i.e. except above the singular locus ofB overA). This result is a positive answer to one conjecture due to M. Artin.

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Riassunto SiaA→A′ un omomorfismo regolare di anelli noetheriani. Si dimostra che per ogniA-algebraB di tipo finito, ogniA-omomorfismoB→A′ si può fattorizzare mediante unaB-algebraB′ di tipo finito che è liscia suA ed è ?la più liscia posibile? suB (più precisamente liscia suB meno il luogo singolare diB suA). Questo risultato è una risposta affermativa a una congettura di M. Artin.

     

Subbundles of maximal degree of the normal bundle of algebraic space curves almost complete intersection of special type

Summary LetX⊂P ³ be an irreducible smooth curve which is not a complete intersection. The main result of this paper shows that whenX is an a.c.i. of special type, i.e. its homogeneous ideal is generated by three polynomial of the same degreem, and additionallym>2, the subbundles of maximal degree of the normal bundle ofX inP ³ correspond to the singular points of maximal multiplicity of a plane curve which is the image ofX by a map (the linear system of the surfaces of minimal degree throughX). In particular this normal bundle is stable. The initial case of this family of curves, i.e. form=3, has been studied by E. Ballico-Ph. Ellia with different methods.

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Riassunto SiaX⊂P ³ una curva irriducibile e liscia che non è una completa intersezione. Il risultato principale di questa Nota mostra che quandoX è una almost completa intersezione di tipo speciale, cioè il suo ideale omogeneo è generato minimamente da 3 polinomi dello stesso gradom, e, inoltre,m>2, i sottofibrati di grado massimo del fibrato normale diX inP ³ corrispondono ai punti singolari di molteplicità massima di una curva piana che è l’immagine diX tramite una mappa (il sistema lineare delle superficie di grado minimo passanti perX). In particolare questo fibrato normale è stabile. Il caso iniziale di questa famiglia di curve, i.e. perm=3, è stato studiato da E. Ballico-Ph. Ellia con differenti metodi.

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This research is supported by GNSAGA (Italy).

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The main results of this paper have been the object of a talk at the meeting on ?Curves in Projective Space? held at Rocca di Papa in june 1985.