Die Stabilität rotierender Wellen infolge innerer und äußerer Dämpfung

Zusammenfassung Es wurde das Stabilitätsverhalten einer rotierenden Welle bei gleichzeitigem Vorhandensein von äußerer und innerer Dämpfung untersucht. Die äußere Dämpfungskraft wurde proportional der Absolutgeschwindigkeit vorausgesetzt, während für die innere Reibungskraft zwei verschiedene Gesetze unterschieden wurden, einerseits ein viskoses nach Voigt-Kelvin mit einer Reibungskraft proportional der Verformungsgeschwindigkeit und andererseits ein von Kimball-Lovell experimentell gefundenes Gesetz für Materialdämpfung. Obschon die Stabilitätsbedingungen für die Welle mit einem Freiheitsgrad bekannt sind, wurde in einem ersten Teil eine solche sog. Lavalwelle untersucht, um in einem zweiten Teil, der den Schwerpunkt der Untersuchung darstellt, den Vergleich mit der sog. glatten Welle, also einer Welle mit mehreren Freiheitsgraden im Sinne der Kontinuumsmechanik, zu ermöglichen.Die untersuchten Arten der inneren Reibung liefern bekanntlich für die Lavalwelle zwei grundsätzlich verschiedene Stabilitätsbedingungen: Während für die innere Dämpfung nach Kimball-Lovell ein Minimalverhältnis äußerer zu innerer Reibung genügt, um im ganzen Drehzahlbereich ein stabiles Verhalten zu gewährleisten, ist bei Voraussetzung einer viskosen inneren Dämpfung nach Voigt-Kelvin das nötige Minimalverhältnis im überkritischen Bereich von der Drehzahl linear abhängig.Es wurde gezeigt, daß bei der glatten Welle dieser Unterschied der beiden inneren Dämpfungsarten bezüglich des Stabilitätsverhaltens mindestens bei höheren Drehzahlen grundsätzlich verschwindet. Bei schwacher Dämpfung steigt das notwendige Minimalverhältnis der äußeren zur inneren Dämpfung für den stabilen Lauf mit zunehmenden Drehzahlen progressiv an. Bei größeren Dämpfungswerten hingegen ist die Stabilität von drei Parametern, nämlich der äußeren Dämpfung, die inneren Dämpfung und der Drehzahl, abhängig. Man kann die Parameter als Koordinaten eines räumlichen Koordinatenkreuzes auffassen und das Stabilitätsverhalten durch Aufspannen eines Stabilitätskörpers darstellen; der bei schwacher Dämpfung zu einer Stabilitätskarte degeneriert. Stabilitätskörper und -Karten wurden mitgeteilt und diskutiert. Danach läßt sich das Stabilitätsverhalten der Lavalwelle mindestens im Bereich höherer Drehzahlen nicht auf die glatte Welle übertragen.     

Über die dynamische Stabilität des Hubschraubers mit angelenkten Flügeln

Zusammenfassung Für den Hubschrauber mit angelenkten Flügeln wird die dynamische Stabilität bei kleinen Störbewegungen aus der Fluglage des Schwebens am Ort untersucht. Bei einem solchen Hubschrauber ist Stabilität praktisch kaum erreichbar, doch lassen sich Maßnahmen angeben, durch welche die Schwingungszeit der selbsterregten Schwingungen des Flugzeuges verlängert und ihre Anfachung verringert wird, so daß dann annähernd Indifferenz vorliegt. Im Gegensatz zu Schrauben mit starr an die Rotorwelle angeschlossenen Flügeln addieren sich die Wirkungen der Kreiselkräfte zweier Schrauben auch bei Gegenläufigkeit der Schrauben und erzeugen bei Drehbewegungen des Flugzeuges eine lineare Dämpfung, die ausschlaggebend für die Stabilitäts- und Steuereigenschaften des Hubschraubers ist. Daß auch bei fehlender Stabilität eine gesteuerte Stabilisierung eines Hubschraubers mit angelenkten Blättern möglich ist, zeigen die erfolgreichen Flüge verschiedener Hubschrauber, vor allem die bekannten Flüge des Fockeschen Hubschraubermusters FW 61.Die vorstehende Arbeit ist eine Mitteilung der Anton Flettner G. m. b. H. Flugzeugbau in Berlin-Johannisthal.     

The dynamics of a viscoelastic rotor in flexible bearings

Summary The stability of a symmetric, one-disk rotor model in flexible bearings has been analyzed. The viscoelastic property of the shaft complying with a 3-parameter standard model has been taken into account. The existence of an unstable region has been proved analytically. It exists only in the range of small values of the external damping coefficient. The flexibility and damping of the bearings causes a reduction of the unstable region. The stability condition has been derived analytically.

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Das dynamische Verhalten eines flexibel gelagerten, viskoelastischen Rotors

Übersicht Untersucht wird die Stabilität eines symmetrischen Rotormodells mit einzelner Scheibe und flexibler Lagerung. Dabei wird die Welle durch das viskoelastische Standardmodell mit drei Elementen beschrieben. Die Existenz eines Instabilitätsbereichs wird analytisch nachgewiesen, allerdings existiert er nur für kleine Werte der äußeren Dämpfung. Die Flexibilität und Dämpfung in den Lagern verkleinert den Instabilitätsbereich. Die Stabilitätsbedingung wird analytisch hergeleitet.

     

On forward and backward precession of rotors

Summary A study of the excitation of backward and forward precessional motion of rotors is presented. It is shown that if the rotor is supported in bearings with rotational symmetry, a rotating unbalance of the shaft cannot excite backward precessions, but if the bearings have even the slightest anisotropy, backward synchronous precessions are excited just as in the case of forward precessional motions. However, internal damping forces have a marked effect in reducing the amplitudes of the backward precessions.A rotating unbalanced non-uniform continuous circular shaft supported by anisotropic flexible bearings is studied. The governing equations of motion are derived taking into account the effects of transverse shear, gyroscopic moments, and internal and external damping.

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Übersicht Es wird die Erregung der gleich- und gegen-läufigen Präzessionen von Rotoren untersucht. Es wird gezeigt, daß bei Rotoren in rotationssymmetrischen Lagern eine Unsymmetrie der Welle keine gegenläufigen Präzessionea verursachen kann. Bei der geringsten Anisotropie der Lagerung werden jedoch synchrone gegenläufige Präzessionen in derselben Weise wie die gleichläufigen Präzessionen erregt. Allerdings werden die gegenläufigen Präzessionen durch innere Dämpfungskräfte stärker reduziert.Es wird weiterhin eine unwuchtige Welle mit nicht-konstantem Kreisquerschnitt untersucht, die in anisotropen, nachgiebigen Lagern gelagert ist. Die Bewegungsgleichungen werden für diesen Fall unter Berücksichtigung der Querkräfte, der Kreiselmomente und der inneren und äußeren Dämpfung abgeleitet.

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The author is indebted to Professor Frithiof I. Niordson for many valuable comments on the present paper.     

Matrix analysis of non-proportionally damped dynamical systems employing the A-P algorithm

Summary The A-P algorithm was originally formulated for the eigenreduction of real symmetric matrices but has been extended in recent years to handle normalizable real and complex matrices. Considerable experience with the method for the determination of normal modes of free vibration and buckling modes in complex structures has indicated it to be an efficient computer method, especially in conjunction with the matrix structural methods developed by Argyris [1, 2, 3]. Recent research involving vibration problems having non-proportional damping indicates that the method is equally valuable in this area. The extension of this problem to include aerodynamic damping and stiffness is discussed with reference to a dynamic stability analysis based on the free-free antisymmetric modes of a whole aircraft.

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Übersicht Der A-P Algorithmus wurde ursprünglich zur Eigenreduktion reellsymmetrischer Matrizen aufgestellt; er wurde jedoch in den letzten Jahren auf normalisierbare reelle und komplexe Matrizen erweitert. Beträchtliche Erfahrungen mit der Methode bei der Bestimmung der Eigenschwingungsformen und der Knickformen komplizierter Tragwerke haben gezeigt, daß sie ein wirksames Hilfsmittel für Computerrechnungen ist. insbesondere in Verbindung mit der von Argyris entwickelten Matrizenmethode [1, 2, 3]. Neuere Forschungen über Schwingungsprobleme mit nicht-proportionaler Dämpfung bestätigen, daß die Methode auch auf diesem Gebiet sehr wertvoll ist. Es wird hier die Erweiterung dieses Problems behandelt, um aerodynamische Dämpfungs- und Steifigkeitskräfte zu berücksichtigen, wobei auf die Untersuchung der dynamischen Stabilität eines gesamten Flugzeuges mittels der antisymmetrischen Frei-Frei-Schwingungsformen Bezug genommen wird.

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Communication of the Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen, Universität Stuttgart (Director Professor Dr. J. H. Argyris). This report is based on the author's dissertation to the Fakultät für Maschinenwesen, T.H. Stuttgart.     

Kinetische Stabilität gerader,insbesondere durch nichtkonservative Torsion beanspruchter Stäbe bei Beachtung der äußeren Dämpfung

Übersicht Nach Aufstellung allgemeiner Stabilitätsgleichungen für gerade Stäbe werden diese auf kinetische, durch Torsion bedingte Knickprobleme angewendet. Dann werden für zwei Stabilitätsfälle des tordierten Stabes die kritischen Lasten unter Berücksichtigung der äußeren Dämpfung ermittelt.

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Kinetic stability of straight bars, especially loaded by nonconservative torsion with regard to external damping

Summary After setting up general stability equations of straight bars these are applied to the problem of kinetic buckling caused by torsion. Then, the critical loads are determined for two conditions of the twisted bar with special regard to external damping.

     

Das Schwingungsfundament unter Zufallserregung

Zusammenfassung Neuerdings gewinnt die Aufgabe der Abschirmung mechanischer Schwingungen auch für ununterbrochen, regellos schwingende Erregung an Bedeutung.In der vorliegenden Arbeit wird eine der Aktiv- oder der Passiv-Entstörung dienende federnde Lagerung als einfacher linearer, gedämpfter Schwinger unter statistischer Erregung betrachtet. Als Erregerprozesse werden spezielle Prozesse in die Rechnung eingeführt, die durch bis zu einer Grenzfrequenz ₀ konstante Spektraldichten gekennzeichnet sind. Die damit berechneten Varianzen können zur Beurteilung der Abschirmung von Kräften, Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen herangezogen werden und gestatten auch einen Vergleich mit den Amplituden, die man für periodische Erregungen berechnet. Aus diesem Vergleich ergibt sich im wesentlichen, daß zwar eine niedrige Eigenfrequenz der federnden Lagerung für die Abschirmung beider Erregerarten günstig ist, daß aber der Einfluß der Dämpfung gegensätzlich zu beurteilen ist. Während bei periodischer Erregung dämpfende Kräfte die Abschirmwirkung grundsätzlich verschlechtern, sind im Gegensatz hierzu dämpfende Kräfte zur Erzielung einer abschirmenden Wirkung bei Zufallserregungen unumgänglich erforderlich. Da Fundamente oft wechselweise bei beiden Erregerarten wirksam sein sollen, ist der Einbau abschaltbarer Dämpfer offenbar vorteilhaft. Derartige Dämpfer wurden schon häufig vorgeschlagen, um einerseits die Fundamentresonanz beim Anlauf und Auslauf gefahrlos durchfahren zu können und um andererseits im stationären Betrieb die volle Abschirmwirkung zu haben.     

Über den Einfluß nichtlinearer Verformungen im Grundzustand auf statische und kinetische Stabilitätsfälle der Stabtheorie

Übersicht Für einige statische und kinetische Stabilitätsfälle des geraden Stabes werden die kritischen Lasten unter Berücksichtigung der genauen, nichtlinearen Verformungen des Grundzustandes ermittelt. Bei den kinetischen Stabilitätsfällen wird zusätzlich die äußere Dämpfung beachtet.

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About the influence of non-linear deformations of the fundamental state on static and kinetic stability in the theory of rods

Summary For some conditions of static and kinetic stability of the straight rod the critical loads are determined with special regard to the exact, non-linear deformations of the fundamental state. In case of kinetic stability the external damping is additionally taken into account.

     

Kreiselverhalten eines elastisch gelagerten Rotors

Übersicht Schnelle'Rotoren besitzen eine große technische Bedeutung. Ihr Bewegungsverhalten wird durch die Kreiselkräfte und die Elastizität und Dämpfung der Lagerung beeinflußt. Ausgehend von den Bewegungs-gleichungen wird das Eigenverhalten und das Störverhalten eines Rotors untersucht. Das Durchfahren der kritischen Drehzahlen ergibt instationäre Bewegungen, während axiale Erregerkräfte auf parametererregte Schwingungen führen. Die optimalen Parameter eines Rotors werden bestimmt. Experimentelle Untersuchungen bestätigen die Gültigkeit der theoretischen Ergebnisse.

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Summary High-speed rotors are of increasing technical interest. Their motion is influenced by gyroscopic forces and by the elasticity and damping of their suspension. Starting with the equations of motion the rotor's natural behaviour and disturbance behaviour is investigated. Running through the critical speeds instationary motions appear. Axial forces are leading to parametric excited vibrations. Optimal parameters of a rotor are determined. Experiments verify the validity of the theoretical results.

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Die Arbeit entstand als Gemeinschaftsarbeit am Institut B für Mechanik der TU München. Die Hauptbearbeiter der einzelnen Teilaufgaben sind in Fußnoten genannt. Die Untersuchungen wurden mit Mitteln des Ministeriums für Bildung und Wissenschaft gefördert.     

Die Schwingungsbeanspruchung der Rotorblätter von Tragschraubern

Zusammenfassung Es wird für ein Beispiel gezeigt, wie die im Fluge auftretende Beanspruchung der Rotorblätter von Tragschrauben unter Berücksichtigung der gedämpften Blattschwingungen ermittelt werden kann. Dabei ergibt sich, daß der Einfluß der Schwingungsbewegung verhältnismäßig gering ist. Dies erklärt sich daraus, daß einerseits diejenige Harmonische der Erregerkräfte, für welche Resonanzgefahr besteht, im Verhältnis zur Gesamtgröße der Störungsfunktion recht klein ist, und daß andererseits in der Resonanzstelle die Dämpfung zu einer genügenden Beschränkung der Schwingungsamplitude ausreicht.Die vorstehende Arbeit ist ein Bericht aus der Statischen Abteilung derFocke-Wulf Flugzeugbau G. m. b. H., Bremen. — Die angegebenen numerischen Rechnungen wurden zum größten Teil vonF. Mewes durchgeführt.     

Eine Anmerkung zur Stabilität linear-viskoelastischer rotierender Wellen

Übersicht Die Stabilität rotierender Wellen wird mit einer Störungsrechnung untersucht und die Ergebnisse für ein Voigt-Kelvin-Material und einen linear-viskoelastischen Werkstoff miteinander verglichen.Zusammenfassung Die Stabilitätsaussagen für Rotoren mit linearer innerer und äußerer Dämpfung hängen vom zugrunde gelegten Werkstoffgesetz ab. In dieser Arbeit werden für Wellen aus linear-viskoelastischem Werkstoff nach Einführung von inneren Variablen mit einer Störungsrechnung Stabilitätskriterien abgeleitet. Sie verhalten sich stabiler als Wellen aus viskos gedämpftem Material. Zwei Beispiele demonstrieren die durch das Werkstoffgesetz bedingten Unterschiede.

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A remark on the stability of linear-viscoelastic rotating shafts

Summary The stability of rotating shafts is investigated by means of a perturbation technique and the results assuming a Voigt-Kelvin-material and a linear-viscoelastic material compared.

     

Rotordynamik mit Berücksichtigung von Längskraft und Torsion im achsparallelen Schwerefeld

Übersicht Die gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen der Rotordynamik einer in axialer Richtung homogenen Welle werden mit den Voraussetzungen der Bernoullischen Balkentheorie mit innerer Dämpfung (Kelvin-Material) nach der Theorie zweiter Ordnung für Längskräfte und Torsionsmomente bereitgestellt. Belastungen sind verteilte und diskrete Längskräfte und Torsionsmomente sowie äußere Dämpfung. Die Wirkung von Flüssigkeit, die den Rotor in Achsrichtung durchströmt, wird berücksichtigt. Das Differentialgleichungssystem besitzt nicht-konstante Koeffizienten und ist im Vergleich zu den sonst verwendeten Differentialgleichungen der Rotordynamik erweitert, um die oben aufgeführten Einflüsse zu berücksichtigen. Nach der Linearisierung der Differentialgleichungen und der Abkopplung der Torsion werden Lösungen durch komplexe Potenzreihen in der Achskoordinatex dargestellt. Diese Lösungen sind so genau, wie die zu ihrer Berechnung verwendete Anlage es zuläßt. Eigenwerte und Eigenformen werden in herkömmlicher Weise ermittelt und durch Vergleich mit bekannten Ergebnissen überprüft. Für eine Turbinenwelle und ein Tiefbohrgestänge werden kritische Lastkombinationen aus Drehzahl und Belastungen exemplarisch untersucht.

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Rotor dynamics with regard to longitudinal forces and torsion in a gravity field parallel to the axis

Summary The coupled differential equations of a shaft, homogeneous in axial direction, are derived under the assumption of the Bernoulli beam hypothesis and internal damping (Kelvin material). Second order theory is applied. The loads are distributed and discrete longitudinal forces and torsional moments. External damping and the effect of flow in the rotor along the axis are taken into account. The derived system of differential equations has non-constant coefficients. Compared with the commonly used ones it is extended with regard to the named actions. After linearisation and separation of torsion solutions are described with complex series of the axis coordinatex. The accuracy of the solutions depends on computer and software. Eigenvalues and characteristic functions are calculated and compared with known results. For a turbine shaft and a drill pipe critical combinations of loads and rotational speeds are exemplarily investigated.

     

Kreiselmechanik des Anschütz-Raumkompasses

Zusammenfassung Damit ist bewiesen, daß der Raumkompaß, wie er in Ziff.2 beschrieben ist, durch die Bewegung des Fahrzeuges nur in sehr geringem Maße in Schwingungen gerät. Der Weisungsfehler im Azimut beträgt in extremen Fällen nicht mehr als einige Winkelminuten; im allgemeinen bleibt er weit unter diesem Betrag. Die Fehler der Horizontanzeige sind noch geringer. Dies gilt für Fahrzeuggeschwindigkeiten bis etwa 100 km/Std. (in Kiel), also für Schiffe, Eisenbahnen und Luftschiffe. Wenn auch bei den höheren Geschwindigkeiten der Flugzeuge die Fehler größer sind, so spielen dort die Beträge, die nach der vorausgehenden Rechnung zu erwarten sind, derzeit keine Rolle.Nicht gesprochen wurde in diesem Aufsatz von der Schwingungsdämpfung, obwohl diese aus praktischen Gründen nicht entbehrt werden kann. Die umständliche Untersuchung ihrer Wirkung und insbesondere der von der Dämpfung verursachten Beschleunigungsfehler ist aber nicht dringlich, weil die Dämpfung für den Raumkompaß keine wesentlich andere Rolle spielt, als für den Azimutkompaß, für den diese Fragen genau untersucht sind, und weil durch automatisches oder von Hand betätigtes Ausschalten der Dämpfung während der Dauer von Fahrzeugbeschleunigungen diese Fehler sich zum größten Teil vermeiden lassen.     

Zum Problem der Stabilität ungleichförmig rotierender viskoelastischer Wellen

Übersicht Für eine mit harmonisch schwankender Winkelgeschwindigkeit rotierende Welle wird der Einfluß der inneren und äußeren Dämpfung auf die Stabilität untersucht. Zu diesem Zweck wird die Welle viskoelastisch vorausgesetzt. Sowohl für die unbelastete Welle mit verteilter Masse als auch für die masselose Welle mit einer Scheibe und axialer Belastung können Drehzahlschwankungen stabilisierend wirken.

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Summary The stability of a shaft rotating with a harmonically variable angular speed is investigated taking into account internal and external damping. This means that the material of the shaft has a viscoelastic behavior. For both the unloaded shaft with distributed mass and the massless shaft with one disc and axial loading the variation of angular velocity can give rise to stabilization.

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Ausführliche Fassung des auf dem 12. Internationalen Kongreß für Angewandte Mechanik gehaltenen Kurzvortrags On the Stability of Nonuniformly Rotating Viscoelastic Shafts.     

Der Torsionsschwingungsdämpfer in einer Flüssigkeit zweiter Ordnung

Übersicht Es wird gezeigt, daß die optimale Dämpfung eines Dämpfers, dessen Dämpferflüssigkeit eine Flüssigkeit zweiter Ordnung ist, erheblich abweichen kann von der Dämpfung, die man unter Zugrundelegung einer Newtonschen Flüssigkeit berechnet. Es wird weiter gezeigt, daß durch geeignete Wahl konstruktiver Parameter eine frequenzunabhängige Abstimmung erzielt werden kann, die für alle Frequenzen die bestmögliche Dämpfung ergibt.

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Summary It is shown, that the optimal damping of a torsional damper using a second order fluid as damper liquid may differ substantially from the optimal damping computed on the basis of a Newtonian fluid. In addition one may achieve a frequency-independent tuning by proper selection of design parameters which gives the maximum damping for all frequencies.

     

Die Stabilität oszillierend rotierender Wellen bei innerer und äußerer Dämpfung

Übersicht Es werden oszillierende, also mit periodischer Winkelgeschwindigkeit rotierende Wellen betrachtet und die Differentialgleichungen für die freien Biegeschwingungen einer solchen einfach besetzten Welle bei Vorhandensein äußerer und innerer Dämpfung unter vereinfachenden Annahmen aufgestellt. Aus den charakteristischen Exponenten dieser zwei Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten erhält man die Stabilitätsbediugung in allgemeiner Form.

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Summary A shaft oscillating with a periodically changing angular velocity is considered. The differential equations for the free bending vibrations of such a massless, flexible shaft carrying a single disc are established for the case of simultaneous exterior and structural damping. From the characteristic exponents of these two differential equations with periodic coefficients one obtains the stability condition in a general form.

     

Die ebene Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt

Zusammenfassung Die Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt wird mit Hilfe der konformen Abbildung berechnet. Zuerst wird die Abbildungsfunktion der geknickten Platte mit Spalt so dargestellt, daß die numerische Auswertung für kleine Spalte besonders einfach wird. Durch Hinzunahme weiterer Abbildungen kann man schrittweise von der Strömung um Skelette übergehen zur Strömung um dünne Flosse und profiliertes Ruder und um Flosse und Ruder mit Wölbung und Dicke. Für alle diese Kombinationen wurden die Druckverteilungen berechnet. Es zeigt sich, daß die Rechnungen für Skelette schon recht gute Werte für die Gesamtkräfte liefern. Jeder Schritt in dem Annäherungsprozeß an Formen, wie sie der Wirklichkeit entsprechen, wurde wenn möglich einer entsprechenden Messung gegenübergestellt, um so den Einfluß der Form auf die Druckverteilung klar erkennen zu können. Zum Schluß ergibt sich, daß die Potentialtheorie alle wesentlichen Eigenschaften der Strömung um das geknickte Profil mit Spalt gut wiedergibt.     

Grundzüge einer Stabilitätstheorie für elastische Systeme unter nichtkonservativer Belastung

Zusammenfassung Um den Einfluß von nichtkonservativen Kräften zu erfassen, muß die Stabilitätstheorie nichtkonservativer elastischer Systeme auf dem Prinzip der virtuellen Verrückung aufgebaut werden, das von genügender Allgemeinheit ist. Als mathematische Methode steht nach Klärung von Konvergenzfragen das Galerkinsche Verfahren zur Verfügung, das dem ursprünglichen Problem der Stabilität elastischer Systeme das Problem der Stabilität der Bewegung eines mechanischen Systems von unendlich vielen Freiheitsgraden als gleichwertig zuordnet und die Algebraisierung des Stabilitätsproblems erlaubt. Damit wird die Ljapunowsche Theorie anwendbar. Als Wichtigstes ist die Berechtigung der Linearisierung zu untersuchen, wozu der Einfluß der Dämpfung festzustellen ist. Es ergibt sich, daß bei Berücksichtigung von Dämpfung die Stabilität stets asymptotisch ist, so daß die Linesarisierung gerechtfertigt wird. Darüber hinaus zeigt es sich, daß die Struktur der Matrizen und von entscheidender Bedeutung für die Zuständigkeit eines der in Frage kommenden Stabilitätskriterien ist: Ist symmetrisch und eine beliebige positive Diagonalmatrix bzw. schiefsymmetrisch, oder symmetrisierbar bzw. unsymmetrisch und noch gleichzeitig (die Dämpfungskoeffizienten alle gleich), so wirkt in diesen Fällen die Dämpfung günstig, und die Stabilitätskriterien des ungedämpften Vorganges, das statische bzw. das kinetische, bleiben daher hinreichend. Man darf dann auch ohne Dämpfung rechnen. Ist dagegen unsymmetrisch und eine positive Diagonalmatrix mit verschiedenen Elementen, so darf in solch einem Fall nicht ohne Dämpfung gerechnet werden, weil gegenüber dem ungedämpften Vorgang ein Sprung in den Stabilitätsbedingungen auftritt, durch welchen das Ergebnis der Rechnung ohne Dämpfung in Frage gestellt wird.     

Ein Beitrag zur Stabilitätstheorie der Wirbelstraßen unter Berücksichtigung endlicher und zeitlich wachsender Wirbelkerndurchmesser

Zusammenfassung Nach dem Bericht über die bekannten Arbeiten über die Stabilitäts-theorie der Wirbelstraßen wird die Vermutung ausgesprochen und begründet, daß der in den bisherigen Theorien nicht berücksichtigte endliche Wirbelkerndurchmesser und seine zeitliche Veränderung einen neuen Einblick in das Stabilitätsproblem der Wirbelstraßen verspricht.Es werden für die einreihige Wirbelstraße Bewegungsgleichungen aufgestellt, linearisiert und durch eine unendliche Reihe gelöst. Die Stabilitätsdiskussion zeigt die Instabilität der einreihigen Wirbelstraße in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung.Im Anschluß hieran werden die Bewegungsgleichungen für die beiden Typen der zweireihigen Wirbelstraße angegeben, linearisiert und für den Fall, daß nur ein Wirbel gestört wird, gelöst. Die Diskussion der Lösungen ergibt, daß für die Wirbelstraße mit auf Lücke stehenden Wirbeln für endliche Zeiten ein Stabilitätsgebiet existiert. Es werden spezielle stabile Lösungen angegeben. Für verschwindende Zähigkeit schrumpft das Stabilitätsgebiet auf eine Gerade zusammen, die die alte Stabilitätsbedingung nach Th. v. Kármán darstellt.Die Diskussion der Wirbelstraße mit gegenüberstehenden Wirbeln zeigt das überraschende Ergebnis, daß neben der Instabilität dieser Anordnung für kleine Zeiten bzw. für große Werte des Parameters k=h/l auch ein Stabilitätsbereich existiert, der jedoch nur durch Instabilitätsgebiete hindurch erreicht werden kann.Zum Schluß werden einige Bemerkungen über die Gültigkeit der Theorie und über die Möglichkeiten der experimentellen Verifizierung gemacht.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Wille, Prof. Dr. phil. E. Mohr).     

Application of wave method in investigations of single gear transmission

Summary Dynamic investigations for the discrete-continuous model of a single gear transmission are performed using the wave solution of the equations of motion. Transient as well as steady states are considered. Damping is taken into account by means of an equivalent external damping of the viscous type and an equivalent damping of the Voigt type. Angular displacements in arbitrary shaft cross-sections and dynamic reactions on teeth of the gear transmission in resonance conditions are determined. Results for the wave method and the multibody system approach are compared in the case of amplitude-frequency curves.

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Anwendung der Wellengleichungen bei Untersuchungen einstufiger Getriebe

Übersicht Mit Hilfe der Wellengleichungen werden dynamische Untersuchungen für das Modell eines einstufigen Getriebes aus Starrkörpern und verformbaren, kontinuierlichen Teilen durchgeführt. Sowohl Übergangs- als auch stationäre Zustände werden betrachtet. Dämpfung wird mit Hilfe einer äquivalenten äußeren viskosen Dämpfung und einer äquivalenten Dämpfung vom Voigt-Typ berücksichtigt. Bestimmt werden die Winkeländerungen in beliebigen Wellenquerschnitten und die dynamischen Reaktionen der Getriebezähne unter Resonanzbedingungen. Die Ergebnisse dieser Methode werden anhand der Amplituden-Frequenz-Kurven mit denen nach der Mehrkörper-Dynamik verglichen.