一道IMO备选题的推广

IMO - 1979备选题 (由荷兰提供 ) :在等边△ ABC内取点 K、L、M,使得 :∠ KAB =∠ L BA =15°,∠ MBC =∠ KCB =2 0°,∠ L CA =∠ MAC =2 5°,求△ KL M的三内角 .图 1笔者最近研究发现可将此题作如下推广 :定理　如图 1,在等边△ ABC内取点 K,L ,M,使得∠ KAB =∠ LBA=α,∠ MBC=∠ KCB =β,∠ L CA =∠ MAC=γ,且α +β +γ =60°,则∠ L MK =3α,∠ ML K =3β,∠ MKL =3γ.证明　如图 1,延长 AK、AM分别交 BC于点 P、Q,又连结 PM、QK,则∠ PBM =∠ PAM =β　 　点 P、M、A、B共圆　 ∠ MPA =∠ M…     

初二几何第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题4分,共40分)1.三角形的三个内角中,最多有个锐角,最少有个锐角,最多有个直角,最多有个钝角.2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A=,∠B=,∠C=.3.在△ABC中,∠A=12∠B=14∠C,则三个内角分别是.4.已知三角形两边分别是2厘米和7厘米,第三边的数值是偶数,则这个三角形的周长是.5.已知不等边三角形的最长边为9,最短边为2,且第三边是整数,则第三边长.6.如果在一个三角形中,最大角是最小角的2倍,那么最小角的范围是.7.周长为15,各边长是互不相等的整数的三角形有个.8.在△ABC中,∠B和∠C的平分线交于点O,若∠A=5…     

三角形顶边连线的性质--一个辅助三角形的应用

本文研究三角形顶点与对边任一点连线的一个性质 ,因这种线是三角形中线、角平分线、高的推广 ,故其具有一定的价值 .定理 1　如图 1 ,D为△ ABC的 AC边上任一点 (两端点除外 ) ,AB=a,BC=b,CD =c,DA =d,CA =m,DB =n,∠ DAB ∠ DCB =α,∠ DBC =β,∠ DBA =γ,则有( mn) 2 =( ac) 2 ( bd) 2 - 2 ac. bdcosα,( ac) 2 =( mn) 2 ( bd) 2 - 2 mn .bdcosβ,( bd) 2 =( ac) 2 ( mn) 2 - 2 ac.mncosγ.特殊地 ,当α=π2 时 ,cosα=0 ,于是得到直角三角形的有趣定理 :( mn) 2 =( ac) 2 ( bd) 2 .图 1此定理深刻揭示了直角三角…     

关于角格点问题

如果三角形的三个角的度数都是10°的整数倍,三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后得到的所有的角也都是10°的整数倍,我们称这样的点为三角形中的角格点.在给定的具有一个角格点的三角形中,恰当地选定三条线段,求用此三条线段构造的新三角形的三个角的度数,有趣的是,这种问题常常是使用正三角形一蹴而就.     

找个对称点一蹴而就

如果三角形的三个角的度数都是10°的整数倍,三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后,得到的所有的角也都具有这个性质,我们称这样的点为三角形中的角格点,在具有角格点的三角形中,有时会存在三条线段a、b、m,满足a+b=m.有趣的是此类问题常常是找个对称点一蹴而就.     

关于三角形的两个不等式

本文提出并证明以下关于三角形的两个不等式。 1°△ABC的内切圆分别切各边于A',B',C',则 △A'B'C'的面积≤1/△ABC的面积 (1)式中等号当且只当△ABC为等边三角形时成立: 2°设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为ρ,顶点A,B,C到内心的距离分别为α,β,γ,则有 32Rρ~5≤α~2β~2γ~2 (2)     

两个锐角三角形外心性质的别证与拓展

<正>1性质呈现^([1])(1)如图1,O是锐角△ABC的外心,∠BAC是锐角,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF、FD、DE分别交AO、BO、CO于点D′、E′、F′,则1/OD-1/OD′=1/OE-1/OE′=1/OF-1/OF′.(2)如图2,O是锐角△ABC的外心,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,记∠ADC=α,∠BEA=β,∠CFB=γ,则BCcosα+ACcosβ+ABcosγ=0.     

一个周长最短问题的简解

问题：如图1,∠MAN内有一点D,过D点的直线l与角两边交于两点B、C,∠BAD=α,∠DAC=β（0〈α＋β〈π）,AD=m,求△ABC周长的最小值,并说明取最小值的条件．     

莫利定理的简洁证明

莫利定理　任意三角形每两个内角相邻的三等分角线的交点构成正三角形 .证明　如图 1,在任意△ ABC内部构造△ BDC,使∠ DBC =∠ B3,∠ DCB =∠ C3,又作△ BDF,使∠ DBF =∠ B3,∠ BDF =6 0° ∠ C3,使 DF交 BF于 F,作正△ DFE,则∠ EDC =6 0° ∠ B3.又连结 EC,分别延长BD与 C     

用三角形内角和定理解竞赛题

三角形内角和定理及其推论,在解与角有关的一些数学竞赛题中,有十分有趣的应用. 例1 如图1,在△ABC中,∠A=42°,∠B和∠C的三等分线分别交于D、E.则     

与三角形角平分线相关的三条结论

三角形的三个内角之和为180°,这是平面几何中一条十分重要的定理.那么在此基础上,三角形的内角或外角平分线与其内角间有怎样的关系呢?本文总结出与角平分线有关的三条结论.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°;结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半;结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.证明如下:1.如图1,△ABC中,∠ABC与∠BCA的角平     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

一道数学竞赛题别证

<正>(2019年地中海地区数学竞赛第1题)已知△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线与边BC 交于点 D.记△ABD,△ADC,△ABC 的内切圆半径分别为r_B,r_C,r,AC=b,AB=c.证明:1/r_B+1/r_C=2(1/r+1/b+1/c).这道题主要考查三角形内切圆相关知识.参考答案主要借助三角形内角平分线定理,解三角形的余弦定理,及三角形面积公式(含海伦-秦九韶公式)转化为三角形边的关系进行证明.     

两个正则点之间的距离

我们知道 ,不等边三角形有且只有两个正则点 .那么 ,这两个正则点之间的距离是多少呢 ?定理　若不等边△ ABC的三边长为 a,b,c,它的两个正则点为 Z,Z′,则ZZ′=3abcλλ′ ,其中λ= a2 b2 - 2 abcos(C 6 0°)等三式 ;λ′= a2 b2 - 2 abcos(C - 6 0°)等三式 .图 1证明　图 1所反映的是最大角 A小于 12 0°,最小角 C小于 6 0°时的情形 ,记∠ ZAB =θ,∠ Z′AB =θ′,则∵∠ AZB =6 0° C,　∠ AZ′B =6 0°- C,∴　 csin(6 0° C) =ZBsinθ,∴　 sinθ =ZBc .sin(6 0° C)=acλ.1csin(6 0° C)=aλsin(6 0° C) ,同理可得…     

三角形的一个有趣性质

设△ABC三边为a、b、c,三角为α、β、r,则以Sinα、sinβ、sinr为边的三角形存在,且这个三角形的三角仍为α、β、r。证明:在△ABC中,由正弦定理知: a/sinα=b/sinβ=c/sinr=2R(R为△ABC外接圆半径) (1)由(1)得:Sinα=a/2R,sinβ=b/2R,sinr=c/2R。     

勃罗卡角的计算公式

已知△ABC中,P是其内部一点,如果角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称α为勃图1　罗卡角.点P称　为勃罗卡点(见图1).一般地,对于任意的三角形都有两个勃罗卡角与两个勃罗卡点,(见图2).当△ABC为正三角形时,两个勃罗卡点重合,此图2时α=β.由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,勃罗卡角与△ABC三个角A、B、C应有一种确定关系.文[1]讨论了勃罗卡点到△ABC三顶点距离之和与△ABC三边a、b、c的关系.本文就勃罗卡角与A、B、C三角之间关系作一讨论.定理　已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角是∠PAB=∠PBC=∠…     

Morley定理的更简证明

近年 ,我们对 Morley定理的研究日深 ,证明日简 ,本文给出一个仅用几行文字的证明 ,供大家赏析 .Morley定理　如图 1,任意△ ABC每两个内角相邻的三等分角线的交点构成正△ DEF.图 1　　　　　　　　　图 2证明　如图 1,设 A =3α,B =3β,C =3γ,如图 2 ,又构造凹六边形A′F′B     

关于角格点一些猜想的证明

文 [1 ]提出了 4 5个猜想 ,但笔者没有看出其规律 ,因而不能知道被省略的猜想 ,本文将证明文 [1 ]列出的全部猜想 .首先约定 ,本文中的 A,B,C,β,γ分别表示图 1中△ ABC的三个内角及∠ PBC,∠ PCB的度数 .定理 1　在图 1中 ,cot∠ PAB =sin Csin (β γ)sin ( B C) sinγsin ( B -β)- cot( B -β) .证明　在△ ABC,△ PBC中 ,分别运用正弦定理 ,得BCsin ( B C) =ABsin C,BCsin (β γ) =PBsinγ,所以　 AB =BCsin Csin ( B C) ,图 1　 PB =BCsinγsin (β γ) .在△ PAB中 ,再运用正弦定理 ,得ABsin(∠ PA…     

对一道例题的再思考

文[1 ]中王佩其老师分析了例1因为没有挖掘隐含条件而致错.其实,该题我们也可以这样巧妙地求解:构造三角形,通过三角形的性质达到问题解决.例1　(文[1 ]例1 )已知锐角α,β,γ满足sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,求α- β的值.解　由题意可得sinα+sin(π+ β) +sin(π-γ) =0 ,cosα+cos(π+ β) +cos(π-γ) =0 ,设A(sinα,cosα) ,B(sin(π+ β) ,cos(π+ β) ) ,C(sin(π-γ) ,cos(π-γ) )是△ABC三个顶点的坐标,则易知原点O ( 0 ,0 )是△ABC的重心.又因为△ABC的三个顶点到原点的距离都等于1 ,所以O ( 0 ,0 )还是△ABC…     

一道中点试题的解法探究

<正>中点是初中几何最常见的概念之一,中点与其他知识有着紧密的联系.由中点可以产生很多的联想,比如中线、中位线,等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线等等,这些联想往往都是解题的突破口,下面让我们一起来看一道有关中点证明的题目.1试题呈现如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<90°),连接BD