关联三边成等差数列的三角形的一个等价命题链

在△月邵中,a油,e分别为角月、刀,c所对边,设 (l)a,乙,e成等差数列则2b=。十。,应用正弦定理即知(l)等价于 (2)ssn月,sin厅,sine成等差数列对式Zsin刀=sin月 sinC进行和差化积,约去t2sin等判,就有(3)eos月一C 2=ZCos月 C 2展开移项整理,两边除以sin河.万钟号,”,得l一3ACtg万tg百= BZctg;犷 ‘ C .A~ctg二干十ctg下‘ “‘、户、.了J,尸O了‘气护‘、 由结论(3)出发,还可导出:卜(6)。S,一普一, 。OSe由于;·*一普一2(l一,B),于是有cosA ZcosB十cosC二2·、一’普 S、一 ·,CSln一~二犷 Z _,B二二二二COS~气丁 Z 十刀一2、.产、…     

数学问题解答

19892月号问题解答 (解答由问题提供人给出)。,。:r,月百l论兀.14,尸)。‘0汉改二i劣{公二气;一 下a尹c tg下厂,那之z老, tl乙乙t,)B=恤}二=衍一a,。tgZ,无任:},。(l,1,产〕‘二、x lx二‘兀十arCtg牛下,佑口名卜 L二乙)试证:月二BU己~。二_J‘1 14.无汀,尸址:勿翔戏二、xI劣=下~arc tg石~十气犷,,‘二 吸l‘Q乙洲溉于份为方程 ,4tg乙念=.万~ O(*)凡 刀。=泞s53 尽10=S的解集,再由倍角公式,方程(,)可变形为 娜‘’汝_l。捆、」黔二五丫刻花产Jl下。2{、二芝.止望一二生1一tg‘劣3目nZtgZ劣 3tg劣一2=o(Ztg劣一1)(tgx 2)=0 1,、。tg‘=…     

上期课外练习解答

1.化为一元函数求最值.由题设,易得!A B C一‘80’(ZB=A C, B=600,A C一1200.夕一eosZA eos,C=eosZA eosZ(120。一A)1十eosZA 2 吐卫旦兰丝丝兰鱼丝 乙 1,~二=1州卜花犷L COS乙了压十.COS乙4U .COS乙八一十 乙sin240o·sinZA) 1,1_‘万._‘、一1户t二r.又二二COS乙八一一;,Sln乙八) 乙乙乙 1.,,‘一1一二一Slnt艺月一JU 乙易知一300相似文献   

引入参数证明不等式

,有些不等式的证明,可以巧妙地引入参数,构造一个参数不等式,使参数在不等式证明过程中起到一个桥梁作用. 例l已知a、b、e任R+,且a+b+c=1,求证:抓而雨万十石丽石十了而萍下“了下.诬明设‘>.,构造不等式如下::了丽石干1=石勿币滓万、.声、声.舀..矛.、了、,l,_。._‘气二r气r十1加十1, 乙同理‘了〔丽干万《喜伊+:sb+:).,一一’-一’一~生、一’-一’一‘ ,_、.。,l,J.__ ‘了l刀C州卜l版如二.气r,.1习亡十l, 乙 (1)+(:)+(3)得.‘(刀画不I+了丽石干1.+了1茱落万)(3) ‘备,+‘当且仅当‘“(4)Z瓦翻万二石丽干面. .了了‘,.、一~.。』.一丫…     

三角形角平分线的一个性质及其应用

:。AB AC A一2弋黔{COS普一2一普·A)乙(l 定理设O口为△月刀‘的外接圆的内(外)角平分线交00于p(Pl),则AB十Ac一ZAPCOS晋}朋一AC}=ZAP,cos汀一A 2(2)证明如图l,乙A的内角平分线交O口于P,连结刀p,易证△月刀尸仍△月2义少,于是有 __月刀·月〔, J心J=~--气二于一一。 ZU夕又由S     

利用函数的奇偶性证反三角不等式

肠目设}x}<1,求证 eos(aresinx)(aresin(eosx). 分析易知不等式两边的函数都是偶函数,原命题的条件等价于x(〔O,1].设(a证一: COS=COSare、inx=a,则、ina二x,于是aresinx)一aresin(eosa口一arCSin 了汀、〕s,n、一了一x产“当x〔[0上式二eosa,13时, ,汀、一人不犷,一x’=eosa十sina兀_护育几厂‘一V乙sln(平十。)一冬‘万一斗0=了l一厂,故有…     

不易发现的失误

(*)式不能用三角形任两边的和大于第三边,据用连结两点的线中线段最短这一重要性质。上述论证中,把“设PE交DD于F’’删去,(*)式改为邢 咫十ED>BD就完全正确了。 有这样一道几何题:△月刀c中,乙A=120。,p是△月zr内任一点,求证:PA PB 代,)月刀十AC。 一同学是这样证明的: 延长6A到D,使月刀=AC,乙BAC=1 200,…匕刀月口=600,:.△月C刀为等边三角形,…月C二摺。 以脚为一边向_,打尸五淤一、;图l上作正△尸C召,连DE,设PE交DD于F(如图l)。则彬二cE,AC~CD,匕尸口月=乙名‘刀,.,.△代悦望△召口刀,…PA二刀召, 丫产公十产孕,>那,护…     

无字的证明四则

1 sin(2九十l)0一sin()十Zsino义c璐2功皿创.口2一口.‘皿目的口里口,肠.口日泣.莽二拼几州—卜—州2,+2十…十,一冬、(,+1) 乙13十23+…十沪=(喜。(。+l)): 乙{“{:艺X盆一3 x3,推夏.x二.(.+1夕3交错平方和一三角数,‘2一(。一l)2十…十(一l)一‘(l)2 门__凡,,_1、。‘二_,.、2一—‘一J、lj、,,几j— 杏日(,,)(召十1) 2撰一尸4·个反止切恒等式和一个反止切级数},一2寸,草+一”l户尸,孟,,.J匕‘‘r‘I司l一 甲1 .中卜生一护+n宁丫.,泞一·一︻宁几!!!N口)亡-叫1一t nZ净告)、l.厂、二一, ,、习井.。aretan粗十are扭n 1护十升十1~arctan…     

是一解还是两解?

1992.9 厂万丽兀7一VI一‘丽少’=丽· .’.在△AOB中,由余弦定理得 (2;)2一12+l:一21·l _36.COSZa~二;.护 乙勺 月3一5 一一"一l故侧面展开图的圆心角0为:”一于 ____3‘_.。._.。。.石bU’二二二X石bU一二乙工b一 O解法二令2一arcsi·器,则SinZa~2425Sin口·COS口 12一丽’ 12s‘nacOSa~丽sinZa十eosZa一1rl21t 由 样 这 3s,na=万解得{ 4c韶a万35根据sin。一于,得狈”面展开图的圆心角0为;“一于 3‘_‘,__.。。.石bU“一~;‘X沙七U-一乙1勺- 勺或0一于·_。。_4、。,。。。。。。dbU’=二二州入J勺U一~乙石匕- 匕 纵观上述…     

圆周角平分线的一个性质及其应用

定理设朋洲D、淞是圆的三条弦,乙召解~2a, (l)若朋平分乙月月‘,则朋+淞二ZA刀℃osa. (2)若AD平分乙刀韶的外角,且月刀>Ac,则 月召一肖少~2川为Ina. 证明(l)连结肥、BD.如图1所示,由△月汀的面积关系有 月刀·水少·SjnZa二(AB+双、)月E·sjlla即2朋·留·cos。二(月刀十月c)刁刃,C又△‘E。△ADB,荔一器,A。·Ac一AD·朋②将②代入①即得2月石七仍a~月D十淞·必丁二{‘图2 (2)设乃D与肥的延长线交于E,连结DD,如图2所示,则乙C月E二900一a,乙川刃=900十。,类似于(l)有万悠 月刀·水)sinZa二沌刀·月召sln(900+a) 一淞·滋肠in(9…     

二次曲线的一种作法

,椭卿对、-雾·,的作图夕一 由曲线关于坐标轴和坐标原点对称可知,只须作出二>。,百>砧勺点(x,妇。作法如下:取OA二a犷O刀二b,ON二x,作AS上OX,BR‘LOXNT上OX,以口为圆心OA为半径画弧交NT于几作尸兀_LOY,交As于Q,连OQ交BR于M,,作M’M上NT,对为垂足,则M为砰十y,_,石‘犷一上D‘上的点(劣,妇。 作法的根据如下:在直角△口尸对中,由勾┌──┐│一卫││琳 ││夕 │└──┘股定理得,pN“=O尸么一ON“=a“一护。由△OM尹B冈△O口过得,口A OA五万了石=J刀,又口月二PN,砂一rM,B二MN研;、;二到兰_,,,仍形刀艺OA旦OB么’即…     

第五届初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题及参考答案

一、选择皿1.如果:=粤沪一l,b护。,那么 廿默等于答〔B〕朋一‘COS‘琳黯-竺二丝=‘上了万、:二土月刀·双,、2’一25.如图,在四边形声。cD中,乙6一乙D~900,乙A(^)一上(B)裂Z宁1(e):一生(o):一二一 岛工十L一。00 .AB一;,AD一5.那么筹等于答[B〕提示:将空的分子、分母同除以阮 任门一p 浦E,,产,(^)一(B)2(e)、/一了第一(5)题图 _、5又”)万-卜 2.在△月刀‘中,若匕A二58。,AB>即,则乙召的取值范围是答〔A] (A)0.邵,所以匕c>匕卢.即乙c>580. 3.设实数。相似文献   

九、 参数方程与极坐标

一、选择题3.与方程刁=l等价的方程是()J..Jt,,、.‘‘砍l(B(D 劣甘︸rJ悦eeL 、,声 A J‘、.。知直,,。参数方程为}‘ t犷=一 。in要 O 1=心一T _万=艺一欠幻日~二~ bx=Sin乙(C)工=tg心梦~以g止‘一侧(‘为参数)(。为参数),则直线l的倾斜角为(,=。吸沼(^)晋(B)晋(e)誓(n)誓 月.不论口为何实数,方程的曲线都不是()Se讨Ze众刃二2 ,:=x,所表示2.椭圆的参数方程为=4co。口 l=3sin口(0为参数)的(^)直线5.直线l:(B)圆(C):.2 比以刃甲=一3一白ino抛物线(D)双曲线(0为常数,‘为参数)中,劣封﹄口l才1吸坐标是() (^)(一了了,o)(B)(一了下,o)(…     

角a、a/2、2a终边位置的研究报告

(~责审余炯沛)a终边位置一象限二象限三象限一四象限一注释代数表示 Zk兀相似文献   

数学奥林匹克问题选登

1992年l月号问题解答 (解答由供题人给出) 一‘.证明连结。,11,o:21,0.02,记,:,,,分别是0,,o:的半径· 显然艺ol产Ic,乙O:月口~450,匕O:矛J口:二90.,且侧△Allc的几△月心刀的欣△CHB(如图1),所以一二认侠\尹l,一拜抹,‘气篇不,不等式两边同除以‘· ’ :)’,得到一个形式相同的关于x.y,z的不等式,其中x Y十z=1).再把不等式等价地变形为 4(刁 扣 二),一(12苹 l)(刁 乒 二) 二笋蕊0,把:十y~l一:代入上面不等式中得4(刁 :(l一:))2一(l 12二护)(刁 :(l一z)) 公拼续0,化简为峨(1一3:)(刁);一(l一:)(2一1)(6一l),一z(l一z)(22一l)含毛0.令t二…     

1964年北京市中学生数学竞賽試題

高二第一截贰题1.求题: 2.已知方程尸一2二+烤(2a2一a)=。有一个正根和一个负根,求实数。的植的范围. 3.图中,二面角M一刁B一N是值二面角,p为楼才习et:琴一tg助(】+tg e tg当二:eose。。. 洁名/、‘/2.化筒: 「/,4犷4\一3./、一202\、1川吕al、一一代二「尸)下、一丫,=不~)l, L、刀J一刀,、刀了刀一,J上一点,p尺、ps分别在面M、N内,并且乙RpB=乙卯B二45“.求艺Rps的大小。 吸.已知二次函数y=。产+ (这里。,。,。都是正数,且a手l). 3.图中,E为弦才B和cD的交点;F为AD的延长接上的一点,且E材c凡又厂‘为圆的切拢,G为切。二+‘(a毕。)当…     

上期课外练习参考解答

}初一年级…设20驴川’一a.则M- a+l208a+lNZO8a十l2082a+l’易知由2M>N. 1 .12关1~又代丫尸育十二下犷丁一二戈丫厂丁-尸-丁丫一弋尸, 乙入1气乙一卜1)气1一卜八)j得百石耳几互万 A一1. l+A一2.3.设M处里程碑记数为10,+y,则N处记数为10y+工。。.,且2卫三土2_10夕+x一(10二+刃~~.”,11一73解得y一2二.(0(二(9,y)O,二,y是整数)(1)当二~1时,y~2.则M处记数为12,N处记数为21.可求得某人速度为12+(11一7)一3.行走。N段需(47一21)一3一8粤(小时)与行走不到1一-一’~’-一’-一3’田心’,’.一’一‘-小时矛盾.(2)设二~2则y~4,则M处记数24,N…     

上期课外练习解答

高一年级1 .4x+y-(4x+刃·1 、1 .9、(4x十v)(二+二) Xy4+业+里+9yX、13+2抨万一25故4x十y)25. 1、。1名.a一气SlnX十二二~)‘一二一 乙4一1(5 in二簇1,.当sinx一 1_,一下犷目丁,以min ‘14 nl当Sinx一 4‘1时,am。二=2,m一2.1一4 一 刀,升=l16’3 1 eosZa 1 eosZa+ lsinZa·sin,尹·eosZ月十5 inZa·sinZ召·eosZ召 1eosZa+lsinZa·eosZ月 eosZa+sin,a·eos,月+sin,a·sinZ月=CosZ。+Sin,a(eosZ月+sinZ月)=eosZa+sinZa=l,·‘·(eosZa+sinZa·eosZ夕+sin,a·sinZ月) 1.又---代犷一十COS一O夏蔽牛丽乃十赢六两户 -沙。高二年级…     

第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

数学问题解答

1”0年8月号问题解答 (解答由间题提供人给出)已、 =叮。.夕了一。。织· D\奋l ‘inGsin(0+C)‘666.、证明o<甲<要时, ‘中相似文献