简解一道联赛题

最近遇见一道“陈题”,笔者发现此题蕴含的数学思想不一般,是一道可圈可点的好题,现整理如下,供大家参考．     

一道联赛题的探索

(2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第17题)已知正数a,b,c满足2a+4b+7c≤2abc,求a+b+c的最小值.     

一道联赛题的新解

(2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第17题)已知正数a,b,c满足2a+4b+7c≤2abc,求a+b+c的最小值.文[1]公布的标准解答很难想到,文[2]的解答技巧性太强,本文按常规思路给出一种易于接受的方法供大家参考.     

一道联赛题的探源

题目 已知正整数N〉1,求证：1/n＋1＋1/n＋2＋…1/2n〈25/26 （2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第二试第2题）     

一道联赛题的妙解

2008年全国高中数学联赛一试第15题:如图1,P是抛物线y~2=2x上的动点,点B,C在y轴上,圆(x-1)~2+y~2=1内切于△PBC,求△PBC面积的最小值.命题组给出的方法是用点P的横坐标表示△PBC的面积S,然后求S的最小值,这种方法运算量太大,下面我们用算两次的思想来轻松解决这一问题.设点P的坐标是(x_0,y_0),△PBC的面积为S,PB,PC和圆分别切于D,E,则有     

一道联赛题的推广

分析 要证此小数是有理数，即证此小数是循环小数，也就是要证{cn}是周期数列．这种传统的方法在大多数参考书上都可以看到，在此不过多介绍．     

一道联赛题的推广

一道联赛题的推广４４３０００宜昌市一中陈建森９５年全国高中数学联合竞赛试题第二论的最后一题为：将平面上每个点都以红蓝两色之一治色，证明：存在这样的两个相似三角形，它《ｒ的相似比为１９９５，并且每一个三角形的三ｆ顶点同色．现将以上命题作如下推广：将平面...     

一道联赛题的挖掘

题目设n为自然数,a、b为正实数,且满足a b=2,则1/a a~n 1/a b~n的最小值是__。(1990年全国高中数学联合竞赛试题二(1)) 这是一道值得精心挖掘的佳题。 (一)横向挖掘——多解由已知条件,知a~nb~n≤1,当且仅当a=b=1时,等号成立。灵活地运用a~nb~n≤1,我们发现本题有多种求解思路。解1 [用1/b~n 换a~n] 1/1 a~n 1/1 b~n≥1/1 1/b~n 1/1 b~n=b~n/b~n 1 1/1b~n=1,其中等号成立1/b~n=a~n即a~nb~n=1a=b=1。故1/a~n 1/b~n的最小值为1。解2 [通分,用a~nb~n换分子中一个1]     

一道联赛题的解法研究

<正>~~     

一道联赛题的多视角思考

视角1 着眼于消除分子分母的差异,将分母化到根号里面去．     

浅谈一道联赛题的证明

20 0 4年全国初中数学联赛第二试第二题 :已知 ,如图1.梯形ABCD中 ,AD∥BC ,以两腰AB ,DC为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF ,连接EF .设线段EF的中点为M .求证 :MA =MD .此题与一道旧题密切相关 .该题是 :已知 ,如图 2 .△ABC中 ,AD是BC边上的高 ,以两边AB ,AC为一边分别向外作正方形ABQF ,ACPE ,连接EF ,交AD的反向延长线于G ,求证 :G为EF的中点 .简证如下 :证 :过E作EM⊥DG于M ,过F作FN⊥DG于N ,则FN∥ME ,∠EMA =∠ADC =90°.又∵∠ 1+∠ 2 =90° ,∴∠ 1=∠ 3.又∵AC =AE ,∴△ADC≌△EMA .∴ME…     

一道高中联赛题的简解

1993年度全国高中数学竞赛有一这样一个题目:实数x、y满足4x~2-5xy 4y~2=5,设s=x~2 y~2,则1/S_(max) 1/S_(min)的值为______.本文给出它的两个仅用到初中知识的解法。     

一道联赛题的另解

<正>题目(2015年全国初中数学联赛第二试(B)试题)若正数a,b满足ab=1,求M=1/(1+a)+1/(1+2b)的最小值.解因为a,b是正数,所以M=1/(1+a)+1/(1+2b)>0.由已知条件,得方程组{ab=1,M=1/(1+a)+1/(1+2b)     

对一道联赛题的探究

【原题】(2011年全国初中数学联合竞赛试题)如图1,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,BM为∠ABC的平分线     

一道联赛题的新证

<正>如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH以点P,求证:点P为CH的中点.这是2014年全国初中竞赛题的一道几何题,命题组给出的答案不容易想到,本文连接现有的点,应用相似三角形的比和正弦定理以及中线均分三角形面积的结论,思路清晰,推理简单,很适合初中生学习.     

对一道联赛题的探究

笔者对2010年全国高中数学联赛一试中第10题作了探究,给出了不同的解法及推广．     

一道联赛题的新证法

一九八九年全国高中数学联赛第二试第二题抄录如下: 已知x_1∈R(i=1,2,…,n,n≥2)满足 sum from i=1 to n |x_i|=1,sum from i=1 to n x_i=0. 求证 |sum from i=1 to n x_i/i|≤1/2-1/2n. 这道题参考答案上已给出了两种证法,现在我们再给出另外一种证法,这种证法比参考答案给出的两种证法都简单,而且更加紧扣教材,更容易为学生所接受。证明任给i∈{1,2,…,n},则有