Exact envelope-soliton solutions of a two-dimensional nonlinear wave equation

ExactN-envelope-soliton solutions are obtained, by extending Hirota's procedure, for the twodimensional nonlinear wave Eqn. (1) withq>0, which describes the evolution of the envelope of a train of surface gravity waves on deep water. They are shown to propagate in directions making an angle greater than tan^–1/2 with the propagation direction of the underlying carrier waves. We also point out and discuss the limitations of Hirota's procedure for generating solitonsolutions to problems of more than one spatial dimensions. Envelope-soliton solutions to Eqn. (1) withq<0 are also discussed.

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Sommaire On généralise la méthode de Hirota pour obtenir des solutions exactes àN-solitons et on l'applique à l'équation des ondes nonlinéaires à deux dimensions (1) avecq>0, qui décrit l'évolution de l'enveloppe d'un train d'ondes de gravitation dans un fluide de grande profondeur. Ces solutions se propagent en directions formant un angle plus grand que tan^–1/2 avec la direction de propagation des ondes porteuses fondamentales. On montre aussi que la méthode de Hirota n'est pas capable de produire, en deux dimensions, des solutions exactes aussi générales que dans le cas d'une seule dimension. Enfin on étudie les solutions de l'équation (1) avecq<0.

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Research supported by the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada. The author thanks Dr. G. Tenti for valuable discussions.     

Apparatus for groving large monocrystals of ice with radial refining

Résumé On discute un procédé radial de purification et on décrit son application; un appareil pour la production de monocristaux de glace. Les cristaux purs (50 mm, de diamètre et 300 mm de longueur) possèdent un cur de 25 mm de diamètre ayant une conductivité moyenne de 1,5·10^–7 ohm^–1 à–10°C. On peut également produire des monocristaux transparents dotés d'acide fluorhydrique qui ne présentent qu'une faible inhomogénéité (20%) si la concentration dans la glace est inférieure à 3·10^–5HF/H₂O.     

Hypercontractivité pour des systèmes de spins de portée infinie

Résumé Nous considérons un système de spins sur ^d . Nous prouvons l'équivalence entre premièrement une condition faible de mélange deuxièmement le contrôle du trou dans le spectre et troisièmement celui de la constante de Sobolev logarithmique pour des potentiels de Gibbs de portée non nécessairement finie. Nous en tirons des conséquences sur la vitesse de convergence des semi-groupes dansL ² et sur la décroissance des corrélations: il n'y a pas de régime intermédiaire entre un taux algébrique ent ^–2d (resp. |j-k|^–2d) et un taux exponentiel. Les résultats généraux sont montrés pour des spins à valeur dans une variété riemannienne compacte ou dans un espace fini.

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Summary We consider a spin system on ^d . We prove the equivalence between first a weak mixing condition, secondly the controle of spectral gap and thirdly the controle of logarithmic Sobolev constants for non necessarily finite range Gibbs potentials. Hence we draw consequences concerning theL ² decay to equilibrium and the correlations decay: there is no transitory rate between an algebraic decay ast ^–2d (resp. |j-k|^–2d)and exponential decay. The general results are obtained for both continuous and discrete compact spins.

This article was processed by the authors using the LATEX style filepljour Im from Springer-Verlag     

Topologies sur certains treillis complets

Sans résuméEn hommage à Monsieur le Professeur H.Kneser M. S.Papert m'a obligeamment signalé que le résultat que je conjecturais: possibilité de plonger tout treillis complet complètement distributif dans un produit de chainesa été établi par G. N.Raney (A subdirect representation for completely distributive complete lattices. Proc. Amer. Math. Soc.4, 518–522 (1953)) et m'a fait remarquer que la topologie obtenue surT n'est autre que la topologie de l'ordre au sens de G.Birkhoff (Cf. [1]), et est par suite indépendante du produit de chaines dans lequel on plongeT.Enfin, M, P.Dwinger m'a fourni un contre-exemple prouvant que tout treillis complètement distributif ne peut pas etre plongé dans une algèbre de Boole complètement distributive avec conservation des sup et inf des parties infinies.     

The N-dimensional matching polynomial

Heilmann et Lieb ont introduit le polynôme de couplage μ(G, x) d’un graphe G = (V, E). Nous prolongeons leur définition en munissant chaque sommet de G d’une forme linéaire N-dimensionnelle (ou bien d’un vecteur) et chaque arête d’une forme symétrique bilinéaire. On attache donc à tout r-couplage de G le produit des formes linéaires des sommets qui ne sont pas saturés par le couplage, multiplié par le produit des poids des r arêtes du couplage, où le poids d’une arête est la valeur de sa forme évaluée sur les deux vecteurs de ses extrémités. En multipliant par (−1)^r et en sommant sur tous les couplages, nous obtenons notre polynôme de couplage N-dimensionnel. Si N = 1, le théorème principal de l’article de Heilmann et Lieb affirme que tous les zéros de μ(G, x) sont réels. Si N = 2, cependant, nous avons trouvé des graphes exceptionnels où il n’y a aucun zéro réel, même si chaque arête est munie du produit scalaire canonique. Toutefois, la théorie de la dualité développée dans [La1] reste valable en N dimensions. Elle donne notamment une nouvelle interprétation à la transformation de Bargmann–Segal, aux diagrammes de Feynman et aux produits de Wick.Heilmann and Lieb have introduced the matching polynomial μ(G, x) of a graph G = (V, E). We extend their definition by associating to every vertex of G an N-dimensional linear form (or a vector) and to every edge a symmetric bilinear form. For every r-matching of G we define its weight as the product of the linear forms of the vertices not covered by the matching, multiplied by the product of the weights of the r edges of the matching, where the weight of an edge is the value of its form evaluated at the two vectors of its end points. Multiplying by (−1)^r and summing over all matchings, we get our N-dimensional matching polynomial. If N = 1, the Heilmann–Lieb theorem affirms that all zeroes of μ(G, x) are real. If N = 2, however, there are exceptional graphs without any real zero at all, even if the canonical scalar product is associated to every edge. Nevertheless, the duality theory developed in [La1] remains valid in N dimensions. In particular, it brings new light to the Bargmann–Segal transform, to the Feynman diagrams, and to the Wick products.Received: February 2004 Revision: July 2004 Accepted: August 2004     

The Penning discharge as a radial ion source

Résumé Les caractéristiques électriques d'une source ionique radiale de Penning sont décrites pour des pressions ambiantes de 10^–3 à 10 torrs dans l'hélium. Les graphiques suivants sont donnés: celui du voltage en fonction de la densité de courant; celui du voltage et de la densité de courant en fonction du champ magnétique, et celui du voltage et de la densité de courant en fonction de la distance entre les cathodes.     

Advanced combinations of splitting–shooting–integrating methods for digital image transformations

An image consists of many discrete pixels with greyness of different levels, which can be quantified by greyness values. The greyness values at a pixel can also be represented by an integral as the mean of continuous greyness functions over a small pixel region. Based on such an idea, the discrete images can be produced by numerical integration; several efficient algorithms are developed to convert images under transformations. Among these algorithms, the combination of splitting–shooting–integrating methods (CSIM) is most promising because no solutions of nonlinear equations are required for the inverse transformation. The CSIM is proposed in [6] to facilitate images and patterns under a cycle transformations T⁻¹T, where T is a nonlinear transformation. When a pixel region in two dimensions is split into N² subpixels, convergence rates of pixel greyness by CSIM are proven in [8] to be only O(1/N). In [10], the convergence rates O_p(1/N^1.5) in probability and O_p(1/N²) in probability using a local partition are discovered. The CSIM is well suited to binary images and the images with a few greyness levels due to its simplicity. However, for images with large (e.g., 256) multi-greyness levels, the CSIM still needs more CPU time since a rather large division number is needed.In this paper, a partition technique for numerical integration is proposed to evaluate carefully any overlaps between the transformed subpixel regions and the standard square pixel regions. This technique is employed to evolve the CSIM such that the convergence rate O(1/N²) of greyness solutions can be achieved. The new combinations are simple to carry out for image transformations because no solutions of nonlinear equations are involved in, either. The computational figures for real images of 256×256 with 256 greyness levels display that N=4 is good enough for real applications. This clearly shows validity and effectiveness of the new algorithms in this paper.     

Symbolical Algebra as a Foundation for Calculus: D. F. Gregory's Contribution

Duncan Farquharson Gregory (1813–1844) was a mathematician and founder of the Cambridge Mathematical Journal. His 1841 Examples of the Processes of the Differential and Integral Calculus was an extensive revision of Peacock's 1820 textbook of a similar title. Among the new material in Gregory's version is an exposition of symbolical algebra, prominently featuring the method of “separation of symbols.” We examine Gregory's career; the mathematicians he influenced; and Servois and Murphy, who influenced him. We consider Gregory's use of separation of symbols in the Examples and consider whether he believed these techniques to be capable of providing an adequate foundation for calculus. © 2002 Elsevier Science (USA).Le mathématicien Duncan Farquharson Gregory (1813–1844) fut également fondateur du Cambridge Mathematical Journal. Son ouvrage publié en 1841, Examples of the Processes of the Differential and Integral Calculus, constitue une révision substantielle du livre de Peacock au titre similaire. L'un des apports du livre de Gregory est un exposé de l'algèbre symbolique, et en particulier de la méthode de séparation des symboles. Dans cet article nous passons en revue la carrière de Gregory et nous parlons des mathématiciens qu'il a influencés, ainsi que de l'influence que Servois et Murphy ont eu sur ses travaux. Nous considérons son usage de la séparation des symboles dans ses Examples, et nous examinons si Gregory croyait que ses techniques pouvaient constituer un fondement pour le calcul différentiel. © 2002 Elsevier Science (USA).MSC 1991 subject classifications: 01A55, 01A70, 01A50, 26-03, 26A03, 34-03, 34A30.     

Noyaux potentiels associés à une filtration

We study from the point of view of potential theory some operators V which are “integrals of martingales” and noteworthy the formula (I + V)⁻¹ = I − N where N is a submarkovian kernel. We give an explicit expression of N when the filtration is finite and get the general case with an usual approximation procedure. Some links are made with the matrix theory (ultrametric and Stieltjes matrices) and the graph theory (flows and capacities) when the space is finite.

Résumé

On étudie, du point de vue de la théorie du potentiel, des opérateurs V du type “intégrales de martingale”, et notamment la formule (I + V)⁻¹ = I − N où N est un noyau sous-markovien. On donne une expression explicite de N dans le cas d'une filtration finie, et on traite le cas général par un procédé d'approximation usuel. On fait le lien avec la théorie des matrices (matrices ultramétriques et de Stieltjes) et la théorie des graphes (flots et capacités) quand l'espace est fini.     

Matrices dont deux lignes quelconque coïncident dans un nombre donne de positions communes

Le nombre maximal de lignes de matrices seront désignées par:

1. (a) R(k, λ) si chaque ligne est une permutation de nombres 1, 2,…, k et si chaque deux lignes différentes coïncide selon λ positions;

2. (b) S⁰(k, λ) si le nombre de colonnes est k et si chaque deux lignes différentes coïncide selon λ positions et si, en plus, il existe une colonne avec les éléments y₁, y₂, y₃, ou y₁ = y₂ ≠ y₃;

3. (c) T⁰(k, λ) si c'est une (0, 1)-matrice et si chaque ligne contient k unités et si chaque deux lignes différentes contient les unités selon λ positions et si, en plus, il existe une colonne avec les éléments 1, 1, 0.

La fonction T⁰(k, λ) était introduite par Chvátal et dans les articles de Deza, Mullin, van Lint, Vanstone, on montrait que T⁰(k, λ) max(λ + 2, (k − λ)² + k − λ + 1). La fonction S⁰(k, λ) est introduite ici et dans le Théorème 1 elle est étudiée analogiquement; dans les remarques 4, 5, 6, 7 on donne les généralisations de problèmes concernant T⁰(k, λ), S⁰(k, λ), dans la remarque 9 on généralise le problème concernant R(k, λ). La fonction R(k, λ) était introduite et étudiée par Bolton. Ci-après, on montre que R(k, λ) S⁰(k, λ) T⁰(k, λ) d'où découle en particulier: R(k, λ) λ + 2 pour λ k + 1 − (k + 2)^1/2; R(k, λ) = 0(k²) pour k − λ = 0(k); R(k, λ) (k − 1)² − (k + 2) pour k 1191.     

Some remarks on the elastically supported membrane

Zusammenfassung Diese Arbeit entwickelt ein Paar Maximumprinzipien für Funktionen der Form |gradu|² u ^–2 und |gradv|² u ^–2. Dabei istu die erste Eigenfunktion einer am Rande elastisch gebundenen Membran, undv ist die zweite Eigenfunktion einer freien Membran. Im zweiten Falle wird ein Vergleichstheorem zwischen den zugehörigen Eigenwerten ₁ und ₂ hergeleitet.

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Résumé Cet article présente des principes de maximum pour des fonctions de la forme |gradu|² u ^–2 et |gradv|² u ^–2 oùu est la première fonction propre d'une membrane vibrante élastiquement liée sur son contour, etv est la seconde fonction propre d'une membrane libre. Dans le second cas, on obtient un théoreme de comparaison entre les valeurs propres correspondantes ₁ et ₂.

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This research was supported by the Swiss Nationalfonds.     

Continuous and random Vapnik-Chervonenkis classes

Nous démontrons que si T est une théorie dépendante, sa randomisée de keisler T ^R l’est aussi. Pour faire cela nous généralisons la notion d’une classe de Vapnik-Chervonenkis à des familles de fonctions à valeurs dans [0, 1] (dyune classe de Vapnik-Chervonenkis continue), et nous caractérisons les familles de fonctions ayant cette propriété par la vitesse de croissance de la largeur moyenne d’une famille de compacts convexes associés.     

Coboundaries in

Let T be an ergodic automorphism of a probability space, f a bounded measurable function, . It is shown that the property that the probabilities μ(|S_n(f)|>n) are of order n^−p roughly corresponds to the existence of an approximation in L^∞ of f by functions (coboundaries) g−g○T, gL^p. Similarly, the probabilities μ(|S_n(f)|>n) are exponentially small iff f can be approximated by coboundaries g−g○T where g have finite exponential moments.

Résumé

Soit T un automorphisme ergodique d'un espace probabilisé, f une fonction bornée mesurable et . Une correspondance est établie entre l'existence de l'estimation des probabilités μ(|S_n(f)|>n) d'ordre n^−p et l'existence de l'approximation dans L^∞ de la fonction f par des cobords g−g○T où g est “presque” dans L^p. De manière similaire, les probabilités μ(|S_n(f)|>n) sont d'ordre e^−cn, pour un certain c>0, n=1,2… , si et seulement si f admet une approximation dans L^∞ par des cobords g−g○T avec g ayant des moments exponentiels.     

Reducibility of matrix polynomials and their traces

Résumé Pour des variables matriciellesn x n, nous démontrons la réductibilité en degré de certains produits et de leurs traces, afin de généraliser au delà des dimensions 2 ou 3 quelques résultats employés parRivlin, Smith etSpencer, pour extraire une base d'intégrité orthogonale des tenseurs symétriques. En particulier, pourn3, nous démontrons la réductibilité en degré de tout produit de 2 ⁿ –1 matrices et de la trace de tel produit.

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The work described in this paper was carried out under Contract No. 562 (40).     

On the mixed boundary-value problem for harmonic functions in plane domains

This paper considers the problem of the determination of a harmonic function in a simply connected plane domain when the values of the function are known on some arcs of the boundary and the values of the normal derivative are known on the remaining boundary. We first present the solution in theoretical form and then show how to compute the solution with the aid of rapidly convergent series. The coefficients of these series are Fourier coefficients of certain functions and can be estimated by using the Fast Fourier Transform. The examples considered in the last part of the paper emphasize the advantages of the method presented in this paper for solving the mixed boundary-value problem as compared to other methods used for this purpose.

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Résumé On considère le problème suivant: trouver une fonction harmonique dans un domaine simplement connexeDR ² dont la frontièreS est assez régulière, en connaissant les valeurs de la fonction sur une partieS ₁ de la frontière et les valeurs de la dérivée normale sur la complémentaire de366-1. La première partie présente des résultats théoriques liés à ce probléme. La deuxième partie s'appuie sur une représentation de la solution à l'aide de certaines séries de fonctions rapidement convergentes. Les coefficients des séries utilisées sont même les coefficients de Fourier de certaines fonctions, et leur calcul peut être effectué en utilisant la transformation de Fourier rapide (Fast Fourier Transform). Les exemples considérés dans la dernière partie de l'article mettent en évidence les avantages de la méthode présentée par rapport à d'autres méthodes employées pour la résolution du problème mixte.

     

Caractères unipotents de{}^3D_4 (\mathbb{F}_q )

Résumé On calcule les 8 caractères unipotents et les fonctions de Green du groupe fini (q=p ^e ,p premier). Les autres caractères irréductibles complexes de s'obtiennent tous en prenant des combinaisons linéaires convenables des caractères des représentations virtuellesR _T ^θ de Deligne et Lusztig [3], et ceux-ci peuvent être évalués à l'aide des fonctions de Green. On peut donc calculer tous les caractères irréductibles de . L'auteur tient à remercier le Science and Engineering Research Council pour son soutien.     

Algebras on the unit disk and Toeplitz operators on the Bergman space

This paper studies algebras of functions on the unit disk generated byH ^∞(D) and bounded harmonic functions. Using these algebras, we characterize compact semicommutators and commutators of Toeplitz operators with harmonic symbols on the Bergman space. Supported in part by the National Science Foundation and the University Research Council of Vanderbilt University.     

Un théorème de convergence de schémas numériques à structure parallèle en filtrage récursif non-linéaire

On montre que l'évolution de la densité de probabilité conditionnelle en filtrage non-linéaire peut être décrite en s'affranchissant de la contrainte de normalisation dansL ¹, et que les schémas numériques, qui en découlent sont à la fois convergent au sensL ² et de structure adaptée à une parallélisation complète de leur implémentation.     

Algebre de lie attachee a la structure presque tangente d'ordre 2

Résumé Il existe sur le fibré tangent d'ordre 2, T ² M, d'une variété différentiable M une 1-forme vectorielle F vérifiant F ³=0. On se propose d'étudier l'algèbre de Lie des champs de vecteurs qui laissent invariante F. On montre que le premier espace de cohomologie de Chevalley de cette algèbre a pour dimension 2 et que cette algèbre est égale à son algèbre dérivée. On en déduit que cette algèbre de Lie caractérise la structure différentiable de la variété M.     

Ecoulements externes de Stokes dans des domaines non réguliers et condition de Kutta-Joukowski généralisée

Résumé. Le but de ce travail est la détermination de l'écoulement plan de Stokes dans des domaines non bornés et présentant une pointe. Au voisinage de la pointe la pression et le tourbillon sont en général infinis, ce qui est physiquement inacceptable. On est alors conduit, par analogie avec la situation qui se présente en fluides parfaits, à annuler le gradient des vitesses à la pointe: c'est la condition de Kutta-Joukowski généralisée.¶¶Abstract. The aim of this work is to calculate the plane Stokes flows acting in the unbounded domains surrounding a given profil \Cal P\Cal P presenting a trailing edge T. In order to have bounded pressure and bounded vorticity at T, we equate to zero the first derivative of the velocity: this condition is the generalized Kutta-Joukowski condition.