解綫代数方程组的迭代法及其迭代过程的收斂条件

前言本文的目的,在簡要介紹解綫代数方程組的迭代法之后,主要是对于这种迭代过程的收斂条件問題,从級数收斂方面作了一些考虑,避开了通常方法所涉及到的有关矩陣的特征值和特征向量、向量和矩陣的范数以及矩陣的相似变換等一系列的綫代数理論,而仅仅用到較少的数学分析知識,同样給出了通常的两个收斂性定理及收斂速度估計式。它在教学上提供了一个可以采用的处理教材的方法,也为具有初等分析知識的数学工作者全面掌握这一方法探索到了一个簡便途径。§1.解綫代数方程組的迭代法 設給定n阶綫代数方程組为     

应用矩陣运算推导球面三角基本公式

在常見的讲述球面三角学的书籍里,一般都用投影法或平面三角方法导出余弦定理、正弦定理等球面三角基本公式。华罗庚先生在他所著“高等数学引論”第一卷第一分册中,則应用了矢量分析方法。这里,給出另一种較为簡洁的方法,即应用矩陣运算来推导球面三角基本公式。在未导出这些公式之前,先簡单介紹一下“旋轉矩陣”的概念和基水性貭。考虑空間直角坐标系的旋轉变換。設原坐标系(O;x,y,z)繞x軸沿正方向(逆时針)旋轉角α后变換为新坐标系(ο;ξ,η,ζ)(如图1),則由解析几何学便知,新旧坐标系之間有如下关系:     

再談数学归納法

在“谈談数学归納法”(本通报1963年第二期28-34頁)一文里,作者曾提到数学归納法可以用一些更簡单的原則来代替,但未詳細介紹內容。本文便想在这方面作一些簡要的介紹。在文末还对前一文中沒有注意到的事項作一些补充。什么是“更簡单”的原則呢?这是很难說的,因为簡单与否必須相对于整个公理系統而言。对这个公理系統說来某原則是簡单的,对另一公理系統說来它却不是簡单的了。在本文中我們不想詳細討論各公理系統(除略为介紹递归算术以外),因此我們最好不說“用更簡单的原則来代替”,而說“可用別的原則来代替”。这里我們只介紹四个原則。这四个原則都有它的直觉根据,都已被数学家所經常使用,它們是:(1)最小数     

关于改进初中一年級代数教学的体会

一、一个試驗中的代数教学方法为了提高初中一年級代数教学的貭量和減輕学生負担,改进代数教学方法是今后任課教师最重要的任务。要完成这項任务,必須正視:如何充分地发揮学生在学习上的主观能动性,使代数教学活动成为教与学双方的共同活动。本着这个要求,井依据初中一年級学生的年龄特征及現行代数課本的特点,初步試驗了一个代数教学方法。这个代数教学方法,概括地說就是:在課堂上,通过一系列的练习活动,使学生逐步掌握代数知識,也就是把代数知識寓于练习之中的教学方法。以下概要地介紹一下,关于这个教学方法的一些具体措施。二、改进代数課堂教学的具体措施     

对中学数学教学联系实际的一些看法——从图上作业法誕生过程談起

图上作业法是由羣众中来的一个优秀的数学方法,数学通报1958年11期已作了介紹,經过了理論上的总結提高后,目前它已經在很多有关物資調运的部門中得到推广,而且国家經委已批轉了中国科学院数学研究所关于推广图上作业法的建議,即又回到羣众中去了,它的誕生及成长过程是这样的丰富多彩,激动人心,因而不能让它默默无聞,必須公之众目,在中国数学会北京分会举办的一次报告会上,我介紹了这一工作,并談了自己的一点体会,同志們认为还不无有益之处,因此我重新把它整理了一下,提出来和大家作进一步的研討。意見很不成熟,希望同志們多加指正,为了避免重复,关于图上作业法的方法和理論証明,請看1958年11期数学通报,这里就不重述了。 (一) “实践-理論-实践”的公式在数学中的应用为什么我从图上作业法談起呢?因为它具有下述的三方面特点:     

“抽屜原则”及它的一些应用

在这篇短文里,我們向讀者介紹一个在数論中用到的原則,即所謂“抽屜原則”;应用这个原則,我們先証明某些用有理数去迫近实数的定理;再进一步証明一种不定方程——貝尔方程——的解的存在,並介紹一下与貝尔方程     

关于求逆矩陣方法的一个注記

在[1]中給出一求逆矩陣的計算方案,在[2]中依此方案編了标准程序,的确这个方案对計算和編程序都很省很方便。本文的目的在于把它改进一下,給出一种更为方便些的計算方案,并从另外的角度出发,即用消去法的思想給予較簡单和直观的証明,且証明本身还說明了法求逆矩陣与用消去法求逆矩陣之間的关系。計算逆矩陣方案的出发点是这样的,假定A=(a_(ij))是非蛻化n阶方陣,按下面递推公式建立一系列方陣:     

复数域上矩陣可用相似变換化为对角形的一个充要条件

在一般綫性代数教程中(例如[1]),关于复数域上矩陣可用相似变換化为对角形的充要条件有下面两个定理: 定理1.矩陣A可用相似变換化为对角形的充要条件是A有n个綫性无关的特征向量([1]第91頁)~1)。定理2.矩陣A可用相似变換化为对角形的充要条件是A(的特征矩陣)的初級因子都是一次的([1]笫121頁)。利用定理1来判別的实际途径,要求首先算出特征多項式|λE-A|的根,而这一般是不容易办到的;利用定理2来判別的途径一般是先用初等变換化特征矩陣λE-A为对角形,然后判別对角綫上諸元素是否皆无重因式。本文的目的是从定理2出发,导出一个比較直接的、更易实际判別的充要条件。     

初等变换的“記录矩陣法”

設A是一个n阶非异方陣,我們可用下法来求A的逆方陣A~(-1),即在A的右方列一个n阶单位方陣E,得到一个n×2n矩陣,对这个矩陣作初等行变換使前n列变为E則后n阶此时即組成A~(-1)。这个方法在許多綫性代数教科书中均可找到。我們不妨称这个方法为“記录矩陣法”。这个方法甚为簡捷。本文中我們来研究这个方法在向量問題及綫性方程組中的一些应用。可以看出,在这些問題之应用中本法仍不失为一个簡捷的計算法。     

在立体幾何第一章教學中理論与實際相聯系的一些經驗

本文不準備論述“理論舆實際相聯系”這一原則在教學中的意義,因爲這已爲每個教師所公認的真理,本文亦非專事教學方法的介紹,它所追求的目的,僅在於介紹作者在教學實踐當中,曾經作到,而且主觀認為行之有效的一些具體材料,作為講述該章教材之同志們的參考,我將依着教材順序,以單元爲段落,分別介紹如下: 第一單元平面位置的確定。本單元由第二節至第四節之目的,在於使學生明確平面的概念及其基本性質,由此得出確定     

数理邏辑的簡单介紹

我国的讀者近来已越來越多地对数理邏輯发生兴趣了,这是一个很好的現象。它表明了我国大众已經开始重視这門重要的科学;从而将使这門科学在我們祖国的土地上开出光輝灿烂的花朵来。但是一般讀者每每詢問下列一連串問題:数理邏輯是怎样的一門科学?它研究什么?有什么主要內容?学习它时需要什么预备知識?有什么主要参考书?……这些問題如果得不到很好的回答,对数理邏輯的学习将受到不良的影响。本文的目的想介紹数理邏輯的主要內容,部分地回答上述各問題。由于数理邏輯內容的丰富,任何人想在一篇短文內加以介紹,势必掛一漏万。再由于作者水平不够,本文必然会詳略失宜甚至含有严重的錯誤。因此讀者必須用批判的眼光来閱读它,这样才可以不因本文可能出現的錯誤而受到影响。否則本文原来的目的不但沒有达到反而带來了流弊了。数理邏輯簡史数理邏輯的內容是非常丰富的,要介紹它真是不知从何說起。現在我們先从它的发展过程来說起吧。因为一件东西,无論多么复杂,如果能够从它的发展史来看,每每极易得出它的基本特性的。     

导出若当法型的一个簡单方法

对于一个綫性变換,如何来取一个适当的坐标系,使得它的不变量明显地出現在所表示的矩陣中,这就是若当(Jordan)法型所解决的問題。这样一个显然重要的問題,在文献中很少有从头到尾很一般的表述。本文的目的是在給出一个尽可能簡捷而明了的方法来导出一个綫性变換的若当法型。本文只要求讀者具备賴性变換理論中最簡单的知識。     

当前中学数学課程中存在的問題

随着祖国社会主义建設的连续大跃进,第二个五年計划提前三年完成了。科学文化事业也正向着高精尖发展。不久的将来,我国将实現全盘电气化、自动化,原子能也将作为动力。現代数学理論如非线性常微分方程、偏微分方程、复变函数理論和概率理論等也已广泛地被科用。然而,現行中学数学教育是不能适应这种要求的,因为它的內容是十六、十七世紀以前的东西。总路綫要求我們多快好省地培养又紅又专的建设人材,显然,如果继续按旧系統来进行培养,是远远不能适应現代化生产和科学技术发展的需要的。这与总路线精神是不相符合的,是与广大工农羣众迫切需要掌握現代化生产所必須具有的基本工具——数学——的愿望相违背的。因此,数学必須来个彻底的、根本性的改革。大破以前的旧系統,重新建立起符合社会主义建设需要的、符合現代化生产和尖端科学技术发展的嶄新的完整的中学数学教材系统。     

符号α～(1/n)究竟表示什么?

在中学数学教学中,对于新概念的介紹和新符号的使用,必須揭露其特点、肯定其意义。并且有时随着有关知識的扩充和发展,前面已經明确了的概念和符号,也应得到相应的扩充和发展。但在現用的高中代数課本中,符号a~(1/n)究竟表示什么?并沒有得到彻底的解决。这在讲过复数三角函数式开方的教师,大概都有同感。下面就来談談我們的意見。代数課本里在引入实数之前,介紹了方根以及方根的記号。关于方根的記法,課本里§7是这么写着:“a的n次方根,用符号a~(1/n)来表示,”下面接着就解释:“因为正数的偶次方根必須是两个相反的数,所以我們还規定,在a是正数,n是偶数的时候,符号a~(1/n)只表示两个方根里的汇的一个,而負的一个用符号—a~(1/n)表示”,也就是說,当a>0,n是偶数的时候,符号a~(1/n)表示的是算术根。在課本§15又写着:“式子a~(1/n)叫做根式,这里在n是奇数的时候,a可以是任何实数;在n是偶数的时候,a可以是任何正实数或者零”。这里只限定在实数范围之內,符号a~(1/n)的意义是肯定的,也就是說:     

多個複變數函數論Ⅱ 超球雙曲空間中的一完整正交函數系

<正> §1.引言 在上一篇文章裹,我曾經具體地算出矩陣的雙曲空間中的完整正交函数系,在該文中引用了方陣羣的表示法的理論.在這一篇文章裹,我們將定出超球雙曲空間中的完整正交系.所用的方法和上篇稍有不同,我們除掉用一些正交羣的表示羣以外,還用了不變量論中的結果及若干與球調和(spherical harmonic)     

控制过程的算法描述

控制論是一門新兴的综合性学科,在近代經济建設中起着重要的作用,例如,生產过程的自动化,机器設备的远距离操縱,工厂企业的自动管理等部屬于它的研究范圍。在控制論的理論問题方面,則有很多数学家在参加研究,本文作者之一A.A.李雅普諾夫教授是苏联从事控制論研究的著名数学家。作者們在本文中介紹如何用数学方法描述控制过程,从而给解决实际控制問题提供理論的指導。在对控制过程進行数学描述时,算法邏輯圖是一种有力的工具。本文举例介紹了这种方法。这种方法的提出是李雅普諾夫教授在控制論研究方面的重要贡獻之一。本文是寫给一般讀者看的通俗性文章,原载苏联(?)1957年第二期,今譯載于此,以供有兴趣的讀者参考。     

关于极限教学的一点体会

大家都知道,极限理論是数学分析的重要基础。可是目前普通中学高中二年級代数課里讲授关于极限的知識却不是系统地讲授极限的理論,而主要地是为了中学数学教材中某些知識(例如,代数中的无穷递縮等比数列所有項的和、循环小数化分数、无理指数等;几何中的圓周长、圓面积以及其他图形的面积或体积等)的需要。自然,这些教材也会給进一步学习数学分析作准备的。这一部分教材包括有:数列的极限、变量(不連續的)的极限、有关极限的几个定理以及无穷递缩等比数列所有項的和与循环小数化分数等。由于在中学数学里,不是系統地介紹有关极限的知識,是在处理某些問題的时候,需要一些极限知識,而这些問题又只涉及不連续的变量的极限,因之教材     

拟线性双曲型方程组的不連續初始值問題(Ⅰ)

<正> 在另一篇論文中,我們研究了典型的拟綫性双曲型方程組,郎空气动力学中一維等熵流方程组的不連續初始值問題,研究了解在初始条件的間断点附近的构造,指出可能发生的各种情况并在大多数情况下給出决定激波的方法.因为所研究的是可化約的方程組,我們采用了速度图的方法来进行討論.所得的結果对于平底无阻情况下柱形河床中的不稳定流动同样适用.为了深入研究河渠中不稳定流动的状态,我們必須考察一般     

我国第一本概率論的著作

决疑数学十卷是我国以中文出版的第一本概率論著作。它是清光緒六年(1880)由华蘅芳所翻譯的。这部譯本的原书还待查考,目前只知道是在英国棣么甘(De Morgan)著作(1834)之后。决疑数学一书記載了十九世紀前五十年代欧洲这方面的概率論名著。决疑数学卷首介紹厂概率論发展的历史。在讲到十九世紀五十年代时說:“一千八百十二年拉不拉斯作一书名决疑数学之理,为論数理中最寄之书。”按这卽指Laplace的名著Theórie analytique des Probabilites又说:“一千八百三十七年布韦森作一书名曰定案决疑論。”又:“布韦森已在一千八百二十七年至三十二年定日期书之附卷內有一則論測数中差之理。”当卽指Poisson的Recherches sur la Prob.和Connaissance des Terms两书。决疑数学中論最小二乘法(当时譯作极小平方法)时也引及勒占德(Legendre)和高斯(Gauss)的著作。这书第九卷第132、133款論常态曲线,当时的表达式是     

介值定理与区间法解不等式

在初等代数中,常用列表法解一元高次不等式.由于这一方法是以多项式理论为基础的,所以有很大的局限性.本文将以连续函数的介值定理为依据,阐明区间法解不等式的一般原理,从而将区间法推广到解更广的一类不等式(基本上可包括初等代数中的全部不等式),并且对解法作进一步的改善与简化. 先回顾一下介值定理,它的证明可在任何