求勾股弦数的几种方法

在初中《几何》第一册,介绍了著名的勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a~2+b~2=c~2 (1)我国古代就把直角三角形的直角边分别叫做勾和股,斜边叫做弦。我们把满足(1)式的正整数组(a,b,c)称为勾股弦数,即以正整数为边长的直角三角形的三边之长。其中a、b称为勾股数,且勾、股数是可以互     

勾股定理的逆定理的一个简证

<正>"勾股定理"(在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方)的逆命题(如果在一个三角形中两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形为直角三角形,且这个三角形的第三边所对角为直角)则称其为"勾股定理的逆定理"."勾股定理"被誉为"千古第一定理^[(1)]",其证明方法多达三百余种[(1)]",其证明方法多达三百余种^([2]).尽管勾股定理的逆定理的证明方法远不如勾股定理的证明方法那么多,但也依然有好几种具有鲜明特色的漂亮证明([2]).尽管勾股定理的逆定理的证明方法远不如勾股定理的证明方法那么多,但也依然有好几种具有鲜明特色的漂亮证明^{([3][4][5][6][7])}方法.但这些证明所使用的     

数学话剧《华蘅芳传》

<正>提起勾股定理,大家都比较熟悉,这条定理内容是:一个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．古今中外,勾股定理的证明一直是人们探索的一个热点话题,目前已经有400多种证明方法．我国古代有许多数学家给出过勾股定理的不同证法．清朝后期,有一位名叫华蘅芳的14岁少年研究出勾股定理的22种证明方法[1]．想必大家会对他的这一成果感到惊叹,下面我们通过一出话剧了解华蘅芳的生平往事．     

《周髀算经》与赵爽的《勾股方圆图注》

现行初级中学课本《几何》第一册设有“勾股定理”一节,勾股定理是众所周知的,它通常又叫“商高定理”。为什么有这个名称呢?课本上有这样的叙述:“在我国古代;一部数学书《周髀算经》中有用边长为3、4、5的直角三角形来进行测量的记载,并把直角三角形的两直角边分别叫做勾和股,斜边叫做弦”。这就是“勾股定理”名称的由来。《周髀算经》是我国古代最古的一部数学书,这     

一个奇妙的勾股数组构成规律

<正>1勾股定理的来历和常见的勾股数组构成规律勾股定理被称作"几何学的基石",在几何学乃至整个科学领域都有着重要意义.关于勾股定理的最早记载出现在中国古代的数学著作?周髀算经?中,里面提到了勾三股四弦五的说法.此外,在?九章算术?中也有勾股定理公式化的论述,但没有证明过程.三国时期,数学家赵爽作?周髀算经注?,列出了?勾股圆方图?和?勾股圆方图注?,对勾股定理给出了严格而又巧妙的证明.在西方,最早对勾股定理给出证明的是公元前6世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯,他用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和,为了纪念他的贡献,勾股定理又被称作"毕达哥拉斯定理".     

一个逆定理的两种证法

课本里有这样一个定理:在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半．在习题里给出了该定理的逆定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜角的一半,那么这条直角边所对的锐角是30°．逆定理的证法可仿照定理的证法,很容易完成(用加倍法或截半法)．该定理还有另外一个逆命题:“在一个三角形中,如果30°所对的边等于另一边的一半, 那么这个三角形是直角三角形．”这个命题是     

勾股定理一种证法及其在教学中的价值

勾股定理一种证法及其在教学中的价值哈家定（山东省济宁教育学院２７２１３７）我们知道，勾股定理的直观意义是：直角三角形中分别以直角边为一边的两个正方形面积合在一起恰好填满以斜边为一边的正方形．其直观性在于“填满”．但由于两个正方形难以合成一个正方形，因...     

勾股定理及其逆定理

勾股定理揭示的是直角三角形三边之间 的度量关系,其内容是 如图1,△ABC中, ∠C=90°,CB=a,AC =b,AB=c,则有 a2+b2=c2． 勾股定理最早的文 字记载见于欧几里得 (公元前三世纪)的《几何原本》第一卷命题 47,“直角三角形斜边上的正方形面积等于两 直角边上正方形面积之和．”     

例谈一条逆定理的应用

<正>在几何解题中,对于定理"在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半"的应用比较常见.本文就其逆定理"在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°"的应用,试图通过例题来给予介绍,以供同学们学习时参考.     

“勾股容圓”問題的解法

“設直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,使切圓的直徑为d,求証:d=(2ab)/(a+b+c)是我国有名的勾股容圓問题,記載在“九章算术”内。这个問題的解法很多,一般用延長斜边c或一条直角边(a或b),使之等于此直角三角形三边之和;然后用相似三角形來解。現在我提出另一种解法:因为od为此直角形的內切圓,所以斜边c和內切圓直徑d之和一定等于二直角边a与b之和;用代数的恒等变形和勾股定理即可解出如下:     

关于Rt△整距点的几个结论

直角三角形的整距点,是指到边长为整数的直角三角形各边的距离均为整数的点．在三角形内部的,称为内整距点;在外部的称为外整距点．文［１］［２］［３］相继给出了几个有趣的结论,但仍有许多引人入胜的问题值得讨论． 定理 若基本勾股形的三边长为ａ、ｂ、ｃ（ｃ斜边）,则内整距点的个数不超过．（注：基本勾股形是指三边互素的Ｒｔ△;［ｘ］是取整函数） 该定理给出了内整点个数的一种估计,有一定的应用价值．其证明要用到的工具较多,篇幅较长,故以引理的形式渐次展开． 引理１ 直角三角形三边长互素的充要条件是两直角边互素． …     

一个三角形问题的多解与推广

问题 求斜边长为1的直角三角形的内切圆半径的最大值． 解法1 借助直角三角形的特殊性，即直角三角形两条直角边的长减斜边长等于三角形内切圆半径的2倍，     

直角三角形中的整数问题

古老的勾股定理与传统的整数结合在一起,会产生许多有趣的问题,现举几例加以说明.为方便起见,我们记直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c. 一、勾股三角形的问题三边长都是整数的直角三角形叫做勾股三角形. 例1 求证:勾股三角形中必有一条直     

射影定理与立方倍积问题

<正>我们先来介绍和证明直角三角形中的射影定理.射影的定义过线段AB的两个端点分别向直线l作垂线,垂足为M、N,则称线段MN为线段AB在直线l上的射影(如图1).特别地,当线段AB的一个端点A在直线l上时(如图2),则线段AN叫做线段AB在直线l上的射影.射影定理在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项.已知:如图3,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.     

直角三角形内整距点个数的计算

我们知道,若直角三角形内的一点,与三边的距离都是整数,则称这点为整距点.显然这整距点的个数与直角三角形所处位置无关,因而终可以把这个直角三角形放置在直角坐标系中,使两直角边分别与坐标轴的正向重合,原点即与直角顶点重合.这时Rt△与斜边所在直线(的方程)一一对应.对于这     

完全平方公式在解三角形中的应用

本文试用完全平方公式 (a±b)~2=a~2±2ab b~2来解三角形。一、解直角三角形如果我们把a、b看成一个直角三角形的两条直角边,那么,由勾股定理:a~2 b=c~2;直角三角形的面积公式:S=1/2ab,即ab=2S。将它们代入上面公式得 (a b)~2=c~2 4S (1) (a-b)~2=c~2-4S (2) 在(1)、(2)两式中,S表示直角三角形的两积,c表示斜边,a b、a-b分别是两条直角边的和与差。可以看出(1)、(2)两式分别给出了直角三角形的两条直角边的和,差与斜边、面积之间的关系。据此,只要已知c、S、a b和a-b这四个量中的任何两个,我们就可以用(1)、     

勾股数组的表达公式及勾股数组

<正>所谓勾股数组,就是分别以三个正整数为边长的三边能组成直角三角形,满足两直角边的平方和等于斜边的平方,也就是勾与股的平方和等于弦的平方,即满足等式x~2+y~2=z~2①的三个正整数x、y、z组成的一组数称为勾股数组.定理1不定方程(1)的一切正整数解可以用下列公式表示出来:     

费尔马大定理终于被证明了

1993年6月23日,美国普林斯顿大学教授、英国数学家安德鲁·外尔斯(Andrew Wiles)在英国剑桥牛顿数学研究所里所作的题为“椭圆曲线,模形式和伽罗瓦表示”的讲演中宣告,谷山猜想对于半稳定的椭圆曲线来说成立。在场的多数听众立刻意识到,困扰数学界长达三百多年的著名数学问题—费尔马大定理终于得到证明! 费尔马大定理有着悠久的历史。我国和希腊古代就已经知道这样一个事实:一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。这就是大家熟知的勾股定理或毕达哥拉斯定理。用方程的形式写     

多角度证明不等式一例

例题设a,b为直角三角形的两直角边的长,c为斜边的长,m,n为任意实数,求证:ma+nb/（m2+n2）^1/2≤c.方法一（综合法）证明:因为a,b为直角三角形的两直角边的长,c为斜边的长,所以a2+b2=c2.     

对“边边角”的深入探究

八年级三角形全等的判定方法,课本中介绍了四种:边边边(SSS)公理、边角边(SAS)公理、角边角(ASA)公理和角角边(AAS)定理,对特殊的直角三角形在判定全等时,除了以上四种方法外,还有"斜边、直角边"(HL)定理.而众所周知,"SSA"是不能用来作为判定任意两个三角