用三角代换解一类不等式问题

例1已知a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1,求ax+by的范围。解通过观察已知的条件我们不难发现:则ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β).由于-1≤cos(α-β)≤1,所以-1≤ax+by≤1.本题会出现许多的变式:变式1a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=9,求abcd最大值和ac+bd的最小值.变式2若x2+y2=1,求(1-xy)(1+xy)的值域.     

一道习题的推广及证明

习题　已知 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,求证 :a2 + b2 >3 a3 + b3 .证明　原命题等价于( a2 + b2 ) 3 >( a3 + b3 ) 2 ,展开很易证明 .推广　已知 a,b,m,n∈ R+ ,且 a≠ b,m >n,求证 :n an + bn >m am + bm .证明　构造函数 y =f( x) =x ax + bx( a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ) ,两边取对数得　 lny =ln( ax + bx)x ,两边取导数 ,得y′y =x( axlna + bxlnb) - ( ax + bx) ln( ax + bx)x2 ( ax + bx) .∵　 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ,∴　 ( ax) ax . ( bx ) bx <( ax + bx ) ax+ bx,∴　 x( axlna + bxlnb)　　 <( ax + bx) ln( ax + bx) ,∴　 y′…     

一道课本习题的变号功能

人教版《全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)·数学》第二册(上)第7题如下:已知a,b都是正数,x,y∈R,且a b=1,求证:ax2 by2≥(ax by)2     

谈谈构造函数法的几点应用

<正>一、构造函数求解恒成立问题,弥补参数范围中的"等号"问题例1已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)若函数y=f(x)的图像上任意不同的两点的连线的斜率小于2,求a的取值范围分析本题学生易将图像上任意不同的两点的连线的斜率与f′(x)混为一谈,错解为:由f(x)=-x3+ax2+b得f′(x)=-3x2+2ax.∵f′(x)<2,∴3x2-2ax+2>0对一切的x∈R恒成立,从而Δ=(-2a)2-4×3×2<0,∴a2-6<0,∴-6~(1/2)相似文献   

例谈数形结合求解二元函数的极值问题

二元函数的极值问题的初等解法很多，一般都采用降维法转化为一元函数来处理．但有些极值问题，若题中的数量关系能赋予某种几何意义，则可采用数形结合的观点，凭借图形的直观优势，结合解析几何的知识求解，解法往往显得简捷、直观、从以下数例，我们将得到数形结合求解二元函数的极值问题的常用方法，并从中体会到数形结合的独特偏力．1当目标函数形如f（x，y）＝ax＋by＋c时．可考虑利用直线的截距求解例1已知a、b∈R＋，方程x2＋ax＋2b＝0，x2＋2bx＋a＝0都有实数根，试求2a＋b的最小值．分析问题可化为，若a、b满足求2a＋b的最小值．…     

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

割线斜率集是切线斜率集真子集的一个充要条件

《数学通报》2011年第6期刊登的《从割线斜率到切线斜率的不等价转化及其逻辑解读》(以下称文1)一文分析了以下一道题目的解法:题目 已知函数f(x)=-x3+ ax2+ b(a,b∈R),若函数y=f(x)的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2,求a的取值范围.     

不等式∑(x_i~3)/(a_i~2)≥((∑x_i)~3)/((∑a_i)~2)的恒等式构造

文献[1]中为解决一类电场问题提出了一个不等式,即对于任意的a,b∈R ,有不等式x3a2 y3b2≥(x y)3(a b)2(1)其中等号成立当且仅当ax=by,其证明方法是构建了一个优美的恒等式x3a2 b3y2=(a b)3(x y)2 (ay-bx)2xy(x y)·ax by a bx y(2)从恒等式(2)易知不等式(1)成立及其成立的充要     

利用导数值域求割线斜率值域的探讨

问题 已知函数f（x）=-＋x3＋ax2＋b（a,b∈R）,若函数y=f（x）的图象上任意不同两点连线的斜率小于2,求a的取值范围．     

解法相似的两个最小值问题

<正>同学们在高中数学学习中,大多会遇到下面的两个有一定难度的问题.问题1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(b>a)对于任意实数x都有f(x)≥0,求M=a+b+c/b-a的最小值.问题2已知A、B、C是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,求y=c/a+b+b/c的最小值.不少同学在老师的帮助下,能够解决问题1.但在遇到问题2时,却难以独立解决.从表面上看,问题1与问题2确实有很大的差异,但从     

椭圆的一个最值问题的推广

文[1]曾经研究过椭圆中一类最值的求法,其问题是:已知曲线x2/a2+y2/b2=(a,b∈R+)过点M(3√3,1),求a+b的最小值,笔者发现,此问题可以进一步拓展,下面以问题形式给出说明.……     

变幻莫测富韵味 演绎直观不了情——一类动圆切线方程求法的探究和启迪

1 引例 已知动圆x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0(a∈R,a≠1),求圆的切线方程. 通常的解法是将圆的一般方程改写为标准方程(x-a)2+[y-(2-a)]2=2(a-1)2,把切线l方程设为斜截式:y=k1x+m,利用圆心C(a,2-a)到l的距离等于半径2|a-1|,得到关于a的恒等式,求得k1=1,m=0,所以l的方程是y=x.     

一类条件最值问题的再研讨

1　问题的提出文 [1]在解决问题 (1) :“已知 x,y∈ R+ ,且 x+y= 1,求 1x+4y的最小值 .”时 ,采用了“用 1代换”的方法 ,在将该方法移植到解决问题 (2 ) :“已知 x ,y∈R+ ,且 x+y=1,求 1x2 +8y2 的最小值 .”时 ,思路受阻后 ,提出了在 (1x2 +8y2 )· (　 )中 ,括号中应配上什么式子才能解决问题的疑问 .由此利用柯西(Cauchy)不等式和待定系数法探求出了一个定理 :“已知 x,y∈ R+ ,且 x+y=1,若 λ>0 ,则当且仅当y:x=λ1n+ 1时 ,1xn+λyn (n>0 )取得最小值 ,最小值为(1+λ1n+ 1) n+ 1”.文 [1]的探索是有意义的 ,上述定理是正确的 ,读后…     

综合题新编选登

题 8 2 　已知函数 f(x) =- x3 +ax2 +b(a,b∈R) .1)若函数 y=f(x)图象上任意不同的两点连线斜率小于 1,求证 :- 3相似文献   

一个最值问题的研讨

文[1]及文[2]另证并推广了《数学通报》2010年第7期第1863问题,题目如下:设x,y∈R+,x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值.经过研究,笔者从赫尔德不等式入手,给出另一解法,并进行推广.引理(赫尔德不等式)设ai,bi∈R+,p>1且     

一类分式型最值的另一求法——加零法

文[1]给出了一类带条件的分式型最值问题的一种解法———代“1”法,本文给出这类问题的另一种解法———加零法.例1已知x,y>0且x y=1,求u=1x 16y的最小值.解u=1x 1y6 λ(x y-1),其中λ为待定的正常数.则u=(1x λx) (1y6 λy)-λ≥21x.λx 21y6.λy-λ=10λ-λ,等号成立的充要条件为1x=λx且1y6=λy x=1λ,y=4λ,代入x y=1易求得x=15,y=54,故当x=51,y=54时,u=1x 1y6取最小值25.注上述待定常数λ是用来调节不等式等号成立用的,可以求出,也可以不求出(通过消去λ求得使等号成立的x,y).例2设a,b,c,m,n均为正常数,ax by=c,求u=xm yn(x,y>0)的最…     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

不等式问题错解八例

本文列出八道不等式问题的错误解答 ,他们集中反映了中学生学习不等式时常犯的错误 ,你能知道错在哪里吗 ?正确解法又是什么 ?今后如何避免类似错误的发生 ?请先独立思考 ,然后再看错解分析与正确解答 .1)已知x ,y∈R+ ,且x +y =9,求 1x+9y的最小值 .错解 :∵ 1x +9y ≥ 2 1x·9y =6xy≥6x +y2=12x +y=129=43 ,∴ 1x+9y min=43 .2 )已知 0 0 ,∴m +8mx -x2 =m -x +x +8x(m -x) ≥ 33 (m -x)·x· 8x(m -x) =6,∴ m +8mx -x2 min=6.3 )不等式 (a2 -9)x2 +2 (a -3 )x -2 …     

新题征展(16)

A.题组新编1 . (1 )已知 lg x lg y =1 ,则 u=2x 5y 的最小值为　　 ;(2 )已知 x、y∈ R ,且 x y =3,则u = 2 x 2 y 的最小值为　　 ;(3)已知 x、y∈ R ,x 2 y=1 ,则 u=1x 1y的最小值为　　 ;(4)已知 x、y∈ R ,且 xy2 =1 ,则 x y的最小值为　　 ;(5)已知 x、y∈ R ,且 x y = 1 ,则 xy2的最大值为　　 .2 .如图 1 ,三棱锥 P— ABC的顶点 P在△ ABC所在平面上的射影为 O.(1 )若 PA =PB=PC,则O是△ ABC的　　 ;图 1(2 )若 P到 AB、BC、AC的距离相等 ,则 O是△ ABC的　　 ;(3)若 3个侧面与底面 ABC所成二面角相等 ,…     

对一道竞赛题的解法的补注

20 0 2年全国高中数学联赛第一试 1 5题是这样的 :设二次函数 f ( x) =ax2 + bx +c　 ( a,b,c∈ R,a≠ 0 )满足条件 :( 1 )当 x∈ R时 ,f( x - 4) =f( 2 - x) ,且 f ( x)≥ x;( 2 )当 x∈ ( 0 ,2 )时 ,f ( x)≤ ( x + 12 ) 2 ;( 3) f ( x)在 R上的最小值为 0 .求最大的 m( m >1 ) ,使得存在 t∈ R,只要x∈ [1 ,m],就有 f ( x + t)≤ x.(原解详见本刊 2 0 0 2年第 1 2期 P38)今年的这道试题出得很好 ,原因在于 ,它能从陈题出发 ,改革陈题 ,推陈出新 ,分析原题的实质 ,提炼解法的关键 ,然后纵向延伸、横向拓广或触类旁通作移植与类比 ,从而…