解等腰四面体的简易方法

等腰四面体就是三对棱分别相等的四面体.竞赛中常会出现关于等腰四面体的问题,通过把等腰四面体补全为立(长)方体,我们就会有“山重水复疑图1无路,柳暗花明又一村”的感觉.例1(2000年全国高中数学联赛题)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是.     

例说有关球的组合体问题

高考中考查的球的内容常是与几何体结合的组合体,这类组合体也是学生平时学习易错的内容,本文举例分析四类有关球的组合体问题. 第1类四面体 球例1球的内接正四面体内有一内切球,求这两球的表面积之比.     

探究正四面体的中心

一正四面体的棱长为a,它的内切球和外接球体积各为多少？问题是数学的灵魂,解决这个问题的关键是找到正四面体的中心所在．只要找到中心,就容易求内切球和外接球的半径,进而求出体积．下面探究四面体的中心位置．     

奇妙的定值

文[1]、文[2]中分别证明了正四面体的同心球(球心为正四面体的中心)上任一点到该正四面体每个顶点、每个面的距离的平方和均为定值.对此,笔者进行了探究和引申,得到了几组关于正多面体的命题.命题1已知O为正多面体B1-B2B3…BV-1-BV的中心(V为正多面体的顶点数),点P为正多面体同心球上的任意一点,若→OP与→OBi(i=1,2,3,…,V)所成的角分别为     

在正方体中巧解正四面体问题

将正四面体嵌入正方体中,利用正方体中的线面关系,可以将正四面体的一些比较复杂的计算化简,利用正方体中的线面关系,可以使空间想象更清晰. 例1 (2003年全国高考试题)一个四面体的所有棱长为2~(1/2),它的顶点在同一球面上,则     

外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体吗？

外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体吗？４４３０００宜昌师专数学系９３２１班丁评虎以前，我一直认为，外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体．后来，仔细研究这一问题时，我吃惊的发现上述结论竞是错误的．定理四面体外接球、内切球球心重合的充要条件是四...     

一道高考题的妙解

题目:(2006年湖南卷理数第9题)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是     

一道课本习题的应用

由立几课本 P1 0 8习题十三的第一题可知 ,正方体截去四个直角后 ,得到一个正四面体 .如图 1 ,若设正方体的棱长为 a,正四面体的棱长为 a′,正方体及正四面体的外接球半径分别为 R、R′,正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为 r、r′,易知有如下结论 :1正四面体内接于一正方体 ,且 a′=2 a;2 V正四面体 =13V正方体 ;3R =R′;　 4 r =r′.(证明略 )利用上述结论可迅速解决如下各题 :图 1　　　　　　　　图 2例 1　正三棱锥 S- ABC的侧棱与底面边长相等 ,如果 E、F分别为 SC、AB的中点 ,那么异面直线 EF与 SA所成的角等于(　…     

外接球问题的探究

<正>外接球问题在近几年高考中时常考查,这类问题对我们高三复习的学习和解题困难也很大,为此本人总结了高考外接球中常见的几类问题,供同学们相互学习.一、构造法构造长方体或正方体,利用长方体(或正方体)体对角线就是外接球的直径来解决外接球的问题.例1(2013年辽宁卷理10)已知直三棱柱ABC-A_1B_1C_1的6个顶点都在球O的球面     

一则化学中的数学问题

题目甲烷分子(CH4)中四个碳氢键的键角都是109°28’,如何算出来的呢? 下面笔者运用数学知识予以解答:我们知道甲烷分子(CH4)的分子结构是正四面体,其中碳原子位于正四面体的中心位置,四个氢原子位于正四面体的四个顶点.其分子结构的示意图如上图;设O是正四面体的中心,O’是A在底面BCD的射影,则点O是正四面体的外接球的球心,     

“耐人寻味”的正四面体

正四面体的四个侧面都是正三角形,是个 具有对称美的几何体．研究正四面体,对于研 究三棱锥、空间四边形,也很有帮助．可谓“麻 雀虽小,五脏俱全”．它有很多耐人寻味的性 质,下以棱长为a的正四面体为例,我们近观 正四面体．     

一道高考题的多角度思考

图1题目图题目(2006年高考山东卷)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为()(A)4273π.(B)26π.(C)86π.(D)264π.解法1由已知可得三棱锥P-DCE的各棱长图2解法1图均为1,因此三棱锥P-DCE为正四面体,如图2,取PD中点M,CE中点N,连MN,则易证MN⊥PD,MN⊥EC,取MN的中点O,则易求得OE=ON2 EN2=(42)2 (12)2=46,同理OD=OC=OP=46,故O为三棱锥P-DCE的外接球的球心且外接球的半径R=46,体积V=43πR3=86π,故选(C).解…     

巧妙构造立几模型解题

<正>正方体,长方体,正四面体都是很典型的多面体,也可以看作典型的立体几何模型.在一定几何环境中,通过巧妙构造以上模型,会使解题思路顺畅自然,避繁就简,下面通过例题予以说明.一、构造正方体模型【例1】球与正四面体的六条棱都相切,     

高考中球问题的考查特点和学习建议

空间想象能力是指对空间形式的观察、分析和抽象思维的能力，它包含三个方面的要求：能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形．高考对空间想象能力的考查常常依托一些基本的几何体（如正方体、长方体、正四面体、球等）来进行，球是一种基本而重要的几何体，     

“烃”中的数学问题举隅

走向跨学科课程 ,走向学科综合是中学数学教学改革的趋势之一 .笔者把在学校的一节第二课堂“有机化学中的数学问题”中的部分例题呈现于下 ,以飨读者 .1　“烃”与立体几何图 1　例 1图例 1　甲烷CH4 分子结构呈正四面体 ,碳原子位于正四面体的中心 ,求甲烷分子中C -H的键角 .解　如图 1,设正四面体的棱长为 1,通过体积法容易得出 ,正四面体的中心到各面和顶点的距离之比为 1:3,于是CH =3412 - (33) 2 =64.由余弦定理可得 ,C -H键夹角的余弦值为- 13.从而查表可知C -H键的夹角为 10 9°2 8′ .2　“烃”与Euler公式例 2　目前 ,化学家…     

一道抽象函数问题的思考

<正>一道经典的高考数学试题,就像一杯普洱茶,越品越“浓郁”,令人回味无穷,2022年新高考Ⅰ卷第12题就颇具这种特质．1试题呈现例1 (2022年新高考Ⅰ卷第12题,多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,记g(x)=f′(x).     

利用正方体巧解正四面体问题

一、空间角和距离在求解正四面体中的角和距离时,我们通常将正四面体置于正方体中建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量来解题．例1已知正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD上的点,且AE:AB=1:4,CF:     

几类特殊四面体的外接球问题

我们知道,每个四面体都有外接球,球心就是各条棱的中垂面的交点,这个点到各个顶点的距离都相等.给出一个四面体求它的外接球半径,是一类常见的问题.下面以近几年的高考题为例来说明几类特殊四面体的外接球半径的求法.1等腰四面体的外接球三对对棱分别相等的四面体叫做等腰四面体,从长方体的一个顶点出发的三条面对角线,以及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个等腰四面体.设等腰四面体的三条棱长分别是a,b,c,通过构造长方体,可以求得它的外接球半径为R=24a2 b2 c2.特别地,当a=b=c时,棱长为a的正四面体的外接球半径为R=46a.例1(2003年…     

用定性分析法识别动点问题中的函数图像简

球与空间几何体，在新课程标准下是一个由直观感知到操作确认最后推理计算的问题，但是在新课标高考数学试卷中又以小题的形式多有涉及，而研究新课标高考试题，不难发现只有充分感知体验球与空间几何体的关系，才能有较深刻的理性认识，构造或变形解决有关问题．下面笔者就球与空间几何体问题的解决过程给以解析，供同学们参考．     

评析2007年安徽省高考(理科)数学试题

2007年安徽文、理科高考数学试卷中出现了不少创新题,这些题目立意新,情境新,构思精巧,背景公平,令人耳目一新,值得玩味.现撷取几道试题,以飨读者.第(8)小题半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点,则A与B间的球面距离为()(A)arccos(-53).(B)arccos(-63).(C)arccos(-13)