递推数列与函数“不动点”

数列综合题是高考数学中的热点和难点之一，特别是已知递推关系但又难求通项的数列综合题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，这里我们以例题的形式说明函数“不动点”与递推数列之间的关系，以及怎样利用函数“不动点”来分析、解决与递推数列有关的综合题，以期对同学们有所帮助．     

不动点在一类数列问题中的应用

函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点．即当f（x）=x时,x的取值称为不动点．     

用不动点求两类递推数列的通项

<正>求递推数列通项是高考以及数学竞赛的重要考点,尤其是在数学竞赛中,数列的递推形式丰富多样,这为求解通项带来一定的难度.利用函数不动点的方法,把递推数列转化为等差、等比或其它方便求通项的递推形式,问题便事半功倍了.本文介绍了利用函数不动点法在复数范围内求解二阶递推数列a_(n+2)=     

用不动点性质解非线性问题

我们常把映射x→y=f（x）中满足a=f（a）的a称为不动点，它是研究映射时一个很重要的性质，由于中学数学中函数、数列等都与映射有关，因而若存在不动点a，可借助a来研究许多数学问题，特别是非线性问题，下面笔者介绍一些用不动点来解非线性问题的方法，可供大家参考．     

迭代·递归·一类函数的周期性

求已知函数f(x)的n次迭代式f(f(…(f(x))))的明显表达式,是一个古老、有趣而又困难的问题。本文先指出函数迭代与递归数列的关系;然后给出求函数迭代式的一种简便方法——递归法,最后探讨一类函数的周期性。一、设f(x)是定义在D上的函数,记     

用不动点性质解非线性问题

我们常把映射x→y=f(x)中满足α=f(α)的α称为不动点,它是研究映射时一个很重要的性质,由于中学数学中函数、数列等都与映射有关,因而若存在不动点α,可借助α来研究许多数学问题,特别是非线性问题,下面笔者介绍一些用不动点来解非线性问题的方法,可供大家参考.1数列递推若递推式an 1=f(an)有不动点,可借助不动点构造新数列解之.1.1解常系数递推式例1已知xn 1=xn3(xxnn22 3a2a2),x1=b,其中a,b为实常数,a≠b,求xn.解以α代xn 1和xn得不动点α=0,±a,从而xn 1-axn 1 a=xn(xn2 3a2)3xn2 a2-axn(xn2 3a2)3xn2 a2 a=(xn-a)3(xn a)3,∴xxnn -aa=…     

一个动力系统的经典模型的全局收敛性

研究了由函数f(x)=cosx迭代所得到的一个动力系统的经典模型,讨论了其全局收敛性.首先,证明了对于任意的正整数n,函数cos~nx都存在唯一的不动点;其次,证明了对任意初值x_0∈R,皮卡迭代数列{cos~nx_0}都收敛到同一个常数,此常数正好为函数f(x)=cosx的不动点,从而证明了由函数f迭代生成的离散动力系统{f~0,f~1,f~2,…}是全局收敛的.     

数学问题1848的错解分析及修正

《数学通报》2010年4月第1848号数学问题为: 已知函数:f(x)=x3+bx,数列{an},其中a1＞0. (1)若an=f(n),当数列{an}为递增数列时,求b的取值范围; (2)若an+1=f(an),当数列{an}为递增数列 时,求首项a1的取值范围.(用b表示,且b≥0) 原解答对于(1),将数列{an=f(n)}递增数列转化为函数f(x) =x3 +bx在[1,+∞)单调递增,进而转化为f′(x) =3x2+b≥0在[1,+∞)上恒成立,从而求出b的范围是:b≥-3.     

试论递归数列的地位与作用

由于递归数列已经写进中学教材,并且在近几年高考中又屡次出现关于递归数列的试题,致使这一专题引起了广大数学教学工作者重视。纵观这种数学杂志,近年来刊发了大量探讨如何求各类递归数列通项公式的文章。毫无疑义,这一工作是有意义的。但是,笔者认为,要对递归数列有更为深刻和全面的认识,仅至于此,尚嫌不与。重要的问题还在于:必须了解递归数列的产生背景,认识递归数列在数列诸表示形式中的地位,并能以递归数列为工具去解决与之有关的数学问题。本文的目的就是试图对上述问题进行一些探讨。     

不动点的性质及应用

本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略,权当对教材的补充.一、函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解(1)代数意义:若方程f(x)=x有实根x0,则y=f(x)有不动点x0.(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根据情况进行讨论,同时结合图形来求解有关不动点的问题.二、函数不动点的性质性质1:函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),-1不动点.证明:由f(x0)=x0,可得f-1(x0)=x0,所以x0是y=f-1(x)的不动点.性质2:定义在R的…     

谈转化法在数列证明题中的应用

数列问题是定义在自然数集上的命题.因此,对于数列中的证明题,一般都考虑用数学归纳法,然而,通过等量代换,或不等放缩,将题设数列转化为另一已知数列来处理,也是一类常用方法。本文试图通过下列几个例题,来讨论运用转化思想解决数列证明题的一些常用的方法。一、用于证明数列不等式例1 设函数f(x)=1/2(x+a/x)(a>0),且     

用函数性质研究数列x_(n 1)=f(x_n)

二阶递归数列x_(n 1)=f(x_n)对应的函数y=f(x)称为递归函数。用递归函数研究数列的单调性、有界性和极限等,是十分方便的。一、关于单调性从图上(如图1)分析,可发现决定数列增(减)的关键为:在数列各项x_i(i=1,2,…)取     

“不动点”在数列通项公式中的神奇作用

我在对一些特殊形式的递归关系进行推导时,发现了“不动点”在其中的神奇作用．下面就让我们感受一下“不动点”的作用．问题一已知a1为常数,数列｛an｝满足递归关系(?)(其中a、b、c、d均不为零且(d-a)2+4bc≥0)(?),求数列｛an｝的通项公式．     

关于函数极限概念的一点注记

教材 [1 ]给出极限的一般概念为 :在自变量的某个变化过程中 ,如果对应的函数值无限接近某个确定的数 ,那么 ,这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限 .用这一观点 ,教材把数列极限和函数极限统一起来 ,把函数的各种不同的极限过程也纳入了这个统一的极限框架中 .在这个极限的一般概念中应注意两点 .一是极限是考察在自变量的某个变化过程中函数值的变化情况的 ,因而该函数的极限值本身可以不是函数值 ,因而可以定义函数 (包括数列 )在±∞处的极限 ,特别是对于 limx→ x0f (x) ,函数 f (x)可以在点 x0 处没有定义 .二是自变量可以形…     

递归数列的通项公式

探求递归数列的通项公式的一般办法是:逐次代入递推找规律—猜想—证明(用数学归纳法).这种办法的优点是解题思路自然直观,缺点是运算量较大,所需过程较多,有时规律不易发现.下面探讨用特殊办法求递归数列的通项公式,     

求“不动点”问题

近年来 ,数学高考试题十分重视不动点问题的考查 ,通常以不动点为载体 ,与函数、数列、不等式、解析几何的知识进行综合 ,结合数学思想、方法、与时代信息融合一体 ,考查学生的能力 .深化能力立意 ,突出考查能力和素质的导向 .本文试图探索不动点问题 ,寻找其解题途径、规律和策略 .1　不动点与逻辑思维的整合不动点与逻辑思维的整合 ,考查学生吸收信息和处理信息的能力 .例 1　下述命题 :“若定义在Ｒ上的奇函数ｆ(ｘ)图象上存在有限个不动点 ,则不动点有奇数个”是否正确 ,若正确 ,请给予证明 ,若不正确 ,请举一反例 .解　命题正确 .∵ ｆ…     

函数与极限方法在数列中的应用

上海市2010年春季高考数学第23题为一道数列题.此题以递推公式揭示了数列首项和常数因子对数列后续项的影响,值得学习与探究.笔者围绕题中数列,利用函数与极限方法探究数列初始值的设定及其影响,进行了以下研究. 题 已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=axn/xn+1(a为常数).     

数列不等式问题的多角度证法

<正>熟知,数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数与数列的重要工具,因此,数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中.2015高考安徽(理)有这样一道题:设n∈N*,x_n是曲线y=x_(2n+3)+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x_n}的通项公式;     

再谈不动点在数列通项公式求解中的作用

<正>贵刊文[1]利用函数f（x）的"不动点"巧妙地求出了形如a_n=(a·a_n-1+b)/(c·a_n-1+d)（a,b,c,d均不为零且（d-a）⁺4dc≥0）,及a_n=(a·a_n-1²+b)/(2a·a_n-1+c) （a,b,c均不为零且c²+4ad>0）的数列通项公式,读后深受启发.经过研究,本人发现利用函数f（x）的"不动点"还可求出如下一种形式的数列通项公式:     

递归数列a_n=pa_（n-1） q应用集锦

把实际问题转化为数学问题,再利用数学知识解决实际问题是我们学习数学的根本目的.在现实生活中有不少与一类递归数列an=pan-1 q(其中p、q为常数,且p≠1、n≥2)有关的实际问题,如若我们能正确认识,恰当处理,利用递归数列的知识把它转化为等比数列问题来进行解决,则容易解答.下面就此举些典型例题供大家欣赏.