抛物线中的几个常用性质

抛物线中的性质较多 ,如能熟练记忆 ,在解题过程中将大大提高解题速度 .本文主要介绍与抛物线焦点弦有关的几个性质 .图 1　证明用图以抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ >0 )为例 ,线段ＡＢ为过其焦点Ｆ的弦 ,由Ａ ,Ｂ分别向准线引垂线ＡＡ1,ＢＢ1,垂足分别为Ａ1,Ｂ1(见右图 )性质 1:以焦半径ＢＦ(或ＡＦ)为直径的圆与 ｙ轴相切 ;性质 2 :以焦点弦ＡＢ为直径的圆与其准线ｘ =- ｐ2 相切 ;性质 3:以线段Ａ1Ｂ1为直径的圆与ＡＢ相切 ,切点为Ｆ .证明　设Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) .性质 1:即证线段ＢＦ的中点到 ｙ轴的距离等于线段ＢＦ长度的一半 .设…     

圆锥曲线的一条美妙性质

圆锥曲线有很多美妙性质 ,本文给出一条新的性质 .定理　设圆锥曲线的一条准线与对称轴的交点为 A,其相应的通径的一个端点为 B,则直线 AB一定与该圆锥曲线相切 ,证明　 ( 1 )当圆锥曲线是椭圆时 ,不妨设椭圆方程是　 x2a2 + y2b2 =1 ( a >b>0 ) ,只考虑 A( - a2c,0 ) ,B( - c,b2a) ,则直线 AB的方程为 y =ca( x + a2c) ,将其代入椭圆方程得( b2 + c2 ) x2 + 2 a2 cx + a4- a2 b2 =0 ,其判别式Δ =0 ,故直线与椭圆相切 .( 2 )当圆锥曲线是双曲线时 ,同上可证 .( 3)当圆锥曲线是抛物线时 ,设抛物线方程得 y2 =2 px( p >0 )考虑点 A( - p2…     

椭圆的伴随圆系及其性质

1 椭圆的伴随圆的含义 所谓椭圆的伴随圆是指与椭圆有关的圆,如椭圆的内切圆是常见的一种伴随圆,文[1]中对抛物线的伴随圆系及其性质进行了研究,本文进一步对椭圆的伴随圆系性质进行探究.并且归纳出椭圆离心率的又一几何意义.     

一类抛物线交圆问题的探究

<正>把圆置入平面直角坐标系,探究抛物线上的动点为圆心与已知直线相切的圆与抛物线的对称轴的位置关系,综合了抛物线、圆及直线与圆的位置关系等知识点,是中考命题的一个重点内容,常常在中考试卷最后一题考查.下面构造一例,供同学们中考复习时参考.     

圆锥曲线切线的一种几何作法

<正>在平面几何学习的过程中,往往可以将圆中的一些典型问题推广到椭圆,进而再类比到双曲线和抛物线,充分体现了这些圆锥曲线的内在联系和统一性质.题目(2015年全国高考新课标卷第22题(1))如图1,AB为⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线.由圆的几何性质不难证明直线DE与圆O相切于点E,再回首,发现此题蕴含着圆上任一点处的切线的一种作法,     

对一道解析几何高考题的探究与拓展

题目 (2012福建文-19)如图1,等边三角形OAB的边长为8√3,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p＞0)上. (1)求抛物线E的方程; (2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点. 1 试题解法 本题主要考查抛物线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量等基础知识,考查运算能力、推理论证能力等,考查化归与转化、数形结合、函数与方程思想等.     

关于坐标轴的伸缩变换

在解析几何中,有坐标轴平移一节,能够使许多问题简化,在这里再介绍坐标轴的伸缩变化. 我们在三角函数中曾碰到过这样一个题目:求函数y=1-2cosα/3-4sinα的值域,有些同学会想到设x=2cosα,y=4sinα,通过斜率求解,但发现图形为椭圆,求椭圆相切问题较为麻烦.因此可想到将函数式变形为:y=1/2·1/2-cosα/3/4-sinα这就转化成了与圆有关的相切问题.其实,这里已初步涉及到了坐标轴的伸缩. 一、先来考察怎样将椭圆转变为圆设在原坐标系xOy中,椭圆的方程为x2/a2 y2/b2=     

蒙日圆的一种几何证法

<正>法国数学家蒙日(Monge,1746-1818)是画法几何的创始人.他发现:椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是一个圆,这个圆被称为蒙日圆.下面是我的推导过程.引理椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的两个焦点分别为F_1,F_2,直线l与椭圆相切于点P,     

对福建省一道高考试题的一般性探究

试题（2012福建高考文科21题）:如图1,等边三角形OAB的边长为8(3^1/2),且其三个顶点均在抛物线E:x²=2py（p>0）上.（1）求抛物线E的方程;（2）设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较     

直线与椭圆位置关系的三角判断法及应用

<正>众所周知,在解析几何中,直线与椭圆位置关系的判断,常选择代数法和几何法.设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A²+B2+B²≠0),椭圆E的方程为:x2≠0),椭圆E的方程为:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x2=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,消去x或y利用判别式判断,当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ<0时,直线与椭圆相离.而几何法是利用仿射变换将椭圆变为圆,比较圆心到直线的距离与圆的半径大小进行     

圆锥曲线中一类“三边相切”问题再探

本文从一个抛物线的“三边相切”问题,进行探究推广,并类比到椭圆与双曲线的情形.     

圆的性质向椭圆拓展九例

椭圆可看作一个被“压扁”的圆,圆可视为椭圆的极端情形.圆和椭圆在许多性质上具有相似性.把圆的性质向椭圆拓展,不仅强化了知识之间的内在联系,而且也锻炼了创新思维品质.本文将圆的有关性质在椭圆上进行拓展,限于篇幅,各项性质和拓展的正确性的证明,留给读者完成.性质1圆中直径所对的圆周角是直角;拓展1设P(x,y)是椭圆ax22 by22=1(a>b>0)上任意一点,且不与P1(a,0),P2(-a,0)重合,则kPP1·kPP2=-ab22.性质2圆的切线垂直于过切点的半径;拓展2过椭圆ax22 yb22=1(a>b>0)上异于椭圆四个顶点的任意一点P作椭圆的切线l,则klkOP=-ab22(O为坐标…     

椭圆一性质的证法研究及推广应用

性质如图1,已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),若直线l与椭圆相交于A,B,且OA上OB(O为坐标原点).则直线l与一个定圆相切. 1 解法探讨 解法1:根据椭圆的对称性以及△AOB绕原点旋转一圈都与椭圆有两个不同的交点,合理猜想所求定圆的圆心一定在原点,从而把问题转化为“原点到直线l的距离为定值”.     

圆内接直角三角形斜边过定点的一个推广

都知道,圆内接直角三角的斜边恒过一定点(圆心),通过特例的检验、电脑演示、并猜想可以将这一性质推广到抛物线、椭圆、双曲线,真是太奇妙!这又是圆锥曲线的一组统一性质,下面以定理的形式叙述并予以证明.定理1设P(x0,y0)是抛物线y2=2px上一定点.A,B是抛物线上两点,且满足PA⊥P     

判断直线与椭圆位置关系的两种新方法

命题对任意的椭圆c:x2/a2 y2/b2=1,直线L:Ax By C=0,设椭圆c的两焦点为F1,F2,F1关于L的对称点为F1’. 当|F1'F2|<2a时,直线L与椭圆c相交; 当|F1'F2|=2a时,直线L与椭圆c相切; 当|F1'F2|>2n时,直线L与椭圆c相离.     

圆中简单命题,误当椭圆性质

文[1]用较长篇幅,分椭圆、双曲线、抛物线证明了圆锥曲线与圆相交时的一个等比性质.笔者发现,其结论与圆锥曲线没有任何关系,仅仅是圆的一个平面几何性质.下面以其性质1为例进行说明.     

解析几何最值问题的解法

<正>我们知道,若平面上一点M到圆锥曲线C上的一点P距离最大(小),则以M为圆心、PM为半径的圆E一定和C相切于点P.将C与E的方程联立消去一元得到另一元的二次方程(此方程称为曲线C与E的相关方程),设此方程根的判别式为Δ,则我们可通过Δ=0来简单快速解决一类解析几何问题.例1(1990年全国高考理科题)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=3^(1/2)/2,已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远     

导数视角下2019年高中数学联赛A卷一试第10题解法探究

<正>1试题呈现题目(2019年高中数学联赛A卷一试第10题)在平面直角坐标系xOy中,圆Ω与抛物线Γ:y²=4x恰有一个公共点,且圆Ω与x轴相切于Γ的焦点．求圆Ω的半径．本题以抛物线为载体,考查了圆和直线、圆和抛物线的位置关系,解决本题的关键是如何利用两重特殊的未知关系列方程并求出圆的半径．     

几何法解圆锥曲线问题

<正>圆锥曲线的内容主要包括椭圆、双曲线及抛物线三种曲线的定义、几何图形、方程及几何性质,及直线与三种曲线的位置关系.解决圆锥曲线问题需要注意数与形的结合,常用解析法(用代数的方法解决几何问题)、几何法(通过几何图形的性质解决问题).当题目中涉及到三种曲线的定义、特殊角度、线段比值关系、线圆相切、正多边形等条件时,可以在图形上标出相应的关系,通过几何方法解决问题.     

立体几何中圆锥的截口曲线问题

<正>在人教版高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》的章头图和章头文中,给出了用一个不垂直于圆锥轴线的平面去截圆锥,当平面与轴线夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.但具体什么时候截得的是椭圆、双曲线和抛物线,课本中没有详细介绍,而在近几年的高考