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Ceva定理:O为△ABC内一点,直线AO、BO、CO分别与BC、CA、AB交于D、E、F,则AFFB·BDDC·CEEA=1.注:AF FB是指有向线段AF的数量与有向线段FB的数量之比,下同.其逆定理是:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上一点,若AFFB·BDDC·CEEA=1,则直线AD、BE、CF三线共点.显然,若AFFB·BDDC·CEEA≠1,则直线AD、BE、CF三线 相似文献
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性质1如图1,在锐角△ABC中,AB>AC>BC,点O、H分别是三角形的外心和垂心,则∠OAH+∠OCH=∠OBH.证明延长AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于点D、E、F,∵点H是△ABC的垂心,显然AD、BE、CF是△ABC的三条高,于是易证B、C、E、F四点共圆, 相似文献
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题目 在△ABC中,∠A=60°,∠C=75°,AB=10,D,E,F分别在AB,BC,CA上,则△DEF的周长的最小值为___. 相似文献
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定理 1 设 AD,BE,CF是△ ABC的角图 1平分线 ,△ ABC内的动点 P到其三边的距离构成某三角形的三条边之长 ,则点 P的轨迹是△ DEF的内部 .证明 如图 1 ,过点 P作直线 E′F′分别交 AC、AB于点 E′、F′.设点 P到边 BC,CA,AB的距离分别为 r1,r2 ,r3 .则S△ E′AF′=12 ( AE′.r2 AF′.r3 ) ,( 1 )S△ ABC=12 ( ar1 br2 cr3 ) ,( 2 ) S△ E′AF′S△ ABC=AE′.AF′bc . ( 3)把 ( 1 )、( 2 )代入 ( 3)式可得ar1 br2 cr3 =bc( r2AF′ r3 AE′) ( 4 )由于 AE =bca c,AF =bca b,所以bc( r2AF r… 相似文献
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《中学数学》1987,(7)
一本期问题 1 △ABC的AB、AC皆为定长,其中AB>AC,∠BAC为一变量,作其内切圆与BC相切于D,设DF为该圆直径,射线AF交BC于G,试证不论∠BAC的大小如何,CD恒为定长。 2 设△ABC的BC边的中垂线与∠BAC及其外角的平分线分别相交于M、N,试证明线段MN是△ABC外接圆的一条直径。安徽怀宁江镇中学黄全福提供 3 已知D、E、F分别在△ABC的边EC、CA、AB上且AE=AF=x,BF=BD=y,CD=CE=z,求证△DEF的外心是△ABC的内心。湖南教育学院张运筹提供 4 已知a~3+b~3=2(a、b∈R),求证a+b≤2。 5 求函数y=-2x~(1/2)-4x~2+2x+1~(1/2)的最大值。 相似文献
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三角形的伴垂心的若干极值特征 总被引:1,自引:1,他引:0
如图 1,△ ABC的三条高分别为 AD、图 1BE、CF,垂心为 H ,点 D关于 BC边的中点的对称点为 D′,点 E关于 CA边中点的对称点为 E′,点 F关于 AB边中点的对称点为 F′,则由 Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点 ,记为 H′,称 H′为△ ABC的伴垂心 [3 ] ,又叫伪垂心 [1 ] [2 ] .约定 :伴垂心 H′到△ ABC三边 BC、CA、AB的距离分别为 r1 、r2 、r3 ,三边 BC、CA、AB的长分别为 a、b、c,其上的高分别为 ha、hb、hc,面积为△ ,外接圆半径为 R.△ D′ E′ F′的面积为△′.我们需要下述引理 :引理 1[3 ] 在△ ABC中 ,有A… 相似文献
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2007年8月号问题解答1686△AB(C解中答,由∠A问题>提90供°,人给出)AB>AC,高线BE、CF交于H,O为△ABC的外心,且AO=AH,∠BAC的平分线AD所在直线交BE,CF的延长线于M、N.求证:HM=HN.(福建厦门九中陈四川361证00明4)因为AB>AC,∠ABC<∠ACB,∠ACB 12∠BAC>∠ABC 12∠BAC,即∠ACB ∠CAD>∠ABC ∠BAD,所以,∠ADC<∠ADB,∠CDA<90°,所以N点在HF上,M点在BH的延长线上.延长AD交⊙O于G,BG=CG,连结BG、CG、GO,并延长GO交BC于T,交BAC于O′,O′G⊥BC,垂足T,OT=21AH(三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对… 相似文献
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图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则 相似文献
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《中学数学》2007年第6期P37刊载了如下图1命题D、E、F为△ABC的周界中点,EF、FD、DE三边的中点分别为D1、E1、F1,AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1,则AA1、BB1、CC1相交于一点Z.本文给出如下推广命题D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,D1、E1、F1分别是△DEF的边EF、FD、DE上的点,AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1.如果(BDDC·ECEA·FAFB)·(DFF1E1·EDD1F1·EF1ED1)=1(*),那么AA1、BB1、CC1三线共点.简证SS△△AABCAA11·SS△△AA11ECAA·SS△△FEAAAA11… 相似文献
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约定:点D,E,F分别是△ABC三边BC,CA,AB上的点,且AF/FB=λ1,BD/DC=λ2,CE/EA=λ3. 相似文献
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一、性质 已知矩形CDEF内接于Rt△ABC,其中D在AC上,F在BC上,E在AB上,∠C=90°,若要使矩形CDEF面积取到最大值,则D、E、F分别在AC、AB、BC的中点上,且最大值为Rt△ABC面积的一半. 证明如图1所示,设 E为 AB上一点,且AE/EB=1/λ(λ>0),则有:∴矩形CDEF的面积为 相似文献
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在△ABC中,O,G,H分别是它的外心、重心、垂心,O,G,H三点共线,此线是著名科学家牛顿首先发现的,故被命名为牛顿线,其中线段OH称为牛顿线段,对于牛顿线段有OG∶GH=1∶2;如果分别以三边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点,如图,记这些对称点分别为D′,D″,D,连结CD′,AD″,BD,我们得到如下定理定理在△ABC中,分别以三边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点,记这些对称点分别为D′,D″,D,连结CD′,AD″,BD,三条直线CD′,AD″,BD共点,设此点O′,称点O′为△ABC的边对称外心;此点是牛顿线的中点,且有OG∶GO′∶O′H=2∶1… 相似文献