数学奥林匹克讲与练(25)

例题讲解193.用数字“1”、“2”组成5个n位数,使每两个n位数都恰有m个数位上的数字一致,但不允许在同一数位上5个n位数的数字都相同.求证:25≤mn≤35.证明　将这5个n位数在同一数位上的数字组成数对.每个数位有5个数字,可以组成C25=10个数对,n个数位共组成10n个数对.考察其中由不同的数字组成的数对(即数对(1,2)).由于同一数位上的5个数字不都相同,故在其组成的数对中,(1,2)的个数不少于C11C14=4个,不多于C12C13=6个,因而在10n个数对中,数对(1,2)不少于4n个,不多于6n个;另一方面,因为每两个n位数恰有m个数位上的数字相同,故恰有(n-m)个数位上的数字不同,由它们组成的数对即数对(1,2),故每两个数可产生(n-m)个数对(1,2),而5个数共产生C25.(n-m)=10(m-n)个这样的数对.综上所述,我们得到4n≤10(n-m)≤6n,解之即得　　25≤mn≤35.194.8人进行象棋循环赛,每赛一局,胜者得1分,败者得0分,平局时比赛双方各得0.5分.结果发现每人的得分均不相同,且第二名的得分恰等于后四名的得分的总和,问在第三名与第七名的比赛中谁获胜.解　...     

一类新发现的“数字黑洞”及其验证

<正>"黑洞"原指非常奇怪的天体,它密度大,引力强,任何物体到了它那里都别想再"爬"出来.无独有偶,数字中也有类似的"黑洞",满足某种条件的所有数,通过一种运算,都能被它"吸"进去,无一能逃脱它的魔掌.譬如:任意找一个3的倍数的数,先把这个数的每一个数位上的数字都立方,再相加,得到一个新数,然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、     

哆啦A梦告诉你

什么是数位? 每个数字所在的位置叫作数位.在一个自然数中,从右到左依次是个位、十位、百位……同一个数字写在不同的数位上,数的大小就会发生变化.     

与多位数有关的应用题的解法

<正>与多位数有关的应用题是初中的重要题型,但学生对这个问题并不熟悉,解题中经常出错,为此本文对此进行解读,要学好数位、数字应用题必须注意两点:1.抓住概念打好基础学好概念即正确理解:数字、数位、数.(1)数字是指0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;(2)数位是指:个位、十位、百位、千位、万位、……;(3)数是由数字组成,同时还要注意数位,数字是数.但数不一定是数字,可它是由数字组成的.例如数字9是数,但数12不是数字.     

概率竞赛题求解几例

<正>一、利用列举法解题例1若正整数n,使得在计算n+(n+1)+(n+2)的过程中,各个数位上均不产生进位现象,则称n为"本位数",例如2,30都是"本位数",而6,71都不是"本位数";现从所有大于0且小于100的"本位数"中,随机抽取一个数,抽到偶数的概率为____.     

以数的整除为背景的阅读理解题

<正>定义一个"新数",然后通过"阅读理解"的形式去探究"新数"的性质.这类题目是多年来较为常见的题目.但因"定义"的方式不一,"新题"不断出现.下面是几例和数的整除、数式计算、方程、函数相结合的阅读理解新题.例1阅读以下两则材料,解决后续问题:     

科学计数法与近似数

一、方法导学1 .科学记数法　把一个数写成ａ× 1 0 ｎ 的形式 (其中 1≤ａ<1 0 ,ｎ是整数 ) ,这种记数法叫做科学记数法 .记数的方法 :①确定ａ .ａ是只有一位整数数位的数 .②确定ｎ .当原数≥ 1时 ,ｎ等于原数的整数位数减 1 ;当原数 <1时 ,ｎ是负整数 ,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数 (含整数位上的零 ) .2 .近似数　一般地 ,一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位 .一个近似数 ,从左边起第一个非 0数字起 ,直到精确到的数位 ,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字 .注意 :2 .0 5与 2 .0 50 0的区…     

中考数学试题亮点揭秘

翻阅手中的百余份全国部分省市的中考试卷,真是亮点多多,现就九年级上学期的内容归纳如下:一、阅读理解阅读理解题是近年来中考的常见题型.它由两部分组成:一是阅读材料;二是考查内容.它要求同学们根据阅读获取的信息回答问题.提供的阅读材料主要包括:一个新的数学概念的形成和应用过程,或一个新数     

连同数乘法简算法

本文所谓连同数是指各个数位上的数字都相同的一笔数。例如：333、5555、6666等。连同数与其它数字相乘可以速算。本文介绍两种速算方法。     

一种特殊的正整方幂数

试写出一个n(n≥2为正整数)位数,它等于该数的n位数字之和的n次方.这样的数存在吗?如果存在,它有多少?我们仔细分析,从关键词下手.某数的n次方是一个n位数,此其一;n位数字之和的n次方,恰好是这个n位数,此其二.一个正整数的n次方是一个n位数,首先这个数必须是一个个位位数;又2~n,3~n(n≥2的正整数)不可能如此.因此,我们只考虑正整数K,且3相似文献   

连同数乘法简算法

本文所谓连同数是指各个数位上的数字都相同的一笔数。例如:333、5555、6666等。连同数与其它数字相乘可以速算。本文介绍两种速算方法。 为叙述方便,本文把连同数中相同的数码简称为同数,如555的同数为5。规定盘上     

数表问题解法的反思

<正>题目一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是.这是2009年全国高中联赛中的一道题目,这是一个数列问题,首先来研究它的一般解法.通过将这个数表按要求排列之后,我们猜测并用数学归纳法证明了第n行的公差为dn=2n(n=0,1,…).下面我们试着找出第n行首项an,0和第n     

神奇的完全平方数

<正>如果一个自然数是某个整数的平方,那么这个自然数就叫做完全平方数.把一个整数平方以后得到的数记作n2,那么n2就是一个完全平方数.完全平方数有着奇妙的数字特征,完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9中的一个.除此以外,个位数字的特征还影响着十位数字的变化.下面就一个数平方以后得到的完全平方数的特征进行简单的分类.     

数表与数列问题的求解

数表问题历来是竞赛的热点.这类问题题型新颖,信息性强,往往与数列整合在一起,可以较好地考查学生的观察问题、处理数据、阅读理解、获取信息、归纳推理等能力.本文谈谈如何求解这类题的一些方法.1利用特殊数列沟通纵横联系数表中的横与列都可以看作数列.如果题目已知某项或某列是等差或等比数列,应沟通数表中各数的纵横联系,利用特殊数列的通项公式、求和公式等来求解.例1(南充市2004年高三模拟题)n2个正数排成n行n列(如表1),其中每行数都成等差数列,每列数都成等比数列,且所有公比相同.已知a24=1,a42=18,a43=136,求∑k=n1akk.a11a12a13a14…     

中考阅读理解题的类型及解题策略

阅读理解型的问题是近年来全国各地中考命题中的热点之一.这类问题主要考查学生的阅读理解、分析推理、归纳猜想、抽象概括、探索发现等各项能力. 阅读理解题,一般篇幅较长,涉及内容丰富,构思独特,寓意深刻,是重素质、考能力的好题型.     

试论数学应用题的求解

数学源于实践，高于实践，又服务于实践；要提高民族的数学素质，起码应该包括数学的应用能力；因此，为了加强数学的素质教育，随之数学应用题愈来愈被数学教师密切地关注，笔者初步归纳为两大类型——阅读理解型和模型设计型；１　阅读理解型阅读理解型应用题的显著特点是：文字叙述长，数学情景陌生；因此，阅读和理解至关重要，笔者认为必须做到如下两点：１．１　消除心理障碍许多学生一见应用题文字这么长，数学中的情景比较陌生，连题目都没有看完，就望而生畏、置之不理；殊不知，那种阅读理解型题，实际上也是对学生心理素质的严峻…     

问题驱动促数学阅读能力提升的教学探索

阅读是人类获得知识的主要手段和认识世界的重要途径.现代社会要求人们具有包括语文阅读能力、外语阅读能力、数学阅读能力、科技阅读能力等在内的综合阅读能力.随着数学知识问题化、生活化、社会化,数学阅读能力的培养已不容忽视.近年来,阅读理解题成了高考中的新亮点,具有很强的选拔功能,很多学生对此类题感到难以下手,因为看了题目搞不懂是什么意思,这是数学阅读能力差导致的.教材是教师执教的根源,更是学生学习数学的主要材料,具有极高的阅读价值.教师如何充分利用教科书这一资源,通过课堂上的有效引导培养学生自主提问的习惯,以问题驱动为手段,提高阅读的有效性,从而切实提高学生的阅读能力呢?     

写给逻辑推理的情书

<正>1奥妙的"背后数字"问题最近有同学问我一道逻辑推理题:一个主持人在甲、乙、丙三个人背后各贴上一个正整数,其中一个数等于另外两个数之和.他们每个人都能看到别人背后的数,但看不到自己背后的数,三人不能相互交流.这三个人都非常善于推理,而且不会撒谎.现在主持人按甲、乙、丙的顺序轮流问他们是否知道自己背后的     

正负符号怎么添

<正>问题若有1,2,3,…,n共n个数字,不改变它们的顺序,能否在每两个数字之间添上"+"或"-"号,使它们的和为0?当数字不多时,通过观察、计算,我们可以确定可否做到;当数字为4的倍数个时,我们由经验"1-2-3+4=0"、"5-6-7+8=0"得知,把它们自1起,每四个一组,符号依次为"+、-、-、+"即可.但问题又来了,当数字很多或数字不是4的倍数个时,还能做到吗?为叙述方便,我们把在1,2,3,…n的每两个     

三位数九倍的识别及与连同数乘积的速算

一个三位数如果是9的倍数,怎样一眼看出倍数是多少呢?其方法是如果这个三位数各个数位上的数字之和为9,则倍数的十位为这个三位数百位上的数字,倍数的个位为这个三位数个位上数字的补数。如261÷9=29,513÷9=57,612÷9=68等。如果这个三位数各个数位上的数字之和为18,则倍数的十位为这个三位数百位上的数字加1,倍数的个位为这个三位数个位数字的补数,如198÷9=22,477÷9=53,675÷9=75等。