一个结论的延伸及应用

<正>例如图1,在矩形ABCD中,若OC、OD分别是∠BCD、∠ADC的平分线,则AD+BC=AB.证明如图1,因为AB∥DC,所以∠AOD=∠CDO.因为OD是∠ADC的平分线,所以∠ADO=∠CDO.因此∠AOD=∠ADO.所以AD=AO.同理,得BC=BO.于是AD+BC=AO+BO,即AD+BC=AB(还有多种证法,读者可自行探究).延伸1如图2,在平行四边形ABCD中,     

数学诡辩一例

求证:任意三角形为等腰三角形.已知:在△ABC中,求证:AB=AC.证明　如图1,作∠A的平分线AN,再作BC的垂直平分线OH交AN于O,作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,连接OB、OC.∠1=∠2AO=AO∠AEO=∠AFO=90°　△AEO≌△AFO　　AE=AFOE=OFO在BC的垂直平分线上　OB=OC　　　　　1     

非直角三角形垂心的几条性质

<正>性质1如图1,锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H,过垂心H作△HBC的外角平分线分别交AC、AB于点M、N,则△AMN是等腰三角形.证明∵MN是△HBC的外角平分线,∴∠BHN=∠CHM,易证B、C、E、F四点共圆,∴∠HBN=∠HCM,于是∠ANM=∠HBN+∠BHN=∠HCM+∠CHM=     

趣读畸形的等腰三角形

<正>如果将等腰三角形ABC的顶角顶点A分裂为两个点,记为A1、A2,连线A1A2与底边BC交于点D,仍保持两腰A1B和A2C相等,我们不妨把所得图形称为畸形的等腰三角形,如图1所示.特别地,若点D为底边BC的中点,则称A1A2D为畸形的等腰三角形的底边上的中线.若∠BA1D=∠CA2D,则称A1A2D为畸形的等腰三角形的顶角平分线.非常有趣的一个现象是等腰三角形的一些性质,也传给了畸形的等腰三角形.例如,等     

一道几何题的别证与变式

图1文[1][2][3]中都有如下一道几何题:如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=12∠A,求证:BE=CF.文[2]中用共角定理给出证明,方法简洁、巧妙,文[3]中利用三角法结合正弦定理证明线段相等.这两种方法难度都较大,本文拟给出两种学生容易接受的常规证法并证明两个变式.图2证法1如图2,过点B作BG∥CE,过点C作CG∥BE,BG、CG相交于点G,连结GF,则∠4=∠2=∠1=12∠A,∠ACG=180°-∠A,四边形BGCE是平行四边形,∴CG=BE,∵∠FBG+∠FCG=∠1+∠4+∠ACG=12∠A+12∠A+180°-∠A=180°,     

一种易被忽视的方法--倍角折半的另一种方法

谈到倍角折半,大家往往想到作倍角的平分线即可,文[1]提到以倍角的邻补角为顶角,构造等腰三角形,是倍角折半的又一种常用方法,可惜这一种方法极易被人们忽视.例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,求证:b2-c2=ac.     

初中平面几何基础培优讲座之十 正三角形综合练习(下)

<正>例12(1991年北京市中学生数学竞赛初二年级复赛试题四)如图11,△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作ー个60°的角,角的两边分别交AB于M,交AC于N.连接MN,形成一个三角形AMN.求证,△AMN的周长等于2.证明因为∠ABC=∠ACB=60°,∠CBD=∠BCD=30°.     

由一道几何题的新证得出的结论

<正>文[1][2][3][4]中都有如下一道几何题.如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=1/2∠A,求证:BE=CF.证明作∠A的平分线交BC于点D,连结DE、DF,则∠DAF=∠DAE=1/2∠A,∵∠1=∠2=1/2∠A,∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2,∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分別共圆,于是BD=DF,DE=DC,     

由角平分线想到的

我们知道 ,等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 (三线合一 ) .反之 ,当题设中出现角平分线时 ,如能联想到等腰三角形 ,往往可以很快沟通思路 ,提高解题效率 .这里略举几例 .例 1在△ABC中 ,∠B的平分线交AC于D ,DE∥BC交AB于E ,EF∥AC交BC于F ,求证 :BE =FC .证明　∵　DE∥BC ,　∴　∠ 2 =∠ 3 .又∵　∠ 1=∠ 2 ,　∴　∠ 1=∠ 3 .∴　BE =DE (即△BDE为等腰三角形 ) .∵　DE∥BC ,　EF∥DC ,∴　四边形CDEF为平行四边形 .∴　FC =DE ,　∴　BE =FC .本例虽然比较简单 ,但有心的同学可以从中注意到一个有用的基…     

一道关于圆的几何题的多解

<正>例已知△ABC内接于⊙O,(1)如图1,AD⊥BC,证明∠BAD=∠OAC;(2)运用(1)结论,如图2,H为△ABC的垂心,若∠ABC的平分线BE⊥HO,交⊙O于E,⊙O的半径为10,求弦AC的长.(1)证明如图1,延长AO交⊙O于K,连接CK.∵AK为⊙O直径,AD⊥BC,∴∠BDA=∠KCA=90°.又∠B=∠K,由三角形内角和知∠BAD=∠OAC.对于第二问,提供以下四种解题思路.思路1构造等边三角形(2)解如图3,连接BH,BO,连CH并延长交AB于G,交⊙O于F,连接BF,作直     

三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题1 如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则∠D =90°+1/2∠A.∵ ∠1 =∠1′,∠2 =∠2′,∴ 2∠1 +2∠2 +∠A =180°,∠1 + ∠2 + ∠D=180 °.     

2005年高考江西卷压轴题的另证及推广

理(22)题:如图1,设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA,PB,且与抛物线C分别相切于A,B两点.(Ⅰ)求△APB的重心G的轨迹方程;(Ⅱ)证明∠PFA=∠PFB.对(Ⅱ)标准答案提供了两种证法,在此再给出另外两种证法;图1抛物线分析1如图1,因为∠PFA=1     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

角平分线的运用

角平分线在几何题中经常出现 .熟悉角平分线的处理方法是解决与角平分线有关问题的关键 .本文仅以 2 0 0 2年两道竞赛题的多种证法为例 ,说明角平分线的运用技巧 .一、用角平分线的定义图 1如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,∠ＡＣＢ的平分线ＣＤ和∠ＡＢＣ的平分线ＢＥ交于点Ｇ .求证 :ＧＥ =ＧＤ .( 2 0 0 2年重庆市初中数学决赛试卷Ｂ卷 )证明　连结ＡＧ .∵　角平分线ＢＥ、ＣＤ交于Ｇ ,∴　ＡＧ是∠ＣＡＢ的平分线 .又　∠ＣＡＢ =6 0°,∴∠ 3 =∠ 1 +∠ 2 =12 ( 1 80°-6 0°) =6 0°.∴　∠ＤＧＥ =1 2 0°.故　∠ＣＡＢ +∠ＤＧＥ …     

"∠B=2∠A"型问题的处理方法

掌握几何中"∠B=2∠A"型问题的处理 方法,是快速解答相关问题的关键. 一、作大角的角平分线 例1 如图1, 在△ABC中,AB= 2BC,又∠B=2∠A, 求∠C. 解 作∠B的平 分线交AC于E,过E 作DE⊥AB于D. ∵∠B=2∠A,∴ ∠1=∠2=∠A. ∵ DE⊥AB,　∴ BD=1/2AB. ∵AB=2BC, ∴ BD=1/2×2BC=BC.     

运用圆锥曲线的光学性质解题续谈

笔者在研读并欣赏文[1]之余,总觉得意犹未尽,经探究证明,得如下几个结论,遂成下文,仅供大家参考.命题1已知抛物线的焦点为F,直线PM′与PN′分别切该抛物线于点M,N,则1)如图1,若点P,F在直线MN同侧(或点F在直线MN上)时,∠MPN=12∠MFN;2)如图2,若点P,F在直线MN异侧时,∠MPN=180°-21∠MFN.图1命题1图图2命题1图证明1)分别过点M,N,P作抛物线对称轨的平行线MR,NS,PX,则∠M′MR=∠MPX,∠N′NS=∠NPX.由抛物线的光学性质知∠PMF=∠M′MR,∠PNF=∠N′NS,∴∠MPX ∠NPX=∠PMF ∠PNF,即∠MPN=∠PMF ∠PNF(1)又∵∠M…     

“三线合一”的应用

一 .什么是“三线合一”在等腰三角形中 ,顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 ,简称“三线合一” .二 .“三线合一”的应用如右图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,(1 )∵ＡＢ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,ＢＤ =ＤＣ .(2 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＢＤ =ＤＣ ,∴ＡＤ⊥ＢＣ ,∠ 1 =∠ 2 .(3 )∵ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ⊥ＢＣ ,∴ＢＤ =ＤＣ ,∠ 1 =∠ 2 .根据以上三个推理 ,灵活运用它们 ,是解题的关键 .例 1　一个等腰三角形底边上的高为 3ｃｍ ,那么它底求证 :ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ .(2 )当Ｐ不是边ＡＢ的中点时 ,ＰＡＰＢ=ＣＭＣＮ 是否仍然成立 ?请证明你的结论 .(北京市宣武区 2 0 0 1年初中升学统一考试题 )(1 )分析 :由于Ｐ是ＡＢ的中点 ,所以ＰＡ =ＰＢ ,从而 ＰＡＰＢ=1 .欲证 ＰＡＰＢ =ＣＭＣＮ,只需证 ＣＭＣＮ =1 ,即证ＣＭ =ＣＮ .连结ＰＣ ,因为ＡＣ =ＢＣ ,ＰＡ =ＰＢ ,根据“三线合一” ,得ＰＣ⊥ＡＢ ,ＰＣ平分∠ＡＣＢ ,即∠ＡＣＰ =∠ＢＣＰ .依题意得折痕ＭＮ⊥ＰＣ ,所以ＭＮ∥ＡＢ ,从而得∠ＣＭＮ=∠...     

一道赛题的多种解法

<正>图1赛题("《数学周报》杯"2013年全国初中数学竞赛试题)如图1,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为.图2解法1如图2,设点N是AC的中点,连接MN,则MN∥AB.又MF∥AD,所以∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN,所以FN=MN=12AB.因此FC=FN+NC=12AB+12AC=9.解法2如图3,过点C作AD的平行线交BA的延长线于E,延长MF交AE于点N.则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ACE,所以AE=AC=11.     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

椭圆和双曲线切线的一个性质

笔者发现椭圆和双曲线切线的一个新性质 ,并由此得到椭圆和双曲线切线的一种新颖作法 .定理 1　设 P为椭圆 x2a2 + y2b2 =1上任一点 ,过原点 O作焦半径 PF1的平行线交椭圆在 P点处的切线于 T,则 | OT| =a,且 TF2 ⊥PT.图 1　　　　　图 2证明　如图 1所示 ,延长 F1P,F2 T交于点 E,由 PF1∥ OT知 T为 EF2 的中点 ,故| ET| =| TF2 | ,由椭圆切线的几何性质 [1] 知∠ 1 =∠ 2 ,于是有∠ 3=∠ 2 ,在△ PEF2 中 ,PT为角平分线 .∴　 | PF2 || PE| =| F2 T|| ET| =1故 | PF2 | =| PE| .由此易知△ PF2 T≌△ PET,故 TF2 ⊥P…