《一道常见几何题的推广》的简证

<正>读了王敬如老师的《一道常见几何题的推广》(《中学生数学》2015,2(下),P14)很受启发.唯感觉推广1和推广2中的证明较为复杂,本文给出较简单的证明思路.原文大意已知:直线AB∥CD被直线EF所截.(1)如图1,∠BEF和∠EFD的角平分线交于点G.则∠G=90°;(2)推广1如图2,将(1)中∠BEF的角     

一道几何赛题的简证

<正>题目 (2013年北京市中学生数学竞赛复赛(高一))在△ABC中,已知∠BAC=40°,∠ABC=60°,D、E分别为边上AC、AB上的点,且使得∠CBD=40°,∠BCE=70°,F为BD与AC的交点,联结AF.证明:AF丄BC_[1].文[1]利用添辅助线的几何方法证明,十分繁琐,文[2]利用角元塞瓦定理,这个定理一般中学生不知道,比较冷僻,更谈不上应用.本文利用向量给出一种简单自然的证法,     

一道预赛题的简证及推广

2008年全国高中数学联赛江西省预赛题第14题为：设a,b,c为非负实数,满足bc＋ca＋ab=1．证明：b＋c^-1＋c＋a^-1＋a＋b^-1≥2^-5。     

一道几何题的变化和推广

初级中学数学课本《几何》第二册第39页有这样一道题目: 已知:△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线.求证:(1)BD=AD。(2)△ABC∽△BCD。(3)BC=(5~(1/2)-1)/2AB≈0.618AB。     

别证一道几何题

<正>《中学生数学》2014年5月下刊登了陈明儒老师的一文《巧用相似三角形解题》,文中利用构造相似三角形证明如下一道几何题:已知:在△ABC中,AB=2BC,∠B=2∠A,求证:△ABC是直角三角形.本文拟给出另一种证法,供同学们参考.     

一道希望杯赛题的推广与简证

题目设直角三角形两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,斜边上的高为h,则a+b和c+h的大小关系是()(A)a+bc+h.(C)a+b=c+h.(D)不能确定.文[1]首先证明了a+b相似文献   

一道经典几何题的证明和推广

<正>1问题呈现如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AD垂直于BM于点E,交BC于点D.求证:∠AMB=∠CMD.本题是梁绍鸿先生的名著《初等数学复习及研究(平面几何)》中,关于相等的证题术的第1个例题,梁先生在思索方法中指出:就图形来看,∠AMB与∠CMD所属的各对三角形(如△AMB与既不全等,也不相似,故应设法就原有图形添加辅助线构造全等三角形(或相似三角形).     

对一道国家队培训题的简证及推广

1问题 在非钝角△ABC中，证明不等式 （1-cos2A）（1-cos2B）/1-cos2C＋（1-cos2C）（1-cos2A）/1-cos2B＋（1-cos2B）（1-cos2C）/1-cos2A≥9/4.     

一道平面几何题的简证

题目~[1]如图,菱形ABCD,∠DAB=60°,E是AD上一点,CE交BA延长线于F,DF交BE延长线于M,求证:∠BMD=60°.证明连结DB,显然△CBF∽△EDC,于是BC/DE=BF/DC,注意到DC=BC=DB,有DB/DE=BF/DB,     

一道数列题的简证

在许多书刊中可以见到这样一道数列题: 已知正项数列{a_n}满足求证:对任意自然数n,都有a_n<1/n。 这道题曾作为1964年北京市中学生数学竞赛题,它有多种多样的数学归纳证法,下面     

一道擂台题的简证

<中学数学教学>2003年第3期有奖解题擂台题(61-1)为: 在△ABC中,求证:     

一道赛题的简证

1992年全国高中数学联赛第二试题第一题为:设A_1A_2A_3A_4为☉O的内接四边形,H_1H_2、H_3、H_4、依次为△A_2A_3A_4、△A_3A_4A_1、△A_1A_2A_4、△A_1A_2A_3的垂心。求证:H_1、H_2、H_3、A_4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置。     

一道三角函数题的简证

《数学通报》2 0 0 4年 1 1月号问题 1 52 5为 :△ ABC中 ,求证 :sin( A - 30°) + sin( B - 30°) + sin( C- 30°)≤ 32 .该刊 2 0 0 4年第 1 2期 P4 3上登载的证明中用到了四个三角恒等式 ,较繁琐 .这里 ,我们给出一个简单的证法 .证明　不妨设三内角 A、B、C中 C最小 ,则 0°0 ,于是sin( A - 30°) + sin( B- 30°) + sin( C- 30°)= 2 sin A + B - 6 0°2 cos A - B2 +　 sin( C - 30°) + sin30°- 12=2 sin1 2 0°- C2 cos A - B2 +2 sin C2 cos C - 6 0°2 - 12≤ 2 ( sin1 2 0°- C2 + s…     

一道课外几何题的另证

<正>《中学生数学》2018年5月下初三年级课外练习题第3题:如图1,设P,Q是线段BC上的两个点,且BP=CQ,A为BC外的一个动点,当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,判定△ABC的形状,并证明你的结论.参考答案给出的解法用到初中生并未学     

一道趣题的简证

本刊1993年第4期文《正方形中的一只蝴蝶》的结论如下: 正方形ABCD的边CD、DA、AB中点分别为O_1、O_2、O_3,连O_1O_2,O_1B,CO_2,CO_3,相交于O点,过O作EF∥CD分别交O_1O_2于H,O_3C于K,求证: