等腰三角形的综合研究(上)

<正>(一)基础知识提要有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰,第三边叫做底边.底边对的角叫做顶角,其余两个角叫做底角.一、等腰三角形的基本定理定理1等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称为,三角形中等边对等角,等角对等边).定理2等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线、高线和垂直平分线.即等腰三角形的内心、重心、垂心和外心在一条直线上,     

等腰三角形与等边三角形

<正>我们在学习了全等三角形和对称知识的基础上,进一步学习了等腰三角形的概念、性质及其判定定理,我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形的性质与判定可以根据等腰三角形的性质与判定类比得出.先将等腰三角形与等边三角形的基础知识进行简单的梳理:等腰三角形定义:有两边相等的三角形.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角").     

旋转中心与相似

<正>旋转的定义:把一个平面图形E绕着平面内某一点O转动一个角度,得到另一个图形F,这样的图形变换叫做旋转变换.其中,点O叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角.旋转的性质之一,旋转前、后的图形全相等,即对应边、对应角相等.提到旋转大家想到的一定是全等,其实旋转中也有相似,下面以三角形旋转为例,谈一谈旋转中的相似.△ABC以A为旋转中心,逆时针旋转α度,连接BD,CE.如图1,当α为任意角度时,     

等顶角、共顶角顶点的等腰三角形

<正>三角形是平面几何中的基本图形之一,等腰三角形又是特殊的三角形,如果两个等腰三角形顶角相等且共顶点,又能产生什么样的"火花"呢?问题一已知:C是线段AB所在平面内任意一点,分别以AC、BC为边,在AB同侧作等边三角形ACE,等边三角形BCD.如图1,当点C在线段AB上移动时,AD=BE是否总成立?证明你的结论.证明∵△ACE是等边三角形,∴AC=CE,∠ACE=60°.∵△BCD是等边三角形,∴BC=CD,∠BCD=60°.∴∠ACE=∠BCD.     

趣读畸形的等腰三角形

<正>如果将等腰三角形ABC的顶角顶点A分裂为两个点,记为A1、A2,连线A1A2与底边BC交于点D,仍保持两腰A1B和A2C相等,我们不妨把所得图形称为畸形的等腰三角形,如图1所示.特别地,若点D为底边BC的中点,则称A1A2D为畸形的等腰三角形的底边上的中线.若∠BA1D=∠CA2D,则称A1A2D为畸形的等腰三角形的顶角平分线.非常有趣的一个现象是等腰三角形的一些性质,也传给了畸形的等腰三角形.例如,等     

一线两等腰

<正>顶角是36°的等腰三角形具有一种特性,即经过它的某一顶点的射线可把它分成两个小等腰三角形.如图1,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,射线BD平分∠ABC,交AC于点D,此时△ABD和△BCD都是等腰三角形.如图2,很容易发现等腰直角三角形和含36°的等腰三角形都可以过顶角的顶点找到一条线将原三角形分割成两个新的等腰三角形.     

如何证明线段相等

在平面几何中 ,证明两条线段相等是一种最常见的题型 .常用的证明方法有 :利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形 (如平行四边形、等腰梯形等 )的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等 .本文仅谈谈如何利用三角形全等和等角对等边证明线段相等的问题 ,供参考 .(一 )利用三角形全等利用三角形全等是证明两条线段相等最常用的手段 .当要证明两条线段相等时 ,可以证明它们所在的三角形全等 .证明三角形全等最主要的方法有SAS、ASA、SSS以及HL .例 1　如图 ,已知AC⊥BD于C ,AC =BC ,BE⊥AD于E ,BE交AC于F …     

探寻角含半角问题的类型及求解路径

新课标指出,数学教学应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.“角含半角模型”是指过等腰三角形的顶点引两条射线,使这两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半的模型,解决的一般思路为:将半角两边的其中一个三角形通过旋转与其他图形拼到一起形成新的三角形,然后证明新三角形与半角形成的三角形全等,最后利用全等三角形的性质得到线段之间的数量关系,从而解决问题.     

妙用旋转巧解竞赛题

<正>旋转是几何中的一种图形变换,充分利用旋转的性质,将分散的已知条件和未知条件巧妙加以整合,可以在已知与未知之间架起一座桥梁,可使复杂问题简单化,使解题过程简洁.下面举例说明.例1(第十九届全国中小学生数学公开赛八年级人教版第24题)如图1,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的∠MDN,点M、N分别在AB、AC上,求△AMN的周长.     

等腰三角形性质与判定的应用

1.复习提问师:前面我们研究了等腰三角形,请大家回顾,等腰三角形有哪些性质?生:等腰三角形的两条腰相等,两个底角相等,顶角的平分线、底边上的高、中线互相重合.师:判定一个三角形是等腰三角形的方法有哪些?生:有两条边相等或有两个角相等的三角形是等腰三角形.     

一个基本图形的应用

<正>等腰三角形的两底角相等这一特征容易构造相似三角形.笔者试图将等腰三角形的一类典型相似情形及其应用进行说明,使读者通过相似图形之间的灵活转换,体会其中的"转化"思路.基本情形如图1-1,在等腰     

巧构等腰三角形,探寻三角形之间边的关系

<正>在初中几何证明中,我们常常会遇到一类这样的题,即两个三角形满足某些边、角条件,要证明这两个三角形之间的一些边相等或成比例.有时我们可以通过构造等腰三角形,来得到两个全等或相似的三角形,从而将问题转化.下面通过具体的例题加以说明.例1如图1,已知∠ABC=∠DBC,∠BAC+∠BDC=180°,求证:AC=DC.     

直角三角形斜边上中线性质的拓展和应用

<正>一、直角三角形斜边上中线的性质和拓展性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图1.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,D为AB的中点,则CD=1/2AB.拓展结论1直角三角形的三个顶点落在以斜边上的中点为圆心,中线长为半径的圆上.拓展结论 2直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形,它们的腰相等,面积也相等,而且它们的顶角互补,底角互余,一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍.二、性质及拓展结论的应用     

分类解析子母等腰三角形的顶角

<正>问题呈现如果一个等腰三角形的一条分角线把它分成两个小等腰三角形,那么就称这个等腰三角形为子母等腰三角形.试问子母等腰三角形的顶角是多少度?这个问题的解答首先考虑到顶角的分角线与其中一个底角的分角线分成小三角形两类.1.顶角分角线分成两个小等腰三角形如图1,已知△ABC,     

条件分散就“转”在一起

<正>旋转变换性质丰富,如对应边相等、对应角相等、对应点与旋转中心的连线形成的夹角等于旋转角、对应边所在的直线形成的夹角等于旋转角或等于旋转角的补角等.利用旋转过程中诸多的不变性就能实现边角转化,将分散的条件集中为我所用;等线段共点的几何证明题,就可以依据旋转图形的几何特征,利用旋转迎刃而解.举例说明,供同学们参考.     

关于线段相等问题的证明

平面几何中证明线段相等是我们经常遇见的问题之一 ,解决它的方法有很多 ,但归纳起来较为常见的方法主要有以下几种 :①在同一个三角形中利用等角对等边来证 .②在不同的三角形中利用全等三角形来证 .③利用角平分线的性质来证 .④利用线段的垂直平分线的性质来证 .⑤利用特殊四边形的性质来证 .⑥利用同圆或等圆中等弧 (弦心距 )对等弦来证 .⑦利用比例的性质来证 .⑧利用平行线等分线段定理及其推论来证 .⑨利用垂径定理及其推论来证 .⑩利用直角三角形斜边上的中线 ,或等腰三角形底边上的高和顶角的平分线的性质来证 .面对上述众多种方法 ,我们如何根据题目中所给的图文信息 ,选择恰当的方法来证两条线段相等呢 ?现举例给予说明 ,供读者参考 .例 1　如图 1,已知在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｄ是ＡＢ上一点 ,ＤＥ⊥ＢＣ ,Ｅ是垂足 ,ＥＤ的延长线交ＣＡ的延长线于点Ｆ .求证 :ＡＤ =ＡＦ .分析 :欲证ＡＤ =ＡＦ ,观察图形知ＡＤ ,ＡＦ是同一△ＡＤＦ的两边 ,即本题属于证同一三角形的两边相等的问题 ,故优先考虑利用“在同一三角形中 ,等角对等边”证之 ,从而把问题转化为证∠ＡＤＦ =∠Ｆ .因为从所给条件看 ...     

解答梯形问题的几种常用辅助线

在解答有关梯形的题目时 ,常常要添加辅助线 ,把梯形问题转化成三角形、平行四边形的问题来解 .解答梯形问题时 ,常引辅助线的方法有以下几种 :一、延长两腰 (使其相交 )得到两个相似三角形 ,如图 (一 ) .例 1　已知 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ∥ＣＤ ,∠Ａ =∠Ｂ ,求证 :ＡＤ =ＢＣ .分析 :结论要证两条线段相等 ,由题意知 ,此题不能用证两个三角形全等的方法来证明 .因此可考虑将结论中的两条线段集中到一个三角形中 .如图 ,延长ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｅ ,由∠Ａ =∠Ｂ知△ＥＡＢ是等腰三角形 ,又因为ＤＣ∥ＡＢ ,所以△ＥＤＣ也是等腰三角形 ,从…     

探究学习的有效铺垫

1 引言探究学习是学生学习数学的重要方式,它需要教师通过合适引导进行有效的铺垫.下面试通过几个教学片断的案例及分析说明如何对探究学习进行有效铺垫.2教学片断实录与点评2.1 等边三角形探究学习中的类比铺垫师:我们在研究等腰三角形时先研究了什么?生1:首先学习了等腰三角形的概念.师:然后接下来我们研究什么?生2:同一三角形中等边对等角,等角对等边师:等腰三角形还有哪些重要性质?生3:等腰三角形的三线合一,师:是哪三线合一?生3:等腰三角形的角平分线、中线、高线.师:是等腰三角形中的任意三线(前面不带条件)都可以吗?     

三棱锥顶点射影选择题

老:.三棱雄的1侧棱都相等;泛斜高都相等:召侧棱与底所成的角都相等;4侧棱与底面相邻的两棱成等角;S侧面与底面所成的乙而角怕等;6这个四面体中,有两组相分的伎互相垂直;7三侧面互相垂直;8三侧棱相等.三底棱也相等则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的(A)垂心;(B)外心;(C)内心;(D)中心.附上期本栏答案(D);2(C);3(A)C5三棱锥顶点射影选择题@李尧亮$江苏江阴一中~~     

精选“数学好问题”,驱动拓展活动课——从一节九年级活动课的片段说起

全等三角形是八年级上学期的学习内容,随着全等工具的运用,平面几何就可以更方便地展开对很多特殊图形及性质的探究与发现,比如,特殊三角形(等腰三角形、直角三角形),平行四边形的性质与判定的研究,九年级圆和相似的研究,等等.可见全等的学习是具有奠基和全局作用的,是一种“好的数学”(陈省身语).最近,在九年级学习圆和相似之后,笔者又安排了一节数学拓展活动课,引导学生运用圆、相似等知识继续研究与全等有关的条件,促进了学生对全等、圆、相似等平面几何知识的深刻理解.