蒙日圆以及应用

小学开始接触圆,初中学习圆并掌握圆的基本性质,但初中侧重从图形(几何法)上理解圆即定性研究.进入高中,在直角坐标系中即用坐标(代数法)来定量研究并得到圆的标准方程及一般方程.定性与定量有机结合、数与形完美互补,使得对圆的研究达到较为完善的程度.其实,圆有更多丰富内涵,比如阿波罗尼斯圆、蒙日圆,等等.然而不少数学教师对此并不熟悉,甚至根本不知道.本文浅谈蒙日圆相关定理、证明及应用,以求抛     

透过圆“看”圆锥曲线

圆和椭圆具有共性又有差异,挖掘它们的相似点有利于掌握圆锥曲线的相关性质,也有利于记忆这些性质.本文通过圆的性质,进行类比、联想、迁移、推广,得出垂直弦,中点弦及切线方程等.圆锥曲线的性质.     

蒙日圆的n维推广

本文使用矩阵的工具将平面蒙日圆的结论推广到n维欧式空间.     

蒙日圆的一种几何证法

<正>法国数学家蒙日(Monge,1746-1818)是画法几何的创始人.他发现:椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是一个圆,这个圆被称为蒙日圆.下面是我的推导过程.引理椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的两个焦点分别为F_1,F_2,直线l与椭圆相切于点P,     

蒙日圆的标准方程及正逆应用

<正>画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日研究发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.我们先来导出一般情形下蒙日圆的标准方程.蒙日圆的标准方程     

由圆生成圆锥曲线

众所周知,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹:当01时为双曲线.有趣的是,在圆中,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线,有如     

画法几何的缔造者蒙日——纪念蒙日诞生240周年

十七世纪,生产力的发展推动了自然科学和技术的发展,数学获得了明确的变量概念,建立了解析几何和微积分。数学史家,称十七世纪是“天才的世纪”。而十八世纪,在天文学、物理学以及各种应用科学的推动下,数学取得丰硕成果,产生许多新兴的专门学科。数学史家,     

“A=0”是不是圆锥曲线和圆相切的充要条件

1．引例 （2009南京师大《数学之友》增刊P144,T3）给定抛物线y^2=2x,设A（m,0）,m〉0,P是抛物线上的一点,且PA=d,试求d的最小值．     

7 直线和圆圆锥曲线

7 1　直线方程和简单的线性规划内容概述1 在平面直角坐标系中 ,常用的直线普通方程形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式Ax+By+C =0五种 ,求直线方程常用待定系数法 .2 过两点 (x1,y1)、(x2 ,y2 ) ,倾斜角为α(α ≠π2 )的直线的斜率可以用斜率公式k =tanα =y2 - y1x2 -x1求得 ,当α=π2 时 ,直线的斜率不存在 .3 若两条直线有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2 :y=k2 x+b2 时 ,则l1∥l2 　 　 k1=k2 ,b1≠b2 ;　l1⊥l2 　 　k1k2 =- 1;若两条直线至少有一条没有斜率时 ,它们的平行、垂直关系都容易根据它们的具体情况进行判断 .4 …     

有心圆锥曲线与圆的联系

定理1 如图1，设QQ’是圆x^2＋y^2=a^2的异于椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（n〉b〉0）长轴的一条直径，过直径端点Q，Q’分别作椭圆的切线，则切线的交点在椭圆的准线上。     

有心圆锥曲线与圆的联系

定理1如图1,设QQ′是圆x2 y2=a2的异于椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)长轴的一条直径,过直径端点Q,Q′分别作椭圆的切线,则切线的交点在椭圆的准线上.图1定理1图定理2从椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的两条准线上关于原点对称的两点E(a2c,y0),E′(-a2c,-y0)作椭圆的切线,则切线的交点在圆x2     

由圆生成三种圆锥曲线

众所周知 ,三种圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹 :当 0 1时为双曲线 ,有趣的是 ,在圆中 ,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线 ,有如下一个结论 .定理　给定圆O :x2 +y2 =r2 (r >0 ) ,A (a ,0 ) ,B (b ,0 ) (b≠0 ,b≠a)是x轴上的两个定点 ,P是圆O上的一个动点 ,Q是P在y轴上的射影 ,直线AP与BQ的交点为M ,则点M的轨迹 :( 1 )当 |a-b| =r时为抛物线 ;( 2 )当 |a -b| >r且b≠a2 -r22a 时为椭圆 ,当b =a…     

圆锥曲线定义中隐藏的相切圆问题

在圆锥曲线部分，散落着很多与圆的相切有关的问题，这些问题的解决对很多同学是个难题，然而细细品味，它们大多隐藏在圆锥曲线的定义之中，现总结如下几类．     

圆锥曲线准圆的一个性质及推广

准圆是圆锥曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹,由于是法国数学家Gaspard Monge首先发现的,所以又叫"蒙日圆".笔者研究发现,圆锥曲线的准圆有一个非常美妙的性质.     

画法几何之父—蒙日

画法几何学是一门真正体现几何精神的学科.画法几何学着眼于几何,以三维空间的几何性质为研究对象,采用投影面为参照坐标系,利用投影的方法论述用二维几何图形表达三维空间形象的作图方法和几何性质.     

圆的切线性质在圆锥曲线上的推广

在平面几何里,关于圆的切线有如下结论: 如图1,设AB为⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别交于点C、D.则 (1)OP2=CP·PD; (2)△CPO∽△OPD∽△COD; (3)OP.DC=DO2,CP·CD=CO2; (4)CO2+DO2=CD2. 本文拟将以上结论推广到圆锥曲线.     

圆的视角下对圆锥曲线定义的解读

圆是我们最熟悉的平面几何图形之一,它与椭圆、双曲线、抛物线同属于解析几何,它们之间必然存在着千丝万缕的联系.圆锥曲线的定义是高考重要考查形式之一,本文以2013年全国新课标卷中圆锥曲线问题为例,站在圆的视角下对圆锥曲线的定义进行再次解读,请同行指导.题目(2013年新课标1)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)略.