复数集内解无理方程浅说

在中学数学复习中遇有这样一道题目:方程(x+4)~(1/2)-(x-4)~(1/2)+(x-1)~(1/2)=0在实数集合中的解是什么?在复数集合中的解是什么? 有的复习资料中给出如下的解法.     

分式的约分

师:同学们学习过约分吗?谁会做下面的约分?要求说出约分的过程.(全班大部分学生举起手,指定生1回答,教师板书)2 3 32 32÷8 4 18 18÷6生1:6-8=6÷2-8÷2=3-4:32-24=32÷8-24÷8 =4-3:18-6=18÷6-6÷6=3-1=3.师:做得很好.请同学们回忆一下:什么叫做分数的约分?约分的目的是什么?进行约分的依据和方法又是什么?(教师依次提出上面的问题,学生纷纷举手回答对约分的方法有学生回答"约去公约数",有的纠正为"最大公约数".教师强调要点,并板书)     

对初二代数和教学的几点意見

現行初中代数課本上冊(1956年6月出版,余元庆等編)§22是討論“代数和”的概念。我个人认为教学这一章教材,首先必須注意三个問題,即:什么是“代数和”,引进“代数和”的基础;为什么要引进“代数和”的概念;关于“代数和”的式子的語言表达問題。下面拟就这三个問題进行討論,希望同志們批評指正。 1.什么是“代数和”,引进“代数和”概念的基础是什么?这个問題在課本中已讲得很清楚了。由有理数減法法則知道,因为減去一个数就等于加上和这个数相反的数,所以任意两个数的差都可以写成和的形式,例如:7-3可以写成7 (-3);8-(-5)可以写成 8 ( 5)。同样,含有加法和減法的一切式子,也都可以用和的形式表示出来。     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.计算12+(13+23)+(14+24+34)+(15+25+35+45)+……+(160+260+360+……+5960).(北京市海淀区世纪城三期时雨园11-2-8B(100097)胡怀志)2.已知n个数相加,它的第一数是-2,第二个数是2,第三个数是18,第四个数是52,第五个数是110,……,观察以上规律,试用最简代数式表示这n个数之和.(广东省汕头市龙湖区外砂镇林厝村同福里(515023)王植灿)3.已知2013=a!×b!×c!d!×e!×f!,这六个正整数满足:a>b>c,d>e>f,当a+d取最小值时,a-d=.(记号a!=1×2×3×…×a)     

一道数学题的多种解法

<正>解数学题可以锻炼一个人的观察能力、模仿能力、探究能力和思维方法.在很多时候,数学题目设置的非常精妙,这就要求我们自己去寻找解题突破口.如下面这道题,我们从不同的角度发现不同的解题方法.题目计算12+14+18+…+11024.解法一12+14+18+…+11024=(1-12)+(12-14)+(14-18)+…+(1512-11024)=1-11024=10231024.解法二设S=12+14+18+…+11024=12+122+123+…+1210,12S=14+18+116+…+12×1024=122+123+124+…+1211,     

2003年第五期初中数学问题解答

一、若a是自然数 ,且a4-4a3 +1 5a2 -3 0a +2 7的值是一个质数 ,这个质数是多少 ?解 :令f(a) =a4-4a3 +1 5a2 -3 0a +2 7.易得f( 0 )=2 7非质数 ,f( 1 ) =9非质数 ,f( 2 ) =1 1为质数 ,所以这个质数是 1 1 .答 :略 .二、若a=( 12 ) 14 ,b =( 13 ) 12 ,c =( 14) 13 ,试比较a ,b,c的大小 .解 :∵a =412 =12 12 3 =12 18,b=13 =12 13 6=12 172 9,c=3 14=12 144=12 12 5 6.又∵ 172 9<12 5 6<18,∴b相似文献   

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.(1)把下列算式中的9个汉字换成1⁹这九个自然数,并使算式成立.我的×中国梦=祖国富强.(2)求值:A=(19这九个自然数,并使算式成立.我的×中国梦=祖国富强.(2)求值:A=(1²+22+2²)/(1×2)+(22)/(1×2)+(2²+32+3²)/(2×3)+(32)/(2×3)+(3²+4)2+4)²/(3×4)+…+(10072/(3×4)+…+(1007²+10082+1008²)/(1007×1008)+(10082)/(1007×1008)+(1008²+10092+1009²)/(1008×1009).(北京市海淀区世纪城三期春荫园11号楼2单元1C(100097)胡怀志)2.已知两个数a,b均大于2,试证a+b与a·b的大小.     

巧解妙证举隅

数学题的巧解妙证是对常规解法而言的。对于某些表面上看感到十分辣手的数学题,若能充分应用各种数学知识,打破常规,广开思路,别出心裁,巧辟捷径,那么就能使问题化难为易,迎刃而解。下面从较常用的几个方面举例说明。一、巧用恒等式例1 解方程 (x-1)~3+(3-2x)~3+(x-2)~3=0。解:观察得(x-1)+(3-2X)+(x-2)=0 联想:若a+b+c=0,则a~3+b~3+c~3=3abc 于是有3(x-1)(3-2x)(x-2)=0 ∴原方程的解为x_1=1,x_2=3/2,x_3=2。     

一種等差級數的奇巧組合

一.引言作者曾有一篇“一種平方數的性質”刊登在科學大衆一九五二年四月號中,在那篇裏,首先說明平方数2025和3025都具有下面的奇巧性質:2025=(20+25)~2={(2+4+6+8)+(1+3+5+7+9)}~2=(1+2+3+…+9)~25025=(30+25)~2={(2+4+6+8+10)+(1+3+5+7+9)}~2=(1+2+5+…+10)~2 從上面我們可以看出,20與25之和及30     

为什么有不同的结果

问题:已知数列{an}满足a1=51,an+an+1=54n+1,求lni→m∞(a1+a2+a3+…+an)的值.(2004年高考湖南第8题)方法(1):a1+a2+a3+…+an+…=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…=542+544+546+…=1-542512=61.方法(2):a1+a2+a3+…+an+…=21[a1+(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+(a4+a5)+…]=2151+542+543+543+…=51方法(3):由an+an+1=54n+1,an+1+an+2=54n+2,两式相减得,an-an+2=51n6+2=51n6+2=1256·51n,利用a1-a3=1256·51,a3-a5=1265·513,a5-a7=1256·515,…,a2n-1-a2n+1=1256·521n-1,以上n个等式全部相加得,a1-a2n+1=215615+513+…+521n-1=1251-512n,所以a2n+1=115…     

新题征展(132)

A题组新编1.设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知cos(A-C) +cosB=t(t是已知的正数),根据下列条件分别求出角B的大小:(1)a,b,c成等比数列;(2)a,b,c成等差数列.2.(1)求数列{2(n-1)/x(2n-1)+1}的前n项和Sn;(3n+1)+(3n+4)+(3(2)求数列(3n-2)+(3n+1)+(3n+4)+(3n+7)/(3n-2)(3n+1)(3n+4)(3n+7)的前n项和Tn.3.(1)证明:2(2n)-1 (n ∈ N*)至少有n个不同的素因数;(2)求C12n,C32n,C52n,…,C2n-12n的最大公约数.B藏题新掘4.已知曲线C:x｜x｜/a2-y｜y｜/b2=1,下列叙述中错误的是A.垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点B.直线y=kx +m(后,m∈R)与曲线C最多有三个交点C.曲线C关于直线y=-x对称D.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)为曲线C上任意两点,则有(y1-y2)/(x1-x2) ＞05.(二项式定理)在(x+y)n的展开式中,若第七项系数最大,则n的值可能等于____.     

一个不等式的最佳系数

文[1]给出了以下不等式: 　　若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,t≥1,则(ta2+b)/(b+c)+(tb2+c)/(c+a)+(tc2+a)/(a+b)≥(t+3)/(2).(1) 　　文[2]改进了(1)式中的t的取值范围,指出只要t≥(1)/(4),(1)式就成立.……     

一题多解的又一例证

椭圆x23 +y2 =1上的哪个点离直线x +y-4=0最远 ?哪点离它最近 ?该题是有关椭圆与直线位置关系的一个常见题目 ,不难求解 .但仔细分析会发现该题有多种解法 ,现列举五种如下 :首先画出图形 :[法一 ]　设点M(x ,y)是椭圆上的任一点 ,则它到直线x+y - 4=0的距离为 :d=｜x+y- 4｜2= 22 ｜x+y - 4｜ ,而点M(x ,y)在椭圆上 ,所以 :y=± 13 3-x2故 :d=22 ｜x± 13 3-x2 - 4｜ .令e=x± 13 3-x2 ,整理得 :4x2 - 6ex+ 3(e2 - 1 ) =0 .因其判别式必大于零 ,即 :( - 6e) 2 + 4 × 4× 3(e2 - 1 ) ≥ 0 ,解之得 :- 2 ≤e≤ 2 .很明显当e=2时 ,d最小 ;当…     

因式分解法的解题功能

因式分解是初中数学的重要内容,它在解题中有广泛的应用,若巧妙地应用它解题,常常能收到化繁为简,化难为易的功效.下面分类举例说明,供读者参考.一.用于求代数式的值例1　已知ｘ3+ｘ2+ｘ+1=0,那么1+ｘ+ｘ2+ｘ3+…ｘ1995=.(1995年“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)解法一:分解代数式　　1+ｘ+ｘ2+ｘ3+…+ｘ1995=(1+ｘ+ｘ2+ｘ3)+(ｘ4+ｘ5+ｘ6+ｘ7)+…+(ｘ1992+ｘ1993+ｘ1994+ｘ1995)=(1+ｘ+ｘ2+ｘ3)+ｘ4(1+ｘ+ｘ2+ｘ3)+…+ｘ1992(1+ｘ+ｘ2+ｘ3)=(1+ｘ+ｘ2+ｘ3)(1+ｘ4+ｘ8+…+ｘ1992)=0.解法二:分解已知条件　ｘ3+ｘ2+ｘ+1=0,　ｘ2(ｘ+1)+(ｘ+1)=0…     

一对含参数的三角形不等式

设△ABC的内切圆半径为r,三条高线为h_a,h_b,h_c,,则 (1/h_a-2r)+(1/h_b-2r)+(1/h_c-2r)≥3/r(1) 这是一个已知的不等式,见[1]中不等式6.21(P76).它可推广为含参数的情形:当k>0时有(1/h_a+kr)+(1/h_b+kr)+(1/h_c+kr)≤3/(k+r)r当-2≤k<0时不等号反向.     

关于二次最簡根式的問題

給出几个二次根式的一个多項式,例如3~(1/3)-2~(1/2)+(1/7)5~(1/5)+(4/3)13~(1/13)-6(11~(1/11+9))在中学教材里,认为它已不能进一步簡化。但我們可以問:为什么不能再行簡化?比方說,是否存在有理数a及自然数k使上式变为k~(1/a)?对于这个問題,在中学教材里,还不能予以简单地肯定或否定,为此我們来研究二次最簡根式的綫性关系,順便也指明二次最簡根式的另一种性貭。值     

对一类最值问题的深入思考

<正>马上轮到我做数学"课前5分钟"了,讲些什么内容好呢?我想起了初中时做过的一道题目:问题1已知02+1)2+1)^(1/2)+(x(1/2)+(x²-6x+18)2-6x+18)^(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x²+12+1²)2)^(1/2)+((3-x)(1/2)+((3-x)²+32+3²)2)^(1/2),因为0相似文献   

平方根近似值的一种求法

我们知道 9=3 ,2 5 =5 ,… ,但如何求13的值呢 ?同学们也许会说 :用查平方根表或用计算器即可得出 ,用笔算求法也可得出其近似值 ,当然 ,这些都是十分实用的 .下面我们来介绍另一种实用的方法 .假定我们要求 13近似值 .因为 3 2 =9,42=16,据此知道 ,13比 3大而比 4小 ,设 13=3 +ｂ(ｂ为一个正的纯小数 ) ,两边平方得13 =9+ 6ｂ +ｂ2 .因ｂ2 是一个比ｂ小得多的正纯小数 ,舍去ｂ2 ,得到 13 =9+ 6ｂ ,ｂ =13 -96=46=23 ≈ 0 .67.于是得 13的一个近似值为 3 .67.若我们要得到 13更好的近似值 ,那么 ,可以以第一次得到的近似值为基础 ,设 13 =3 …     

这种解法对吗?

在一堂“三角函数最值问题”的习题课上 ,下面这道例题的解法引起了学生的争议 .例题　求函数 y=3sinx -1sinx + 2 的值域 .学生S1 :给出如下解法 :由已知式得　sinx=2 y + 13 -y,由 |sinx |≤ 1 2 y + 13 -y ≤ 1 2 y + 13 -y2 ≤ 1 3 y2 + 10 y-8≤ 0 ,解得-4≤y≤23 .这种利用三角函数有界性的解法得到了多数同学的赞同 .但学生S2 却发表了新的见解 ,“老师 ,我有更简便的解法 ,把sinx =1代入已知式得 ymax=23 ,把sinx =-1代入得 ymin=-4 .∴y∈ [-4 ,23 ] .”立即有几位同学对学生S2 的解法表示反对 .学生S3:你怎么知道sinx =1时 ,…     

求值问题巧解

一些求值问题设字母替换来解,方法别具一格。今举例给予说明。例1 求(2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2)的值。解:设x=(2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2)则 x~2=((2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2))~2=2+3~(1/2)+2(((2+3~(1/2))((2-3~(1/2)))~(1/2)+2-3~(1/2) =4+2(2~2-(3~(1/2))~2)=6 ∴x=±6~(1/2) (-(6~(1/2))不合题意舍去) 因此,原式=6~(1/2)。例2 求 (4-3((4-3((4-3)~(1/3))~(1/3)))~(1/3)…的值。解:设x=(4-3((4-3((4-3)~(1/3))~(1/3)))~(1/3) 则 x~3=4-3((4-3((4-3~(1/3))))~(1/3)…即 x~3=4-3x。∴x=1注:例2应该先证其存在性之后才能设,这