“圆”折叠问题中的常规辅助线及变式探究

<正>"圆"的折叠问题是轴对称图形模型的衍生品,问题解决往往需要添加辅助线.本文通过一例常规的圆的折叠问题,寻根问源,巧添辅助线提炼图形基本结构,形成问题解决的通性通法,供大家参考.1问题如图1,已知CB是☉O的一条弦,点A是圆上任意一点,连结AB,把■沿AB翻折交弦BC于点D.分析本题的条件是圆中一类常规的图形翻折问题,是对轴对称知识应用的一种考查形式,     

折叠圆引出的问题

<正>以圆的折叠为支架设计的考题涉及的知识点多、综合性强,能有效考查识图能力和实践操作能力．圆中的折叠问题,实质上还是轴对称,因此在解圆中的折叠问题时同样要紧紧抓住轴对称的特征:折叠前后的图形全等,对应部分相等,以及对应点的连线段被对称轴垂直平分．例1如下图,☉O的直径AB=4,AC是弦,沿AC折叠劣弧AC,记折叠后的劣弧为弧AmC.     

折叠圆 等腰现——例谈圆的一个折叠模型及其应用

<正>图形的折叠问题多年来一直是中考的热点．这类问题涉及的知识点多,综合性强,是培养同学们识图能力和实践操作能力的一条有效途径．这类问题对同学们识图、“解图”和综合运用有关知识解决问题的能力的要求很高,同学们往往难以把握,因此折叠问题成为学习的难点．而以圆为背景的折叠问题由于条件更为隐蔽和灵活,更是难点中的难点．如何实现难点突破呢?借助圆折叠的一个模型,很多常见折叠问题会迎刃而解．     

活用课本资源 探究折叠问题

<正>折叠问题是立体几何中的一类典型问题,问题解决过程中体现出直观想象的数学核心素养.经过折叠,把平面图形变为空间图形,解答折叠问题的关键是充分利用不变量和不变关系,即抓住不变的线线位置关系、不变的长度和角度数量关系.如果折叠后的空间图形能够找到基本立体图形(如长方体,正方体)模型,那么可把复杂的立体图形变得直观,找到解决问题的突破口.下面以一道课本习题为例,来探讨解决有关折叠问题的基本思想方法,体会立体几何的研究方法.     

例析中考几何折叠问题

为了考查动手操作能力、空间想象能力和数形结合的数学思想方法,近几年的各地中考中常出现几何折叠问题,它源于课本而又活于课本,高于课本．常见的有矩形的折叠、三角形的折叠、圆的折叠等．几何折叠问题的实质是轴对称图形性质的应用．解题的关键是根据轴对称的特殊性质,搞清折叠前后哪些量变了,哪些量没有变,折叠后又有哪     

有“圆”千里来相会

<正>2021年全国各地的中考数学试卷出现了这样一类题:题干条件中明明没有提及任何与"圆"相关的字眼,但在解题过程中构造辅助圆往往可以化难为易,起到事半功倍的良好效果.我们把这样一类问题称之为"隐圆"问题.1 "隐圆"模型有"圆"千里来相会,"隐圆"问题的突破口就在于根据已知条件构造出解题所需的"辅助圆".有的"隐圆"问题形式虽然复杂,但基本都是在以下四种基本模型(如图1所示)的基础上变化而成的.     

隐圆破解最值问题

<正>最值问题的必要条件是至少有一个动点,因为是动态问题,所以才会有最值.有这样一类最值问题,动点的运动轨迹是个圆,题目中很少出现这个圆,这种圆我们称之为——隐圆.在解决许多几何最值问题时,往往把这个隐圆画出来可以使问题变得更简单.如图1,点A为圆外一点,在圆上找一点P使得PA最小,只需连接AO交圆O于点P即可,就此探究以下几个问题.     

一道解析几何最值题的多视角研究

解析几何中的最值问题是学生解题中经常遇到的一类问题,它牵涉到很多代数与几何的方法,本文拟从课本上一道例题出发,多角度研究一类最值问题.问题1设P(x,y)是圆x~2+y~2=4上的动点,F(1,0),研究|PF|的最值.分析该问题是课本上一道例题,研究定曲线(圆)上的动点到一个定点的距离的最值问题.     

构造圆的方法例析

数学中常会遇到一类问题,可以将它们转化到圆中求解,我们把这种方法称为圆化法.     

看似无圆 实则有圆

<正>有一类题目条件中没有直接给出圆的相关信息,需要通过对条件进行表征而得出一个圆(或圆的方程),从而最终可以用圆的知识来解决,这类问题我们把它称为"隐形圆"问题.如何发现隐形圆(或圆的方程)是解决这类问题的关键,针对此类问题,让学生熟悉生成"隐形圆"的一些常见条件,对迅速找到解题的突破口是很有帮助的.本文通过剖析近年来的一些高考题和模拟题,谈谈发现"隐形圆"的常用策略,期望对读者有所启发和帮助.     

巧用辅助圆解决几何综合问题

<正>解决几何综合问题是初等数学中重要的考察内容,也是中考数学的热点.在几何综合问题中,我们常常需要挖掘图形中的隐含信息来解决问题.通过对最近几年中考几何综合题的归类总结发现,有一类几何综合题如果运用圆的知识解决会比较方便,即把圆做为一个问题解决的"工具".但题目中并没有明示圆这一条件,也就要我们通过分析条件,挖掘出隐含的圆,然后借助于圆的性质解决问题.     

一类具有边界摄动的非线性问题的渐近解及其可解性条件

利用摄动理论,讨论一类具有边界摄动的非线性问题.在适当的条件下,得出了这类问题的渐近解及其可解性条件,推广了一类近乎圆膜的振动问题所得的结果.     

几何作图

1.问题的源起在中学平面几何学中,主要有两类问题:一类是讨论几何图形的性质,如三角形与圆的各     

求圆的切线方程的方法

<正>过一点求圆的切线问题不仅是高考的热点,更是直线与圆这一章的难点.熟练掌握过一点的圆的切线的处理方法,有助于学生对直线与圆的方程知识的深入理解,以及对直线与圆的综合问题的顺利解决,进而开拓学生视野,锻炼学生思维.近日,在引导学生复习直线与圆的方程时,一道求解圆的切线的问题引起笔者的思考,下面通过对这一道题的探索谈谈解决这一类问题的处理策略.一、问题的呈现及解决     

锐角三角函数与圆联袂出的一类中考题赏析

锐角三角函数是初中数学中的一个重要内容,也是历年中考的热点之一.近几年各省市的中考试题中出现了一种崭新的形式——锐角三角函数与圆联袂出的一类几何题.这类试题不仅应用到圆的相关知识解决问题,而且还丰富了解决圆问题的方法与技巧,还对     

折叠与剪拼盘点

折叠与剪拼是近几年中考的热点．其题型新颖,构思巧妙,灵活多样,具有较强的可操作性．解这一类问题,首先要求同学们亲自折叠、剪拼,在仔细观察折叠、剪拼的变化过程的基础上,再经过抽象思维,画出图形,最后根据图形的特点和性质,经过推理、计算,     

与圆有关的多解问题分类解析

问题的多解性总是数学教学中的一个重点和难点 .问题多解性的教学有利于培养学生思维的广阔性和慎密性 ,它是培养学生创新意识的好素材 .因此 ,近几年来全国各地中考数学试题中常常出现这一类试题 ,成为中考命题的热点问题之一 .平面几何中圆的一章是多解问题的重要内容之一 .我们在进行圆这章内容的教学时 ,有意识地加强相关的多解问题的训练 ,是很有必要的 .本文以课本中的例、习题的改编题及近几年来全国各地的中考题为例 ,将与圆有关的多解性问题分类举例说明 .以飨读者 .一、由点与圆的位置关系不定而产生的多解由于点与圆有三种位置关…     

找出隐藏的圆巧解中考试题

作辅助线解几何题难,在中考时作辅助圆解题更是难上加难.近年中考就出现了一类作辅助圆的试题,它要求考生在图形中去发现隐藏的圆,也只有通过把隐藏的圆(或圆的一部分)构造出来,问题才得以解决,并且能收到事半功倍的奇效.本文结合2010年中考题列举几例,以飨读者.     

一个容易忽视的问题

在有关相交两圆的计算题中,有一类题看起来不难,可是做起来却容易出问题.     

巧用圆的定义解几何题

理解和掌握概念,是学好数学的重要环节之一.圆的定义就是一个很好的例子.当题目的条件中给出了有公共端点的等长线段时,巧用圆的定义,以公共端点为圆心,以等长线段为半径作圆便可解决一类几何题.这样做不仅可以加深对概念的理解和掌握,提高运用概念分析、解决问题的能力,而且可以开阔分析问题的思路简化解题过程.举例如下: