圆锥曲线的极点与极线——2020高考北京卷解析试题背景探究

<正>极点与极线问题是解析几何中的热门问题,有许多定值、定点与三点共线等问题源于椭圆的极点极线性质.圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多,原因有二:其一,有高等数学背景,结论非常完美;其二,运用高中知识解决问题,能够考查学生思维、计算等多方面能力.笔者通过对2020高考北京卷解析试题背景分析,发现了极点极线的一条新性质.     

极点极线背景下的高考试题

极点极线是高等几何中的概念,在二次曲线理论中十分重要,二次曲线的大部分重要性质均与之有关．在近几年的高考中,许多省市在极点极线背景下设计出了新颖的试题,考查学生对数学知识内涵的理解．本文中的二次曲线均指非退化的曲线．     

圆锥曲线的极点、极线及其应用

所谓圆锥曲线的极点极线就是:已知圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是该圆锥曲线的一对极点和极线.这一概念性质深深地隐含在高中数学教材中,并多次在高考试题中直接或间接地表现出来.1极点、极线和该圆锥曲线的位置关系极点、极线和该圆锥曲线反映的是平面上的点、     

貌似差异质不同 实乃同根并蒂莲

通过对2020年全国高考数学Ⅰ卷理科20题和北京卷20题的探究,发现两道试题同根同源.实乃逆向考查,蕴涵着极点与极线的相关性质,并将它们拓展到椭圆的一般情形及其他圆锥曲线.     

射影几何背景下的解析几何——以2022全国高考乙卷的解析几何试题为例

随着2022年高考的落幕,基于浙江高考于明年将进入全国卷的范围中,本文对2022年全国乙卷的解析几何试题进行推广,同时借助射影几何中极点极线,调和点列相关性质对试题作了变式及方法迁移.     

高观点下高中解析几何问题研究

<正>1问题的提出在日常的教学中,本人发现解析几何是同学们亟待解决的难点,很多同学简单的认为解析几何问题就是计算,诚然解析几何问题承载着考察同学们计算能力的任务,但解析几何问题绝不是简单的"一算了之".本人在研究2021年北京各地区高三一模试题后发现许多问题的设计背景都蕴含着高等几何中的极点极线知识,而且这些问题的考察点往往与定值有关,所以在日常的学习活动中我们需要适当涉猎一些较为基础的高等数学知识使得我们能够站位足够高从而俯瞰试题.     

与圆锥曲线极点和极线有关的一个等角定理

文[1]提到了圆锥曲线的极点和极线,文[2]研究了与圆锥曲线极点和极线有关的几个性质,笔者受此启发,在解题中发现了一个与圆锥曲线极点和极线有关的一个等角性质,现叙述如下．     

点的极径在圆锥曲线中的运用──从一道高考题谈起

点的极径在圆锥曲线中的运用──从一道高考题谈起梁克强（湖北京山一中）１９９１年高考数学试题中，有这样一道选择题：例１如果圆锥曲线的极坐标方程为ｐ分析：圆锥曲线统一的极坐标方程，是建立在以一个焦点为极点的极坐标系中，因此有一个焦点就是极点（０，０），可...     

与圆锥曲线极点和极线有关的几个性质

文[1]提到了圆锥曲线的极点和极线,文[2]研究了圆锥曲线极线上任一点的一个有趣性质,笔者受此启发,经过研究,发现了几个与圆锥曲线的极点和极线有关的性质,并根据这些性质的推论可得到用尺规法作过圆锥曲线上一点的切线的一种方法,现叙述如下,供同行参考．     

点和它的对偶直线在解题中的妙用

<正>1问题的提出极点极线(特殊的点和直线的对偶关系)是高等几何的概念,二次曲线的好多性质都与它有关,许多考题的设计也都来源于此,虽然以前也有好多论述,但好多师生并不熟悉,本文再次加以总结,希望对读者有所帮助.文[1]论证了圆锥曲线内的点和它的对偶直线的存在性和对应关系,得到了关于对偶点     

巧用平面几何知识证明椭圆的几何性质

圆锥曲线的几何性质深刻地揭示了圆锥曲线的本质特征,是圆锥曲线基本性质的进一步发展.而圆锥曲线几何性质的证明,又能很好地体现解析几何的思想与方法.因此,以圆锥曲线几何性质为背景的系列问题成为近几年高考试题的热点.本文介绍如何运用平面几何的知识与方法巧妙证明椭圆(与焦点、准线有关)的几何性质,既能加深我们对椭圆第一、第二定义的理解;又能大大简化推理过程、优化证明思路.……     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

对一道三点共线模考试题的探究

将一道三点共线模考试题推广到一般椭圆和双曲线、抛物线中,经过探究得到圆锥曲线的一个与极点、极线有关的统一性质.     

2013年浙江省高考文科压轴题的解法探究

“解析几何”是高考试题中的一个必考内容,也是高考复习的重点和难点.从近几年的高考试题来看,各地都越来越突出对解析几何本质的考查(即用代数的方法解决几何问题),重点考查圆锥曲线的基本量与几何性质,关注学生的思维能力、运算能力、图形分析和处理能力,以及学生的综合应用数学知识的能力,考查的形式也呈现出新的背景、新的亮点.笔者以参加基本功比赛为契机,对2013年浙江文科卷的第22题进行了深入的探究.     

高观点下圆锥曲线一组性质的统一北大核心

文[1]得到与圆锥曲线极点和极线有关的一个“等角定理”．     

对一道高考试题的挖掘与推广

对高考试题的研究一直是高中数学教学必不可少的一部分,挖掘试题的背景和研究命题的规律,对于高考数学总复习至关重要.笔者通过对2021年一道高考试题的探究,揭示圆锥曲线的二级结论切点弦背景,同时将平面解析几何与函数、导数相结合,得出圆锥曲线切点三角形面积的相关结论.教师在高考数学总复习中要从整体上把握高中数学,将相关联的知识整合起来进行单元教学,发展学生的数学核心素养和关键能力.     

福建省高等数学背景的高考试题分析

所谓高等数学背景的高考试题是指通过特殊化、初等化、仿造大学高等数学概念、性质、运算等方式,沟通起高等数学与高中数学的联系,实现大学课程内容下放到高考中的试题.对于高中生而言,概念、性质都是全新的,因此这类试题能起到考查学生学生阅读、类比、信息迁移等能力的作用.     

一道2022年北京高考数学试题的分析与推广

通过对2022年全国高考数学试卷中的分析,得出圆锥曲线在考试中的重要地位,以北京卷中的第19题为例,进行试题分析,并给出一般化结论与推广.     

2008年高考圆锥曲线命题特点分析

圆锥曲线是平面几何的核心内容,也是学习高等数学的基础,当然是高考命题的热点之一,近几年高考数学对圆锥曲线的考查一直占有较大的比例,远远超过了其它各章,而且题型、题量、难度均保持相对稳定,尤其是"向量"和"导数"进入高中数学教材以后,更是拓宽了高考在圆锥曲线上的命题空间,不仅题型在变化,而且解决问题的方法也在不断创新,由于圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点,因此自然就成为联系多项内容的重要媒介,它常与方程、不等式、数列、平面向量、导数等内容交叉渗透,自然地交汇在一起,使数学问题的解题目标与已知条件之间的跨度增大,题型新颖别致、自然流畅,内容综合、解法灵活、思维抽象,所以它既是高考的热点题型,又是颇难解决的重点问题,以圆锥曲线交叉汇合处为主干,构筑成知识网络型圆锥曲线问题,在高考试题中出现的频率相当高,占据着令人瞩目的地位,以下对2008年全国高考圆锥曲线的命题规律、试题特点进行分析,并提出笔者的看法,供各位老师教学和复习时参考.……     

2015年高考北京文科卷第20题的探究历程

每年高考都会留下一份十分宝贵的资源——数学高考试卷,其中许多试题内涵丰富、立意新颖、视角独特,彰显着数学的永恒魅力,也为师生的学习和探究提供了帮助.笔者特别关注了2015年高考北京文科卷第20题,本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质、直线方程及直线与直线的位置关系,考查用代数、几何方法研究圆锥曲线的性质和数形结合思想,考查学生的运算能力和推理能力,笔者对此作了一番探究.