托勒密定理纵横谈

托勒密(Ptojemy)是公元三世纪古希腊数学家.他发现:"圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和".这个命题通常称为"托勒密定理".此定理应用极广,某些复杂的几何命题,用它来证明,简捷清新.本文介绍此定理的多种证法及其应用,以供参考.     

二弦定理及应用

<正>笔者发现圆中互不垂直的两弦有如下美妙的结论,该结论对解决一些四点共圆式多点共圆问题提供一种方法.1.二弦定理及逆定理二弦定理圆中互不垂直的两弦端点在彼此上的射影共圆.证明如图1,设AB、CD是⊙O中互不     

用“四点共圆”解题几例

<正>"在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等",这条重要的定理为我们提供了证明线段相等或角相等的一种思路和方法.鉴于此,对于满足四点共圆条件的四边形,如果我们能构造出它的辅助圆,就可以利用前面提到的思路和方法,证明线段相等或角相等.四点共圆判定定理1如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.     

曲线系方程活用一例

题如图，已知抛物线y2＝2Px（P＞0），过焦点F任作两条亘相垂直的直线与抛物线分别相死于两点A、B和C、D；问这四点能否共圆？若共圆，求出所共圆的方程．解此题的常规思路是，先将两直线方程用点斜式设出，然后为别与抛物线方程联立求得A、B及C、D的坐标，看这四点能否共圆．用这种方法求解是难以方通的．但若用直线的参数历程及韦这定理，或用抛物线的焦半径公式及韦这定理，都能表示出圆的相交弦定理里所需的两积[AF]·[FB]与[CF]·[FD]，从而说明四点能否共圆及共圆的条件，再由共圆的条件即可求得所共圆的方程．这两种方法仍不…     

椭圆中的托勒密定理

著名的托勒密（Ptolemy）定理“圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和”有多种推广．但笔者未见在椭圆中的推广．其实,Ptolemy定理椭圆中也有．     

巧用托勒密定理解代数题

托勒密定理:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积,由于这个定理所揭示的是圆内接四边形的边与对角线的特定关系,因而在证明与圆有关的线段关系的几何命题中有着独特的作用,若     

圆锥曲线中关于四点共圆的几个结论

四点共圆在平面几何里是研究的重点之一，但在平面解析几何里，较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题．笔者经过研究后发现，在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理．下面列出其中几个，并给出证明．     

托勒密定理与西姆松线定理的等价性及折射定律的一个初等证明

托勒密定理与西姆松线定理是两个有名的经典定理,蔡聪明在[1]中对托勒密定理及其有关性质做了细致的综述,但从西姆松线定理与托勒密定理的关系入手,更容易看清这两个经典定理的实质.     

一道试题的探究

一、试题展示2014年泰州市高三第三次调研测试的第14题是：在△ABC中,BC=√2,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧）.当∠C变化时,线段CD长的最大值为______.二、背景探究本题的背景是托勒密定理：凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得.     

一道试题的探究

<正>一、试题展示2014年泰州市高三第三次调研测试的第14题是:在△ABC中,BC=2(1/2),AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时,线段CD长的最大值为.二、背景探究本题的背景是托勒密定理:凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得.     

托勒密定理的解题功能

圆内接四边形两双对边乘积的和等于其对角线的乘积。这是公元二世纪希腊数学家兼星学家托勒密(Ptolemy)发现的一条美妙的定理,即托勒密定理(以下简称托氏定理)。一千多年来,经过数学工作者们的不断攻究、实践、探索,使得定理的应用遍及中学数学的各个领域,那么托氏定理在解题中为什么能产生如此之功力,发挥如此之效能呢?这里仅就其功能的几个方面作一粗浅的探索,不妥之处,恭请同仁指正。     

三角形的十八点共圆定理

在近代欧氏几何关于三角形的多点共圆定理中,三角形的九点圆定理大概算是人们最熟悉的了.而在1901年由杜洛斯-凡利(Droz-Farny)发现的三角形十二点共圆定理[1],则可能并不为人们所熟悉.     

一道俄罗斯“四点共圆”试题的探究

<正>"四点共圆"问题常出现在中高考问题中,知道"圆内接四边形的对角互补"便可证得这个四边形的四个顶点共圆.本文源自俄罗斯国家统一考试专业水平数学试卷,是一道关于四点共圆问题的平面几何题.俄罗斯考试中的平面几何有什么特殊之处?俄罗斯的"四点共圆"试题有什么特点?我们不妨做些简单地分析.     

圆锥曲线上四点共圆的充要条件的行列式证明

本文是[1]的继续.在[1]中,我们利用四阶行列式的特征证明了下面的定理. 定理 设Ai(acosθi,bsinθi)(i=1,2,3,4;0≤θi<2π)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(其中a≠b)上互异四点,则四点共圆的充要条件是θ1+θ2+θ3+θ4=2π,4π,6π.     

巧借四点共圆妙证蝴蝶定理

蝴蝶定理确实是一道有意思的经典题,它曾使一代代的几何爱好者着迷,追逐纯几何证法更是爱好者的目标．笔者巧借四点共圆妙证蝴蝶定理,得出两种纯几何新证供同行们参考．     

掌握四点共圆简解中考题

<正>近两年,中考题中的直线型问题中出现了很多四点共圆问题,有些省市在标准答案中直接用了四点共圆证明,在阅卷中,对于学生用四点共圆解题表示赞赏,说明四点共圆在中考的几何解题中是十分重要的.在初中阶段,判定四点共圆的方法有三种,如图1所示:     

“四点共圆”教学实录

课题:四点共圆教学要求:1.使学生牢固掌握几种判定四点共圆的方法,并能运用这些方法解题。 2.培养学生灵活运用知识的数学思维能力。教学重点:四点共圆的判定。教学难点:创设条件来判定四点共圆,并依据四点共圆来研究图形的性质。教学方法:启导法教具:圆规、三角板、几何图片及投影仪。一、引言过不在同一直线上的三点能作且只能作一个圆。如有A、B、C、D四点,过这四点能否     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质,即命题　设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则有AP.AQAB.AC BP.BQBA.BC CP.CQCA.CB=1.证明　如图1,设D是射线AQ上的点,且使得满足∠ACD=∠APB.因为∠APB>∠ACB,则点D必在△ABC的外部.又因∠PAB=∠CAD,∴　△ABP∽△ADC.图1故　　　ABAD=APAC=BPCD.1又　∠QAB=∠PAC,ABAD=APAC,可知　△ABD∽△APC,于是　　　　ABAP=ADAC=BDCP.2又因为∠CDA=∠PBA=∠QBC,所以可知有B、Q、C、D四点共圆.由托勒密(Ptolemy)定理…     

从五点共圆到四点共圆

从五点共圆到四点共圆２４６１４２安徽省怀宁县江镇中学黄全福在通常情况下，判断五点共圆要比判断四点共圆困难得多，这是因为判断四点共圆有章可循，有法可依；而判断五点共圆就谈不上有什么有效方法了。但是，在某些特定的条件下，情形正好相反：判断五点共圆一目了然...     

一道圆锥曲线上四点共圆高考题的探析

圆锥曲线上四点共圆问题是高考常见考点，从2021年的一道高考题入手，对这一问题进行再研究，得出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件，并用直线的参数方程法对圆锥曲线上四点共圆进行证明.