例谈三种最值求法

<正>根据已知等式利用基本不等式等方法求最值,是一类常见题目.本文通过三个题目归纳这类问题的三种常用解法.题1设x>0,x²+y2+y²/2=1,求x(1+y2/2=1,求x(1+y²)2)¹/2的最大值.题2设x,y为实数,4x1/2的最大值.题2设x,y为实数,4x²+y2+y²+xy=1,求2x+y的最大值.题3设正数x,y满足1/x+2/y=1,求x+y的最小值.一、基本不等式基本不等式三个使用条件"一正、二定、三取等"中"定"是关键,解题时需根据题意构造"定积"或"定和".利用基本不等式解题的模式     

关于丢番图方程X~3±1=1267y~2的整数解

关于丢番图方程x³±1=1267y3±1=1267y²的初等解法至今仍未解决.主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、Maple小程序,证明了丢番图方程x2的初等解法至今仍未解决.主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、Maple小程序,证明了丢番图方程x³-1=1267y3-1=1267y²有整数解(x,y)=(1,0),(60817,±421356),而丢番图方程x2有整数解(x,y)=(1,0),(60817,±421356),而丢番图方程x³+1=1267y3+1=1267y²仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

多视角探究一道竞赛题的解法

<正>2016年河北省高中数学竞赛高二年级组第7题是:实数x,y满足x²+y2+y²+xy=3,则x2+xy=3,则x²+y2+y²的取值范围是_________.这是一道二元最值问题,经过探究,发现可以从多个视角进行求解.视角一不等式法解法1因为x2的取值范围是_________.这是一道二元最值问题,经过探究,发现可以从多个视角进行求解.视角一不等式法解法1因为x²+y2+y²≥2|xy|,     

求圆的方程问题的四种解法

<正>在数学的学习过程中,如果对一题有多种解法,则说明对知识有更多的理解;对知识的应用也更加熟练.下面就以一道求圆的方程为例:已知圆C_1:x²+y2+y²+2x+2y-8=0与C_2:x2+2x+2y-8=0与C_2:x²+y2+y²-2x+10y-24=0相交于A、B两点,求圆心在直线y=-x,且过A、B两点的圆的方程.方法一(待定系数法)     

与圆有关的最值问题的求解策略

<正>一、数形结合靠直观数形结合是解析几何的精髓.一般说来,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的最值问题,大都可以依靠几何直观轻而易举获得解决.例题1已知实数x,y满足方程x²+y2+y²-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)2-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)²+y2+y²=3,它表     

剖析一道习题解法错误

在我们平时教学中,学生做错练习题是常见的,但主动寻找错误原因的同学还很不多。在解题过程中,对错误解法进行分析,找出病因,对巩固基础知识,提高解题能力是非常必要的。下面仅就一道习题几种常见错误解法进行剖析,并提出正确的解法,供参考。题目设x、y为正变数,a、b为正常数,且a/x+b/y=1,求x+y的最小值。错解一∵a、b、x,y为正数,∴a/x及b/y均为正数,∴a/x+b/y≥2((ab/xy)~(1/2)),而a/x+b/y=1.∴(ab/xy)~(1/2)≤1/2.∴(xy/ab)~(1/2)≥2∴xy~(1/2)≥2((ab)~(1/2)),又∵x+y≥2((xy)~(1/2))∴x+y≥4((ab)~(1/2)),∴x+y的最小值为4(ab)~(1/2)     

最值问题的六种解法

<正>题目(2014年浙江省高中数学竞赛试题)设实数x,y满足方程(x+2)²+y2+y²=1,则y/x的最大值为.解法1令x=-2+cosθ,y=sinθ,θ∈[0,2π),y/x=k.则y/x=sinθ/-2+cosθ=k,即kcosθ-sinθ=2k,     

不等约束条件下二元函数最值问题的解法

在高中新教材中多次出现不等约束条件下的二元函数最值问题 ,在多种学习资料和各类考试中 ,这类问题也屡见不鲜 .该类问题一般来说难度较大 ,解法灵活 ,是学习上的难点 .本文介绍几种常用的求解方法 ,供参考 .1　利用基本不等式基本不等式是求最值问题的重要工具 ,灵活运用基本不等式 ,能有效地解决一些不等约束条件下的二元函数最值问题 .例 1　已知x ,y∈R+,且满足xy≥x + y + 3,求u =x + y的最小值 .解　∵xy≥x + y + 3,∴xy -x - y - 1≥ 4 ,(x - 1) (y - 1)≥ 4 .∴x + y =(x - 1) + (y - 1) + 2≥ 2 (x - 1) (y - 1) + 2≥ 6 .故当…     

二元条件下求最值的解题策略

<正>题目设x,y为实数,若4x²+y2+y²+xy=1,则2x+y的最大值是_____.本题是一个在二元条件下求最值的问题.题目短小但内涵丰富.对于这类二元条件下的最值问题,常常出现于近年模拟卷、高考卷或竞赛卷中.下面,笔者从不同的视角切入,给出这一典型试题的多种解法,供广大高中生学习参考.     

探究二元不等式链的间距问题

利用基本不等式√ab≤(a>0,b>0),容易证明如下二元不等式链:若x,y∈R⁺,则x²+y²/2√xy≥x²+y²/x+y≥√x²+y²/2≥x+y/2≥√xy≥√2xy/x+y≥√2xy/√x²+y².     

一道2021年中国科技大学少年创新班考试数学试题解法与思考

<正>题目(2021年中国科技大学少年创新班考试数学试题)若x²+y2+y²=x2=x²+z2+z²+■xz=z2+■xz=z²+y2+y²+yz=16,则2xy+xz+■yz=_.1解法分析本题已知条件是三元二次方程组,若按照常规思路去解方程组求未知数,然后再求值,是很难办到的,需要寻找其它解法.分析已知等式的结构特点,发现三个表达式酷似余弦定理(含勾股定理),于是有了构造三角形求解的方向,并看出涉及的三个角分别是90°,120°,     

二次函数中的非常规题举例

<正>在现行教材中,只讲到二次函数的常规问题,但非常规问题还很多,往往又有一定难度,现举几例供同学们参考.例1已知x,y是实数,当x²+2y2+2y²=1,求2x+3y2=1,求2x+3y²的最值.分析这是在x2的最值.分析这是在x²+2y2+2y²=1(x,y为实数)的条件下,求S=2x+3y2=1(x,y为实数)的条件下,求S=2x+3y²的最值问题,叫做条     

2020年北大强基第9题多种解法赏析

<正>本文探讨了2020年北大强基计划考试的第9题,从多个角度给出了分析与解法,现总结如下.例(2020年北大强基第9题)使得5x+12(xy)¹/2≤a(x+y)对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为().(A)8(B)9(C)10(D)前三个答案都不对.方法1(合并同类项+均值不等式)解析5x+12√(xy)≤a(x+y)含有和与积的结构,所以可以尝试用均值不等式.     

借变形之力 求分式之值

<正>分式求值问题是学习中的一个重点和难点,在中考中屡见不鲜.解答关键在于借变形之力,找出已知条件和要求值的式子之间的内在联系.现举例如下:一、借"整体"之力例1已知1/x+1/y=5,则(2x-5xy+2y)/(x+2xy+y)=_.分析不难发现,(2x-5xy+2y)/(x+2xy+y)=(2(x+y)-5xy)/((x+y)+2xy).要求其值,应先找到x+y与xy之间的数量关系.     

利用切线的几何意义巧解多元最值问题

<正>对于一类多变量的最值问题,若有明显的几何背景,特别是求线性形式的多变量的最值问题,我们借用隐函数求导法,巧用切线的几何意义,可顺利解决这类问题.本文列举两道高考试题,欲期给同学们以启发.例1(2011年高考浙江卷理数第16题)设x,y为实数,若4x²+y2+y²+xy=1,则2x+y的最大值是_____.     

例谈平方法求函数最值

<正>在求函数最值时,有时可以先将等式两边平方,通过求y²=f2=f²(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y2(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y²=(1+cosx)2=(1+cosx)²·sin2·sin²x/2     

取值范围问题的解法探究

<正>在一次数学测试中,有这样一道题目:已知实数x>0,y>0,且x²+y2+y²-xy=3,则x+2y的取值范围是____.这道题看似简约,似曾相识,但解题正确率却不高.同学们一般都采用判别式法来求解.解法步骤如下:解法1设t=x+2y,将x=t-2y代入x2-xy=3,则x+2y的取值范围是____.这道题看似简约,似曾相识,但解题正确率却不高.同学们一般都采用判别式法来求解.解法步骤如下:解法1设t=x+2y,将x=t-2y代入x²+y2+y²-xy=3,整理得7y2-xy=3,整理得7y²-5ty+t2-5ty+t²-3=0.因为方程有解,     

一道全国联赛最值问题的两种解法

<正>例题(2016年全国初中数学联赛(初三年级)试题)设实数x,y,z满足x+y+z=1,则M=xy+2yz+3xz的最大值为().(A)1/2(B)2/3(C)3/4(D)1思路1判别式法依据已知条件x+y+z=1,M=xy+2yz+3xz,通过消去x或y或z构造一元二次方程,利用一元二次方程有实数根的条件"判別式大于或等于零"建立不等式求M的最大值.     

函数的最大值与最小值

随着高中数学学习的深入 ,我们常常会遇到各种各样的求最大值和最小值的问题 .解决函数的最值 (最大值与最小值 )问题涉及的知识面较广 ,解法也是多种多样的 .下面就是我对处理函数最值问题的几点心得体会 .1　配方法例 1　设x ,y是实数 ,求u =x2 +xy +y2 -x- 2 y +3的最小值 .解 :u =x2 +xy +y2 -x - 2 y +3=[x2 +(y - 1)x +(y - 1) 24 ]+y2 - 2 y +3- (y - 1) 24=(x +y - 12 ) 2 +34(y2 - 2y +1) +2=(x +y - 12 ) 2 +34(y - 1) 2 +2≥ 2 .当且仅当x =0 ,y =1时取等号 ,所以u的最小值为 2 .(同样 ,也可以 y为主元进行配方 ,读者不妨一试 )…     

数学题中的2020

<正>1.是否存在正整数x、y,使x²+y2+y²=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)2=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)²+(2m+1)2+(2m+1)²=2020,展开得4k2=2020,展开得4k²+4k+4m2+4k+4m²+4m=2018,于是有2k2+4m=2018,于是有2k²+2k+2m2+2k+2m²+2m=1009,