一道习题的多种证法

在高中课本中有这样一道习题:证明:C_n~1+2C_n~2+3C_n~3…+nC_u~n=n·2~(n-1)。本文给出它的七种不同的证明方法,这些证法从不同的侧面代表了数列求和的一般途径,对同学们或许有所启发。     

一道向量习题的多种证法

(新编教材高一数学下)P151第6题:已知向量OP1,OP2,OP3满足条件,OP1+OP2+OP3=0, |OP1|=|OP2|=|OP3|=1,求证:△P1P2P3是正三角形. 证法一(利用向量加法的定义及平面图形的几何性质) 设OP1+OP2=OP 则四边形OP1PP2为平行四边形,     

对一道课本习题的多种证法探究

<正>试题(北师大版高中数学必修5第57页第1题)如图1,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点.设∠APC=α,∠BPC=β.求证:sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证法1正弦定理记PB=a,PA=b,PC=l,AC=m,BC=n.在△PAC中,sinα/m=sinA/ l,在△PBC中,sinβ/n=sinB/l.所以sinα=msinA/l,sinβ=nsinB/l.所以sinα/a+sinβ/b=msinA/la+nsinB/lb=m/l·sin(α+β)/m+n+n/l·sin(α+β)/m+n=sin(α+β)/m+n·m+n/l=sin(α+β)/l,     

一道习题的三角证法

很多中学数学参考书都收入了这样一道习题: “在△ABC中,∠A=45°,高AD分BC成BD=3(cm),DC=2(cm)。求△ABC的面积。对于此题,几乎所有的参考书都采取了如下的证法:(有的以习题形式收入的还直接提示辅助线的作法)。解:作△ABC的外接圆O,过C作圆O的直     

一道习题的几何证法

很多中学数学参考书都收入了这样一道习题: “在△ABC中,若∠A:∠B:∠C:4:2:1, 求证:1/a+1/b=1/c。’对于此题,几乎所有的参考书都采用三角证法,有的以习题形式收入的还直接提示用正弦定理可证。     

一道复习题的多种证法

全日制十年制高中数学第三册有一道复习题(习题三第18题):求证三个复数z_1,z_2,z_3组成一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式z_(1~2)+z_(2~2)+z_(3~2)=z_2z_3+z_3z_1+z_1z_2。对于学生来说,有一定的难度,就是许多初教者,往往讲解起来也有困难。笔者采用如下几种证法,较之《教参》中的证明简洁易懂,效果较好,兹介绍如下。为叙述方便,将“必要性”和“充分性”分别集中。     

一道竞赛题的多种证法

2002年全国初中数学竞赛中有这样一道几何题 :△ＡＢＣ内 ,∠ＢＡＣ =6 0° ,∠ＡＣＢ =40° ,Ｐ、Ｑ分别在ＢＣ、ＣＡ上 ,并且ＡＰ、ＢＱ分别是∠ＢＡＣ、ＡＢＣ的角平分线 .求证 :ＢＱ +ＡＱ =ＡＢ +ＢＰ .下面给出它的几种证法 .图 1证法 1　延长ＡＢ到Ｄ ,使ＢＤ =ＢＰ ,连结ＤＰ(如图 1 ) ,则∠Ｄ =∠ＢＰＤ .∵　∠ＡＢＣ =1 80°-(∠ＢＡＣ +∠ＡＣＢ) =80° ,∴　∠Ｄ =∠ＢＰＤ=40° ,∴　∠Ｃ =∠Ｄ .∵　∠ 1 =∠ 2 ,　ＡＰ =ＡＰ ,∴　△ＡＣＰ≌△ＡＤＰ ,∴　ＡＣ =ＡＤ ,即ＡＱ +ＣＱ =ＡＢ +ＢＤ .又∵　∠ 3=12 ∠ＡＢＣ =…     

一道竞赛题的多种证法

<正>题目如图1,A为⊙O外一点,过点A作⊙O的割线l与⊙O交于点B,C,点B′为点B关于OA的对称点.证明:OA与CB′的交点位置与直线l的选择无关.这是第58届白俄罗斯数学奥林匹克决赛的一道平面几何题,问题结构简单,但是内涵十分丰富,不仅证法多样,而且还充分体现了运动变化过程中的不变性.     

一道平面几何习题的简捷证法

初中《几何》第二册复习参考题六的第4题,教参给出的证明显得有些繁琐,笔者有一简捷证法,现介绍如下:△ABC 中,角平分线 AD、BE 交于点 I.求证:     

一道积分题的多种证法

本文利用分析中函数积分的定义和一些基本性质,给出了一道积分题的几何解释和五种证法.其中几种证法是一般教科书上很难见到而在教学中值得引用的一些方法.     

一道平几题的多种证法

一题多解的目的,在于开拓学生思路,进一步激发学生学习数学的积极性,提高分析问题和解决问题的能力。本文以82年湖北省初中数学竞宽第一试试题第六题为例,作如下多种证法。例题在等腰三角ABC中的一腰AB上任取一点D     

一道课本例题的多种证法

高中《代数》(必修 )下册Ｐ 2 7例 4 ,题目是 :已知|ａ|<1,|ｂ|<1.求证 ａ ｂ1 ａｂ <1.教材中是用分析法证明的 ,也被许多资料引用为分析法的典型范例 .但若从不同的角度去思考 ,可以得到多种不同的证法 .证法 1　由 |ａ|<1,|ｂ|<1得 1±ａ >0 ,1±ｂ>0 ,则 ａ ｂ1 ａｂ =( 1 ａ) ( 1 ｂ) - ( 1-ａ) ( 1-ｂ)( 1 ａ) ( 1 ｂ) ( 1-ａ) ( 1-ｂ)=|( 1 ａ) ( 1 ｂ) - ( 1-ａ) ( 1-ｂ) |( 1 ａ) ( 1 ｂ) ( 1-ａ) ( 1-ｂ)<( 1 ａ) ( 1 ｂ) ( 1-ａ) ( 1-ｂ)( 1 ａ) ( 1 ｂ) ( 1-ａ) ( 1-ｂ)=1,即 ａ ｂ1 ａｂ <1.评注 :这里利用了绝对值不等…     

一道联赛题的多种证法

2014年广西高中数学联赛第10题为：如图1,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,△ABC的内切圆分别与边BC、CA切于G、F,求证：DE、GF的交点在∠ABC的角平分线上.标准答案给出的证明较为复杂,下面提供几个简单的证法.证法一如图2,设DE、GF的交点为H,K为边AB与圆的切点,连接AH并延长交BC于W.∵DE∥BC,BD=DA,∴AH=HW.     

一道三角竞赛题的多种证法

问题已知锐角α、β满足1,求证;α+β=π/2. 这是常见于大多数竞赛书中的一道三角题,由于其含有一定的逆向思维,故对一般的同学而言是有一定难度的.实际上,由已知中的平方形式可联想到配方法,也可由已知式的     

一道课本复习题的多种证法

求证:用一平面截长方体的一个角,所得截面是锐角三角形.(人民教育出版社《数学》(下A)(试验修订本·必修)P80第14题). 仔细分析,有多种证明方法.它是一道巩     

一道平几题的多种证法

乘积转化为同一三角形二边的乘积。谊偏妹、一份 经过艺XOY的平分线上的一点A,线与OX及OY分别相交于p、Q。求证:等于定值。(提示:作AC//OY,交O尸于c,证明冬+熟二熟)。(」。。1年1月版初中《几何》洲O厂‘OQ OC‘’‘-一色一‘一’一““’第一册总复习题) 其实,我们引导学生从运动的角度考虑,选定图中可变动部分的特味位置来探索,题目中所 分析一同乘以OC,OC OC(1)两边只需证;二~十,一;:口厂七尽 如图2,利用等量代换以及相似三角形的·挤提示的定值晶是不难确定的。如图1,过滩作直线f’Q‘」_O且与OX及OY分别相交于尸、酬,则O…     

一道不等式题的多种证法

题目[高中《代数》(试验修订本·必修)第二册(上)P12例2]已知a,b,m都是正数,并且a相似文献   

一道积分不等式的多种证法

通过对一道积分不等式提供多种不同的证法,希望能对学生创造性思维及发散性思维的培养、开阔解题思路、提高综合应用数学知识的能力等有所帮助,并使学生对证明不等式的常用方法有所了解.     

一道面积问题的多种证法

<正>数学课上,老师出了一道思考题:如图1,D,E,F分别为AB,AC,BC的中点,四边形GHIB为平行四边形,四边形OEFI的面积为3,四边形GHOD的面积为2,求三角形HOE的面积.经过思考,首先我想到的是用几何方法,但没有找到突破口.后来我选定了解析法,最终解决了这道题.有的同学使用了代数方法通过比例求解,还有同学通过延长做平行四边形的方法,有的同学通过做三角形的高求解,而