高等数学问题推广的几种方式

著名数学家波利亚曾说过 :“一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合 .或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大的集合 .”[1] 数学的一般化或普遍化主要表现在对命题的推广 .由于数学认识的根本目的是揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律 ,所以数学命题的推广是数学创造的基本形式之一 .高等数学中有很多问题都可以进行推广 ,由于这些问题的推广往往需要经过类比、联想、猜想、抽象、归纳等多种发散性思维过程 ,因而 ,如能将这些问题有机地结合到数学实践中去 ,这对培养和加强学生的创新意识和创新能…     

一个简单性质的应用举例

在数学竞赛和中考中经常会出现函数的最值问题,此类问题解法很多,有时解起来很复杂、困难.但巧妙运用a2 b2≥2ab这一不等式及由此推出的一个结论往往能收到很好的效果——方便快捷、简单易懂.本文就应用这     

量词那些事儿

<正>含有量词的数学问题,是高中数学学习中的一个疑难点,不仅考察相关的数学知识,还考察数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.而求解双量词的数学问题又往往比求解单量词问题更为复杂,一些在语言描述中极为相似,但意义却不近相同的问题,很多同学无法进行有效的等价转化.现通过只含一个量     

重视基本图形 理解几何直观

几何直观是新课程标准的十个核心关键词之一,也是贯穿学生数学学习始终的重要思想方法,其中几何上的一些基本图形是理解几何直观的有效载体.苏科版初中数学教材上有很多典型的基本图形,深刻理解其中条件和结论之间的联系后,可以直接将与之相关的问题转化为熟悉的基本图形,从而从几何直观的角度迅速解题.1试题呈现新苏科版数学教材七年级下册P42第20题.(1)如图1,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平     

例析非常规基本不等式的应用

<正>基本不等式又称均值不等式,是高中数学的重要内容之一,也是每年高考数学考查的热点内容之一.使用基本不等式,要紧扣"一正二定三相等"的原则,这是使用基本不等式解决数学问题的关键,但是有些数学问题看似属于常规基本不等式模型,但是仔细分析,并不符合常规基本不等式使用的条件,很多学生遇到这类问题,往往不知所措,乱用公式,从而导致     

立足生本理念 提升数学理解——关于一道函数题讲练的思考

数学理解是世界数学教育界所关心的一个中心话题.国内很多学者就该论题发表了自己的研究成果与心得.对于具体数学问题的解决而言,数学理解的朴素认识通常是,明白了问题的条件与结论,弄清了由条件到结论间每一步骤的语义与根据,领悟了体现在步骤与过程中的思想方法.如果立足生本理念,用所接受到的结论或方法去解决其它问题,同时进行错误矫正,并作点变通与推广,那么就理解得更好、更深、更透了.平时编制试卷往往局限于考点的分布,忽视整合错题并检测学生纠错效果的功能;讲评课,满     

由一个诡辨看数学归纳法的适用范围

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一 .中学数学中的一些概念、公式、定理及很多的命题 ,通过数学归纳法导出和证明更符合学生的认知特点 ,也符合人们从特殊到一般的认知规律 .在中学阶段 ,有些公式、定理和命题 ,由于受中学生所掌握的数学知识的限制 ,往往只能让学生先暂且接受其真实性 ,再用数学归纳法给出证明 .但是 ,数学归纳法究竟在哪些地方可以用 ,这一直困扰着我们很多的中学生 .下面 ,笔者想从一个诡辨谈起 ,来看数学归纳法的适用范围 .命题　任意一个有n(n为自然数 )根毛的宠物狗都是“裸狗” .证明　 (用数学归纳法 )1…     

优化与生成——数学解题的价值取向

1 问题的提出 数学解题是数学学习与研究的基本活动.某种程度上说,数学学习与研究的过程就是解题的过程.数学家的解题往往是一个创造和发现的过程,作为学习的数学解题更多情况下是根据设计者预设目标进行的训练.通过训练,理解与探究数学的基本规律,使学习者学会像数学家那样"数学地思维".问题的设计或侧重已学知识的巩固,或关注学习者某方面能力的发展,通常表现为对数学结论的再发现过程.     

建构观下的数学教学

1　长期以来,教师都在抱怨学生的数学学习能力,而学生也在潜意识中认为自己没有能力学好数学,“只有那些非常聪明的人才能学好数学”是经常能够听到的一句话.实际上,学生心目中的那个“学不好的数学”往往是指常规的计算和按规则进行操作(通常是形式逻辑的证明)的数学.过去,对数学教材的认识往往是:由一些基本概念按照一定逻辑顺序组织成的知识体系.因此,学生的学习就是从最基本的概念出发,根据逻辑顺序一步步地走向复杂,就好象造房子一样,从地基开始,用一块块砖砌成墙而最后盖成.这种看法对于认清将一个复杂的问题分解成简单的、基本的问题…     

构造一元二次方程解题

一元二次方程是初中数学的重点内容之一,也是解决数学问题的重要工具．在很多具体题目中,往往看不到一元二次方程的“身影”,但往往可以通过已知条件构造一元二次方程．利用一元二次方程的基本性质,使问题简单化,从而达到快速解题的目的．     

新数学课程实施中初中学生数学学习评价问题研究

数学学习是中学生人人必须面对的一项重要活动,它在学校课程中一直占有着十分重要的地位.新数学课程要求数学老师从学生自身的数学学习和社会生活中选取有关数学研究问题,主动地应用数学知识解决问题.如何评价初中学生数学学习已成为一个重要的研究课题.一、原有的学生评价中主要存在的局限和不足在原有的学生评价中学校往往侧重于学生成绩的评价,忽视了很多其它的评价方法,使得考试成为了评价和衡量学生的最重要手段.具体的局限和不足有以下     

直觉、严谨、联想——数学解题三大法宝

数学教学离不开解题教学,如何科学、有效地进行解题教学是每一个数学教育工作者面临的一个永恒的课题.在平时的教学实践中,我们发现很多教师把解题教学偏面地理解为习题讲解,在教学实践中缺少了对解题思路的训练,缺乏学生数学素养的培养,学生不会用"数学家"的眼光看数学题,不会用"数学家的思维"理解数学问题,学生只会解现成的题目,对一些新、活的题目往往无从下手.那么,究竟怎样的讲解才算真正意义上的解题教学呢?我个人认为,直觉、严谨和联想是数学解题的三大法宝,只有正确掌握了这三大法宝,数学解题活动才真正有意义.     

复数在平面几何中的魅力

复数和平面几何的密切关系是丰富中学数学教育的一个非常重要的,有趣的和令人惊讶的课题,复数这一概念有一个复杂的历史.它甚至导出数学中很多深刻的问题,几乎近于神奇.同时,依照当代数学的观点,复数作为一个数域,以一个从线到平面的非常自然的方式延展了实数域.此外,用复数可阐释很多数学中的基本事实,例如,乘法运算的本质.     

浅谈数学应用题中翻译能力的培养

数学应用题是近几年来数学高考中的重点、难点 .随着新课程、新高考改革的深入 ,数学应用题的题量、分值也在逐渐增大 ,并已成为高考中的热点问题 .而数学应用题在教学当中也是一个难点 ,学生在考试中往往得分率很低 ,有一种谈“用”色变 ,畏难惧怕的思想 .其原因 :一是题目信息量大、学生读不懂题目 ;二是将实际问题翻译成数学化问题的能力差 ;三是解题中不能化归为熟悉的数学问题 ,用数学方法解答 .《2 0 0 3年普通高等学校招生全国统一考试数学考试说明》要求培养学生解决实际问题的能力 ,即 :能阅读、理解对问题进行陈述的材料 ;能综合…     

初中数学教学中培养学生运算能力的几点做法

运算能力是一项最基本的数学能力 ,无论是《教学大纲》 ,还是《中考说明》都把它列在各项数学能力的首位 ,初中数学中大多数问题的解决 ,也都离不开运算 ,但是就目前初中生数学运算能力而言 ,存在的问题很多 ,不明算理 ,机械地套用公式 ,盲目推演 ,缺乏选择合理、简捷运算的意识等 ,这些现象随处可见 .相当多的数学教师 ,往往只注重解题方法和思路的引导 ,而忽视了学生运算能力的培养 ,把学生运算中的错误归结为“粗心”与“马虎” ,影响了学生运算能力乃至数学思维能力的提高 ,这已经成为当前数学教学中的一个热点问题 .在初中数学教学中 ,…     

对一道向量题的探究与反思

向量是近代数学中重要而基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.它是高中数学的一个重要内容,是数形结合的载体,也是学好数学、提高能力的重要载体.在近几年的高考及各地的模拟试卷中,出现了很多精彩的考题.而学生在学习向量的过程中,往往有一种畏难情绪,碰到向量题,很多时候无从下手.这个时候就需要教师引导学生站在更高的层次去研究这些题目,通过对这些题目的研究,“去伪存真”,挖掘题目的背景及本质,并作一些适当的变形,这样不仅提升学生的学习兴趣,有时候还能得出一些有用的小结论.     

求解反问题的一个新方法:模型求解与范例学习结合

反问题存在于科学、工程与技术等广泛领域,是数学问题的基本形式之一.传统的反问题求解基于求解与问题相关的数学模型(如一个偏微分方程组和变分问题等),无论是建模还是模型求解都回避不了大量近似,从而很难获得满意的准确解,被公认是困难问题.然而,我们注意到,对很多反问题(如图像处理)而言,除模型之外,还往往存在大量的范例.本文提出将模型求解与范例学习相结合的反问题求解新思路.以压缩感知核磁共振成像(CS-MRI)为例,说明如何将压缩感知模型的模型求解与基于范例学习的深度学习相融合,以形成求解CS-MRI问题的一个全新方法.应用表明,基于模型与基于数据相结合的这一新方法不仅可行、高效,而且具有很强的可推广性.     

例谈换元法的应用

面对一个数学问题,如果直接求解有困难,或不易下手,或由问题的条件难以直接得出结论时,往往需要引入一个或几个"新元"代换问题中原来的"元",使得以"新元"为基础的问题求解比较简易,解决以后将结果倒回去恢复原来的元,即可得原问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法.又称变量代换法.换元法的基本思想是通过变量     

前言

数学物理问题是应用数学的一个重要分支.在这类问题中,人们基于基本的物理定律用数学语言(方程)描述实际的物理过程,并研究数学模型的适定性和解的形态等.数学物理反问题主要是指由已知可以测量到的信息,基于数学物理模型,重构未知信息的问题.由于数学物理反问题的研究更多地来源于一些重要的实际问题,从而引起了国内外数学工作者的不断重视.研究成果往往可以为一些重要技术、关键问题的解决提供想法和工具,因此,     

不等式中参数取值范围问题的求解策略

确定不等式中参数的取值范围,需要综合运用数学的多种基本知识和基本技能,如基本不等式、一元二次不等式的知识,合情推理论证的能力,以及数形结合、分类讨论的数学思想等等,能够反映学生综合的数学素质,也符合新课程对数学教学和学生能力的要求,同时这类问题往往综合性强、结构新颖,因而也是数学教学中的一个难点内容.本文提供一些对这类问题求解的常用策略,供大家参考.……