韦达定理在解析几何中的应用例说

<正>韦达定理描述了一元二次方程的根与系数之间的关系.韦达定理的题目灵活、应用广泛,在高考的解析几何题型中更是具有不可代替的地位.应用韦达定理解题,能培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力.下面我将以近两年的高考题为例,展示韦达定理在解析几何题型中的重要性.     

运用韦达定理五注意

<正>韦达定理是初中代数的重要定理,应用十分广泛,韦达定理有用但需会用.运用韦达定理除确切掌握定理外,还必须注意以下五个细节问题.一、注意根的符号例1已知α、β是方程x2+5x+2=0的两根,求(α/β)1/2+(β/α)1/2的值.解由韦达定理,知α+β=-5,αβ=2,     

化韦达定理“无效”为“有效”的策略

在直线与圆锥曲线相交的综合问题中,常常遇到使用韦达定理后式子无法走向解题目标的情形,即出现韦达定理“无效”的情形.本文中利用韦达定理的内部联系,实施通过变式使用韦达定理来实现降幂和消元的策略,化韦达定理“无效”为“有效”,从而使得问题顺利解决.     

韦达定理应用中的思考

“韦达定理”作为初中数学中重要的定理之一,应用十分广泛,但是由于通常对于“韦达定理”的应用是通过大量的公式变形和混合运算来达到目的的,这就需要有一定的数学基础和运算能力,而直接在定理的两个公式和推导思路中另辟新径:将数与数的运算先转变为字母系数间的关系,在最后一步再代入系数,“一步登天”,似乎更为便捷,也易于理解.     

巧用韦达定理

韦达定理是揭示一元n次方程中根与系数关系的重要定理。但运用于解题有时却因条件比较隐晦而失之交臂,颇为可惜。这就需要我们在审题中,观察得更精细敏锐一些,联想更广泛丰富一些,尤其要注意把握住韦达定理的特征条件。那么,韦达定理往往另有用武之地。兹举几例说明如下:     

利用“韦达定理”解竞赛题

<正>一元二次方程的根与系数的关系,常常也称为韦达定理,它是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的.韦达定理如果ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a;x_1·x_2=c/a.在数学竞赛中,利用韦达定理解题屡见不鲜.一、直接利用韦达定理解题     

应用韦达定理解题时必须注意的一个问题

韦达定理在代数、三角、解析几何的解题中有着广泛的应用。但从当前某些参考书及学生应用韦达定理解题的过程中发现,比较多的存在一个问题,即有些题目须在使用判别式验证是否有实根存在的情况下,才能应用韦达定理去解题而由于忽视了这一关键步骤,以至于在解题中出现这样或那样的错误,不仅在解代数题中存在,解几何问题也同样存在。现举几例如下: 例1当实数m为什么值时,方程(5m+1)x~2+(7m+3)x+3m=0的根为:(1)两个正实根;(2)略(北京     

韦达定理的妙用

韦达定理是中学数学的重要内容 ,它涉及面广 ,综合性强 ,既是一个活跃的知识点 ,又是数学知识链上不可缺少的一环 .原则上讲 ,凡涉及到两量之和 (差 )与积的问题都可联系韦达定理 ,赋两根以几何意义 ,特别是巧妙构思 ,创设一元二次方程 ,构造应用韦达定理的条件 ,使问题化难为易 .　　一、在平面几何中的应用【例 1】　 (蝴蝶定理 )过圆O的AB弦的中点M引任意两弦CD和EF ,连CF和ED交弦AB于P、Q ,求证 :PM =MQ .分析 :蝴蝶定理是平面几何中一个重要的定理 ,1973年美国中学教师斯特温利用正弦定理和相交弦定理给出证明 ,此处从略 .下面…     

浅谈韦达定理的教学

韦达定理“如果方程ax~2 bx c=0(a■0)的两根是x_1,x_2，那么，，x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a)”.它提示了一元二次方程根与系数的内在联系,无论在代数、几何、三角,还是在解析几何中都有着其广泛的应用。然而,许多学生虽然理解了韦达定理的内容,但不能正确加以运用。究其原因,笔者以为,主要是由于教师的教法不     

韦达定理及其应用

韦达定理及其逆定理是中学数学中的重要基础知识,在解决数学问题时是经常要用到的一种工具。本文只就一元二次方程根与系数的关系来谈韦达定理及其应用。     

构建韦达定理模型求解圆锥曲线问题

<正>对于韦达定理,学生都很熟悉,但实际解题中,有时却很难想到去运用它．本文就圆锥曲线解题教学中,涉及到以韦达定理的知识为背景的问题,通过数学建模的方法,探寻它在解析几何方面的应用,以期达到对定理加深理解和提高学生数学建模能力的目的．     

在解析几何试题中使用韦达定理的思考

在解析几何试题中,联立直线和圆锥曲线的方程组成的方程组,消去一个未知数x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程,常常借助韦达定理解决相关问题,然而韦达定理的使用有时非常困难,一旦出现形如mx₁+nx₂(m≠n)的表达式,就需要灵活使用韦达定理,得到化简的目的.     

不对称也是一种美——谈谈圆锥曲线中两根不对称情形的处理

<正>韦达定理是初中要求的基础知识,到了高中,它的作用日趋明显.在解析几何的解答题中,有着不可或缺的地位.对于直接运用韦达定理的运算,学生已经非常熟练,但在有些问题的求解中,会遇到两根不对称的情形.此时,"找关系"、"用性质"就显得很有必要了.一、例题展示     

提高运算素养 培养关键能力——以2022年部分省、市数学中考韦达定理试题为例

教育部于2022年4月发布了《义务教育数学课程标准(2022年版)》,其中删除了“一元二次方程根与系数的关系”的星号(*),即对韦达定理的要求由“选学”变成了“了解”.韦达定理及其应用对提升学生的运算素养起着重要作用,能培养学生的数学关键能力.     

用二次函数的两根表达式规避韦达定理

<正>在解析几何中我们常常将直线代入圆锥曲线方程,再利用韦达定理"设而不求",用两根的和与积去表示关于根的量.但往往韦达定理只能表示两根之和与两根之积,解决问题时常常需要展开、化简、代入再化简,有没有更简单的办法呢?笔者有幸发现了一种简化方法,在这里和大家分享.     

利用韦达定理的逆定理构造二次方程解题

利用韦达定理的逆定理构造二次方程解题２１１７００江苏省盱眙县中学周以宏若两实数ｘ１、ｘ２满足ｘ１＋ｘ２＝ｘ１·ｘ２＝（ａ≠０）．则ｘ１、ｘ２是方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两根．这是韦这定理的逆定理，它在解题中有着广泛的应用．本文例说合理地利用它构造一元...     

构造二次方程 巧用韦达定理

大家知道,韦达定理在解答数学问题中用途十分广泛,有时甚至看起来不具备使用条件而经过构造二次方程,巧用韦达定理来进行解题。例1 有双曲线xy=1,过点,A(a,0)作斜率为m的直线,交双曲线于B、C两点,交y轴于D点,(a>0,m<0),①证明|AB|=|CD|;②若|AB|=|BC|,试用a表示m。     

也谈用韦达定理证明某些三角恒等式

也谈用韦达定理证明某些三角恒等式师五喜（甘肃张掖师专数学系７３４０００）文［１］中利用韦达定理证明了以下两组三角恒等式：（１）设ｎ为任一自然数，则有（２）设。为任一自然数，则有但在求得一个能够利用韦达定理的ｎ次代数方程时，过程繁杂，所得到的系数的表达...     

巧用韦达定理例谈

韦达定理是一元二次方程根与系数之间关系的一个基本定理.有些题目,看似与一元二次方程并无关系,但倘若细心观察,巧妙变化,就能应用韦达定理,使问题迅捷获解. 1 巧求代数值 例1 实数a、b、c满足a=b 2～(1/2),2ab 2(2～(1/2))c2 1=0,求a b c的值. 解由已知条件得 a (-b)=2～(1/2),a·(-b)=2～(1/2)c2 1/2,根据韦达定理,a、-b可看为方程x2-(2～(1/2))x (2～(1/2))c2 1/2=0的两实数根,     

利用韦达定理巧解抛物线题

<正>韦达定理用在圆锥曲线中,可灵活解决直线与圆锥曲线的相交问题,关键是巧设直线方程,消去一个元得另一个元的一元二次方程,本文专门介绍韦达定理在抛物线中的应用,兹举例说明.例1已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,试求y12+y22的最小值.解设过点P(4,0)的直线方程为x=ky+4,代入抛物线方程并整理,得