利用对称性处理线段中点问题

众所周知,在初中阶段处理线段中点问题时用得最多的方法是考虑中位线,但在解题实践中我们也发现,许多与线段中点有关的问题(特别是一些竞赛试题),用中位线定理去处理往往是不尽人意或根本做不出。相反若以线段中点为对称中心去构造中心对称型全等三角形,却常能使问题得到简捷的解     

如何判定线段的中点

<正>同学们在平时的学习中,大都做题不少,但由于缺乏总结或不善于总结,所以对于很多问题的解决形不成方法,抓不住本质,进而自己的思维能力也没有随着提高.下面以如何判定线段的中点为例,谈谈总结的重要.判定线段的中点可以用线段中点的定义,但更多的时候是用相关的定理和性质.我们总     

线段中点公式及应用

<正>线段中点公式是指:线段上一点到线段中点的距离分式,可分以下两种情形.1.点在线段上公式1如图1,O是线段AB的中点,点P在线段AB上(P不与A、O、B重合),则PO=(PA-PB)/2.     

线段中点是个宝

在平面几何中我们学过这样一个性质:如果一条直线经过一条线段的中点,那么这条线段的两个端点到这条直线的距离相等(如图1 所示)．现在我们把这条性质拓展延伸到立体几何中,则有:如果一个平面经过一条线段的中     

线段中点的一个判定方法

一、命题角平分线的垂线与角的两边相交,则垂足是以两交点为端点的线段的中点.二、命题的证明已知:如图1,OP是∠MON的平分线,AB⊥OP分别交OM、ON于点A、B,垂足为点C.求证:点C是AB     

异面直线间定长连线段中点轨迹问题

一、准备知识1．两条异面直线到其公垂线段的中垂面距离相等,且等于公垂线段长的一半．2．两条异面直线上任意两点连线段的中点在其公垂线段的中垂面上．(证明提示:两条异面直线上任意两点连线段与其公垂线段的中垂面的交点为连线段的中点．)     

利用中点证明有关线段的一半或一倍问题

<正>在几何证明中,经常会遇到线段的一半或一倍的相关问题,这类问题往往与线段的中点相关,此时可以借助以下图形来解决此类问题.在以上三个图中,D均为BC中点.在图1-a中,利用倍长中线构造出线段的一倍,往往是延长AD至E使DE=AD连接BE,或过B作BE//AC交AD的延长线于点E,易证得△ADC■△EDB,也就是说,△ADC与△EDB关于点D成中心对称图形,即构造了以D为中点的线段AE,从而构造出了2AD=AE.     

一道关于线段问题的探究

<正>问题的提出同一平面上,两个点可以形成一条长度为1的线段;三个点可以形成3条长度分别为1,2,3的线段;四个点可以形成长度为1,2,3,4,5,6的线段.我们可以提出如下问题:一般地,同一平面上有n(n>4)个点,这n个点两两相连所形     

一个新发现的点——牛顿线段的中点

在△ABC中,O,G,H分别是它的外心、重心、垂心,O,G,H三点共线,此线是著名科学家牛顿首先发现的,故被命名为牛顿线,其中线段OH称为牛顿线段,对于牛顿线段有OG∶GH=1∶2;如果分别以三边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点,如图,记这些对称点分别为D′,D″,D,连结CD′,AD″,BD,我们得到如下定理定理在△ABC中,分别以三边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点,记这些对称点分别为D′,D″,D,连结CD′,AD″,BD,三条直线CD′,AD″,BD共点,设此点O′,称点O′为△ABC的边对称外心;此点是牛顿线的中点,且有OG∶GO′∶O′H=2∶1…     

中点四边形的探究

顺次连接四边形四边中点所得的四边形,我们称为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形对角线之间的数量和位置关系决定,下面分类进行说明: 一、对角线的数量关系和位置关系为任意 如图1,已知:四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么特殊四边形?为什么? 探究:连接AC、BD.因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,所以EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线,则EF// AC,GH//AC,所以EF∥GH,用同样的方法可得EH∥FG.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得,四边形EFGH是平行四边形.     

圆有关的线段数量关系问题探究

<正>圆有关的线段数量关系探究问题在近年来中考中屡见不鲜.解答它们,除了灵活利用圆的有关性质外,有时还要注意考虑借三角形全等之力,或借勾股定理之力,或借三角形相似之力.现举例如下:例1(2015年山东省德州市)如图1,A、P、B、C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.     

探究四边形中点连线的性质

目前,研究性学习正在素质教育改革的浪潮中悄然兴起,它成为中学生们主要的学习方式。在此情况下,同学们如何在自学或预习中进行研究性学习呢?现举一例,供同学们参考.     

一道中点试题的解法探究

<正>中点是初中几何最常见的概念之一,中点与其他知识有着紧密的联系.由中点可以产生很多的联想,比如中线、中位线,等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线等等,这些联想往往都是解题的突破口,下面让我们一起来看一道有关中点证明的题目.1试题呈现如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<90°),连接BD     

初中几何问题中线段长度的求解技巧探究

平面几何是初中数学知识中重要的一部分,线段长度的变化影响着图形的大小、形状.考查线段长度的形式多种多样,相关的问题也都十分灵活.求线段长度的基本方法有等面积法、利用勾股定理、利用相似等.本文中结合不同例题,具体分析解答求线段长度问题常见的解题思路.     

圆锥曲线弦的中点问题

圆锥曲线弦的中点问题江福贵张艳芬（吉林舒兰市一中１３２６００）（上海松江县教师进修学校２０１６００）求直线被圆锥曲线截得弦的中点问题，屡见不鲜，是一类重要问题．对于有心曲线弦的中点问题，我们可以用切线的斜率和中点与中心连线的斜率的积为常数（±ｂ２ａ２...     

定长弦的中点轨迹方程的探究

若弦长一定,当弦的两端点在曲线或面上运动变化时,其中点的轨迹图形是否存在?方程能否求出?这一问题很有趣,值得我们作一探究.本文将通过具体实例,对定长弦的两端点在直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线及空间中的线或者面上运动时,弦的中点轨迹及其方程加以探究.一、求定长弦中点的轨迹     

中点问题的解题策略浅谈

<正>在平面几何的证题中,一方面重在培养学生的逻辑推理能力和发展学生的几何直观,另一方面通过构造辅助线培养学生的创新意识.下面以2018年云南省中考试题第23题第(2)题中点问题为例,借助图形直观,合情推理思维过程探寻有关中点问题辅助线的作法.     

关于线段相等问题的证明

平面几何中证明线段相等是我们经常遇见的问题之一 ,解决它的方法有很多 ,但归纳起来较为常见的方法主要有以下几种 :①在同一个三角形中利用等角对等边来证 .②在不同的三角形中利用全等三角形来证 .③利用角平分线的性质来证 .④利用线段的垂直平分线的性质来证 .⑤利用特殊四边形的性质来证 .⑥利用同圆或等圆中等弧 (弦心距 )对等弦来证 .⑦利用比例的性质来证 .⑧利用平行线等分线段定理及其推论来证 .⑨利用垂径定理及其推论来证 .⑩利用直角三角形斜边上的中线 ,或等腰三角形底边上的高和顶角的平分线的性质来证 .面对上述众多种方法 ,我们如何根据题目中所给的图文信息 ,选择恰当的方法来证两条线段相等呢 ?现举例给予说明 ,供读者参考 .例 1　如图 1,已知在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｄ是ＡＢ上一点 ,ＤＥ⊥ＢＣ ,Ｅ是垂足 ,ＥＤ的延长线交ＣＡ的延长线于点Ｆ .求证 :ＡＤ =ＡＦ .分析 :欲证ＡＤ =ＡＦ ,观察图形知ＡＤ ,ＡＦ是同一△ＡＤＦ的两边 ,即本题属于证同一三角形的两边相等的问题 ,故优先考虑利用“在同一三角形中 ,等角对等边”证之 ,从而把问题转化为证∠ＡＤＦ =∠Ｆ .因为从所给条件看 ...     

关于无公度线段的问题

八年级的学生应当获得关于无公度线段(作为无公度的量的具体例子)的清晰概念,因为用数表示和度量单位无公度的量的需要,对引入无理数的必要性来说是一个主要的论据.事实上,仅以正方形的对角线和它的一边的无公度性为例,学生就能通晓无公度的量的存在的证明.     

求线段最值问题

<正>线段最值问题的求解涉及知识点多,方法灵活多样．现举例说明如下,供参考．1以反比例函数为载体的问题例1 (2022年江苏宿迁市中考第8题)如图1,点A在反比例函数y=2/x(x>0)的图象上,以OA为一边作等腰直角三角形OAB,其中∠OAB=90°,AO=AB,则线段OB长的最小值为()．