构造辅助圆巧解中考题

<正>先看2015年山东威海的一道中考题:如图1,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为().(A)68°(B)88°(C)90°(D)112°本题若按常规方法,可利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理,通过列方程求解.设∠CAD=α.由AB=AC=AD,     

数学问题解答

2005年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)6在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D,E在上,且∠DAE=60°,过A,D,E的圆交AB于P,AC于Q.(1)当BP CQ=EP DQ时,求∠BAD的度;(2)当AP=21CQ时,求∠BAD的度数.(福建厦门九中陈四川361004)解:(1)连结DP,EQ.∠B=∠C=30°,设∠BADα,∠CAE=β,α β=60°;⊙ADE的半径为R.因为∠ADC=∠1,∠C为公共角.所以△CDA△CQE,ACDD=ECQQ,CQ=EQ·ACDD.同理:BP=PD·ABEE.BP CQ=2R·sinα·sin(sαin B60°) 2R·sinβn(β 60°)sinC=4R[sinα·sin(α 60°) sinβ·β 60°)]=2R[cos60…     

等腰三角形的一个有趣性质

<正>笔者在利用几何画板绘制几何图形时,发现等腰三角形一个有趣的性质:在△ABC中,AB=AC,∠BAC≠60°,AD是△ABC的角平分线,点E在直线AC上,且∠DEC=30°,线段DE的垂直平分线交直线AB于点F,则∠ADF等于30°或150°.显然,点E的位置与△ABC的形状有关.分两种情况:一、当∠BAC<60°时,有两种情况.1.当点E在线段AC上时,如图1所示.     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

欧几里得为何舍近求远?

<正>等腰三角形是一种轴对称图形,它具有许多重要的性质,其中“等腰三角形的两底角相等”这条性质的证明方法十分丰富．教材中给出了3种证法．已知,如图1,在△ABC中,AB=AC,求证∠B=∠C．证法1作顶角的平分线,用“SAS”证明．证明如图2,作顶角的平分线AD,所以∠1=∠2,     

一道竞赛题的多种解法

<正>原题如图1,在△ABC中,∠C=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD,求证:CD=BD.分析本题中,易知∠CAB=∠CBA=45°,结合∠CAD=30°可以求出一系列角的度数.同时,要充分挖掘三条相等线段的特殊关系,寻找恰当的全等三角形,而辅助线则成为该题解决的一个关键.     

灵活利用三角形的外角

<正>三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.灵活利用这个性质将问题转化,能迅捷地解答一些与角有关问题.一、与角有关求值问题例1如图1,AD是△ABC的外角∠CAE的平分线,∠B=30°,∠DAE=65°,则∠ACD的度数是     

利用中位线解题

精选妙题如图1所示,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC,M为BC的中点。求证:AB=2DM。常规策略我们可以AD所在直线为对称轴把△ADC沿AD翻折,利用全等三角形和等腰三角形的性质去解决问题。     

一道全国初中数学联赛题的另解

<正>先了解一个公式,平分圆周角的弦长公式:如图1,点A、B、C在⊙O上,弦AD平分∠BAC,若∠BAC=2α,AB=a,AC=b,AD=c,则c=(a+b)/2cosα.证明如图2,连接CD、BD、BC,BC交AD于点E.因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAD.于是CD=BD.因为∠CBD=∠BAD,     

由三角形角分线想起

在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1　用向量证明三角形角分线定理 .证明　如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1　命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明　设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得　　AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得　…     

由一个数量关系引发的探究

<正>这个学期,数学老师带领我们进行了很多有意思的数学探究,很多时候从一个普通的题目出发,却往往能收获意想不到的惊喜.今天,我们也来小试牛刀一下!原题如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=45°,求AC和BD的数量关系.解如图2,延长DC交AB的延长线于E.因为∠ABC=∠ADC=90°,所以A,B,C,D四点共圆,所以∠EAC=∠EDB,     

初二几何第一学期期中自测题

A组题一、填空题 (每小题 4分 ,共 40分 )1 .三角形的两边长为 4和 6,第三边为偶数 ,则此三角形的周长为 .2 .等腰三角形的底边长为 6cm ,它的周长不大于2 0cm ,则腰长的取值范围是 .3 .在△ABC中 ,∠A -∠C =2 5°,∠B -∠C =2 0° ,则∠A =,∠B =,∠C =.4.如图 ( 1 ) .以∠α为公共角的三角形是和;以BD为公共边的三角形有 .5 .如图 ( 2 ) ,AD ,CE是等边△ABC的二条中线 ,则图中与△ABD全等的三角形共有个 .　　 6.如图 ( 3 ) ,AB⊥AC ,DC⊥AC ,要使△ABC≌△CDA ,还要增加一个全等条件 ,那么需增加的一个条件是或或 .7.在…     

由一个性质定理的多种证明所想到的

等腰梯形的性质定理:等腰梯形在同一底上的两个角相等.(四年制几何第二册,第117页) 已知:如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC. 求证:∠B=∠C.     

一线两等腰

<正>顶角是36°的等腰三角形具有一种特性,即经过它的某一顶点的射线可把它分成两个小等腰三角形.如图1,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,射线BD平分∠ABC,交AC于点D,此时△ABD和△BCD都是等腰三角形.如图2,很容易发现等腰直角三角形和含36°的等腰三角形都可以过顶角的顶点找到一条线将原三角形分割成两个新的等腰三角形.     

用等腰三角形推导倍角公式

高一代数课本中的倍角公式,是用三角方法推导的,本文通过腰为1的等腰三角形的构造,给出倍角公式一个新颖的推导方法。如图,作△ABC,使AB=AC=1,∠A=2a,则∠B=∠C=90°-a,BC=2sina。在△ABC中,由正     

一道联赛试题的别证

题目如图1,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,BD交于点S,且DS=2SB.求证:AD=DC这是2011年全国初中数学联赛第二试第二题(B卷),命题组提供的参考答案用三角形全等来证明.下面再提供三种有别于参考答案     

一个三角形性质的应用

<正>如图1,线段AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则AD,BE,CF交于一点O,即"三角形的三条角平分线交于一点".这是三角形的一个性质,在解题时,容易被"忽略",但应用这一性质可以有效解决一些有关三角形角平分线的问题.例1如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P为其底角平分线的交点,将△BCP沿CP折叠,使B点恰好落在AC边上的点D处,若DA=DP,求∠BAC度数.     

浅谈用旋转法作辅助线证明几何题

<正>1.试题呈现(2018广州中考第25题)如图1,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC(1)求∠A+∠C的度数;(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE~2=BE~2+CE~2,求点E运动路径的长度.     

如何化简((8+4)3~(1/2))~(1/2)

同学们用几何法求sin75°的值时,是这样做的.分析构造一个含有75°角的直角三角形,使∠C=90°,∠B=15°,∠BAC=75°,如图.在BC上取一点D,连结AD,使∠BAD=15°,则∠DAC=60°,于是BD=AD,AD=2AC.设AC=1,则DC=ACtan∠DAC=1     

四边形的一个性质及其推论

<正>性质如图1,在四边形ABCD中,若∠BAD+∠BCD=α(0°<α≤180°),则(AC·BD)²=(AB·CD)2=(AB·CD)²+(AD·BC)2+(AD·BC)²-2AB·BC·CD·ADcosα.证明如图2,过点A、D分别作射线AE、DE交于点E,且使∠DAE=∠BCD、∠ADE=∠BDC,则△EDA∽△BDC.