构造三角形 解梯形问题——一道世界团体锦标赛试题的解法探究

对第7届世界团体锦标赛少年组团体赛第17题的解法进行了深入研究,通过构造三角形将梯形问题转化为三角形问题.利用三角形的性质得到了多种解法.一是借助15°角构造其中一角为30°角的直角三角形,再运用勾股定理求解;二是借助15°角和45°角,或120°角构造等边三角形,然后利用三角形的性质求解;三是构造相似三角形,运用勾股定理和相似三角形性质求解.通过“一题多解”,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力,有利用于提升学生的数学核心素养.     

基于三角形的内角平分线问题的求解策略

三角形的角平分线是指三角形的一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点间的线段．这样在解析几何中涉及到与三角形的角平分线的问题常常有求三角形顶点的坐标、内角平分线的长度、内角平分线所在的直线方程、分点的坐标等．上述问题求解常用策略如下：     

快解斜三角形的一种有效策略

斜三角形问题的求解在历年的高考中都有出现,此类问题属常规题,难度一般,求解时人手宽,上手易,得分也不低．仔细研究一下斜三角形问题,就会发现：当一个题目的图形中三角个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可以用正弦定理或余弦定理求解的,而题中所求元素大都处在另一三角形中.     

解斜三角形的一种策略

解斜三角形是三角函数中的一个主要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要一环．此类问题的求解在近几年的高考中屡有出现,虽然高考题中斜三角形求解问题属常规题,难度一般,但题图中三角形往往不是单独出现,有些同学面对单个三角形时正弦定理或余弦定理用得极为纯熟,但对较为复杂（即图中三角形不止一个）的斜三角形问题,往往不知如何下手．     

当角平分线这个条件出现时

三角形的角平分线是三角形的主要线段之一,它在几何的计算或证明中,起着桥梁的作用,几何问题中,若出现角平分线这一条件,可联想角平分线的特性,利用如下求解策略.     

近年高考中四类解三角形试题的分析

<正>在解决解三角形问题的过程中,要牢牢抓住两块基石:正弦定理与余弦定理．如果问题比较复杂,还可以借助诱导公式、倍角公式、半角公式、三角形面积公式以及相应的函数性质来解决问题．本文中结合近年高考数学试题中常出现的解三角形的四类题型进行分析求解．1类型一:面积问题例1 (2021年新高考Ⅱ卷第18题)在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．其中b=a+1,c=a+2．若2sin C=3sin A,求△ABC的面积．     

初中数学中的“解斜三角形”

<正>在初中数学中,我们学过"解直角三角形",其实,我们平时做题会遇见很多已知斜三角形(锐角三角形和钝角三角形)的边、角,要求未知的边和角这样的问题,我们可以将这类问题类比归纳为"解斜三角形".对于斜三角形,一共有六个元素(三条边、     

一道三角形最值题的多视角求解

<正>题目在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2b,△ABC的面积为2,则边a的最小值为___.分析1本题是一道限制条件下的三角形最值问题,主要考查余弦定理和三角形面积问题,通常情况下求解本题从正余弦定理与三角形面积公式的解题视角入手,凭借已知条件确定所求量的关系式,然后根据所学知识采取相应的解题方法求出最值即可.     

用60°角构造等边三角形解题

有些几何题条件中含有60°角,利用它构造等边三角形是个不错的想法,借助等边三角形的特性可以使隐含的关系明朗化,请看以下几例:     

探索三角形全等开放题型

三角形全等开放题型可分半开放和全开放题型两种,半开放题型包括对题设开放和对结论开放,全开放是指对题设和对结论都开放.熟练掌握三角形全等的判定是重点,灵活选用判定定理证明两个三角形全等是难点,正确迅速地寻找出两个全等三角形的对应边、对应角是关键,添加辅助线构造全等的条件是一种重要的手段.     

再谈用60°角构造等边三角形解题

2010年5期《中学生数学》刊发了笔者文章《用60°角构造等边三角形解题》,同年全国初中数学联赛一道选择题的条件中有两个角是60°.本文以该赛题为例,通过选择不同的边结合题中的60°角,构造等边三角形解题.     

挖掘基本图形 突破中考压轴题

本文从不同角度出发,对2022年贵阳市中考数学第16题的解法进行深入研究.通过挖掘基本图形,建立起已知条件与所求量之间的逻辑关系,给出问题的三种求解思路,得到五种基本解法.一是构造全等三角形,利用全等三角形的性质求解;二是挖掘相似三角形和直角三角形,利用勾股定理列方程求解;三是构造辅助圆,借助圆的性质求解.最后,得出与本题有关的两个基本结论.     

多视角思考三角形面积最值问题

<正>三角形面积问题是解三角形专题中的重要题型,尤其是三角形面积最值题,极能考查学生综合解决问题的能力,备受命题者们的青睐.三角形面积最值问题一般有两种类型:一是三角形面积最值的求解、二是求使得三角形面积取最值的条件.为了更好地帮助同学们学好     

圆中的相似三角形的赛题

<正>相似三角形与圆的赛题,综合性强,有一定的难度,解此类题通常需要熟练掌握相似三角形与圆相关的基本知识和基本技能,求解时注意运用有关性质,进行综合、分析探究解题思路;本文列举几例,供参考.     

一道课本习题的多种复习功能

一道课本习题的多种复习功能李严实（湖南永兴一中）高中课本《立体几何》第１１７页第五题：“将正方体截去一个角，求证：截面是个锐角三角形”．本人在教学中体会到．此题具有以下多种复习功能．一、角和射影的复习功能题１已知截得正方体一个角为Ｐ─ＡＢＣ，Ｐ为角的...     

初中数学竞赛试题选讲(续完)

三、正弦定理和余弦定理的应用关于三角形边与角的等量及不等量的关系,三角形的形状以及几何量的计算等方面题,常用正弦定理、余弦定理及面积公式S=(1/2)absinC求解。例10 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且c为最大边如果accosA bccosB<4S,其中S为△ABC的面积,求证△ABC是锐角三角形, 因c是最大边,故∠C是最大角,所以只要能证明∠C是锐角,命题即得证,而为此又只要证明cosC>0即可。这就使我们想到从余弦定理入手解题。由余弦定理及三角形面积公式,题设不等     

例谈圆的一性质在解题中的妙用

<正>"已知三角形中的一条边和该边所对的角,求与该三角形相关的长度或者面积的最值",这种类型的题,在模拟题中屡屡出现,一般这种题常用统一"边化角"方法来处理,但是计算过程比较繁琐.本文另辟蹊径,利用初中学过的圆的性质"同弧所对的圆周角相等"来构造三角形的外接圆,使已知边为圆的一条弦,该弦所对的圆周角为已知角,这样三角形的另一个顶点就落在圆周上,这就可以利用圆的性质来解决了.并且解题过程相当简洁,下面举例     

“两分角线相等的三角形必等腰”的三角证法

在平面几何中有一道几何题:“如果一个三角形的两条角平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形.”它的证法已有多种,一般较烦难.这里介绍一种三角证法,比较简捷,容易掌握.     

全等三角形的证明

全等三角形的性质是证明角或线段相等的重要依据.是初中几何的奠基石.因此掌握全等三角形的证明是学好平面几何的关键,是进一步学好后续知识的基础. 那么,怎样证明两个三角形全等呢?本文以近年中考试题为例谈几点看法,以期提高大家的证题能力.     

解斜三角形

1．本单元知识的重点、难点分析 本单元的重点是正弦定理和余弦定理,这两个定理将三角形的边、角关系以公式的形式给出来了,应注意公式的推导、理解、变形形式与灵活应用,能够运用解斜三角形知识求解实际应用问题．本单元的难点是灵活运用正弦定理、余弦定理解斜三角形．学习本单元知识时,必须掌握好解斜三角形的基本思想方法,注意数形结合,灵活运用正弦定理和余弦定理,实现三角形的边、角关系的相互转化,从而实现问题的解决．