对一道高考试题的再研究

<正>1试题赏析高考题1 (2010年江西卷理科第10题)过正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA_1所成的角都相等,这样的直线l可以作()．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条试题虽小但值得研究与思考．本题很好地考查了空间直线、直线与平面、线线角的概念的理解、空间想象能力、问题的转化与化归能力、分类讨论的思想以及知识的迁移能力等．本题解题思路广,解题方法多．     

立体几何中轨迹问题的多角度思考

<正>立体几何中的轨迹问题往往是一个难点．在高三复习中,为大幅提升解决空间轨迹问题的能力,我们可以尝试一题多解,从不同角度思考,重构思维脉络,形成解决此类问题的方法体系．本文以一道浙江省三地市高三联考题为例,浅议高三复习．(2021年5月金丽衢十二校高三第二次联考第9题)如图1,正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,P为平面AB_1D_1内一动点,     

一道试题的多角度求解与探究

<正>1题目呈现(THUSSAT2021年10月测试第12题,注:多选题)如图1,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,M,N分别为AB,A_1B_1的中点,P为边C_1D_1上的一点(包括端点),Q是平面PMB_1上一动点,满足∠MNA=∠MNQ,则点Q所在的轨迹可能为()．(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)圆2背景溯源本题中考查的是平面截圆锥曲线的截线问题,在北师大版教材(2019年版)选择性必修一中,以阅读材料的形式给出了这一部分知识,详见第75页,小结如下:     

探究正方体的截面问题

<正>正方体的截面是由平面与正方体各表面的交线构成的平面图形.截面怎么作图,可能有哪些形状?通过网络画板的探究、展示,我们发现截面可能是三角形、四边形、五边形和六边形,如图1所示.近几年,高考立体几何试题紧紧围绕空间想象能力和逻辑思维能力进行考查,这也体现了课标对直观想象的核心素养的要求.(2018年全国卷理科数学12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为().     

正方体截面问题的再研究

文[1]作者通过两例给出了过正方体三条棱中点作正方体截面的作法,并在文末提出这样的思考问题.问题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是三对互为异面直线的棱上任一点(端点除外),能否类似作出过这三点的截面?本文拟给出此问题的解答,但要首先解决其中三点中有两点在正方体的同一个表面上的类似问题.     

考点30 空间角与空间距离

1.(江苏卷,4)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为().(A)43(B)23(C)343(D)32.(湖南卷,5)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为().(A)21(B)42(C)22(D)23第2题图第3题图3.(福建卷,8)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是().(A)arccos15(B)π(C)arccos510(D)2π第4题图4.(辽宁卷,14)如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABC…     

直线与平面

一、选择魔(有且只有一个选择支正确) 1.下面的判断中正确的是().. (A)任意三点确定一个平面. (B)一条直线和任意一点确定一个平面. (C)两条互相垂直的直线确定一个平面. (D)和同一条直线都相交的三条平行线确定一个平面. 2.正方体的一条对角线与它的棱共可组成多少对异面直线(     

怎样作出正方体的截面

2005年高考数学文理卷均有这样一道选择题:正方体ABCD——A1B1C1D1中,P、Q、R 分别是AB、AD、B1C2的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．     

新题征展(20)

A　题组新编1 .已知 z∈ C,解下列方程 :( 1 ) z2 - 5| z| 6 =0( 2 ) z| z| - 5z 6 =0( 3) z| z| - 5| z| 6 =0( 4 ) | z2 | - 5| z| 6 =02 .已知棱长为 a的正方体 ABCD -A1B1C1D1,则( 1 )各棱在平面 AB1D1上的射影长之和为 ;( 2 )各棱与平面 AB1D1所成角之和为;( 3)各面在平面 AB1D1上的射影的面积之和为 ;( 4 )各面与平面 AB1D1所成角之和为.3.( 1 )在实数集 R上定义的函数 f( x) ,对任意α,β有f (α) f (β) =f ( α β2 ) f ( α -β2 ) ,且　 f ( 1 ) =2 ,f ( x) 2 ,则满足条件的一个函数是 .( 2 )已知 f ( x)…     

一道数学竞赛题的几种解法

一九八五年省市自治区高中联合数学竞赛第二试第二题:如图1,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,E是BC的中点,F在AA_1上,且A_1F:FA=1:2,求平面B_1EF与底面A_1B_1C_1D_1所成的二面角。除《标准答案》的解法外,另提供几种解法,供参考。     

正方体及其展开图

我们知道 ,正方体共有六个面、十二条棱、八个顶点 .我们可以沿着其中若干条棱将正方体剪开后展开成平面 ,成为六个不同位置的正方形 ,它们中每一个正方形至少与另一个正方形有一条公共边 (不允许只有一个公共顶点的情形出现 ) ;反过来说 ,展开图上六个边与边相连的相同小正方形 ,我们也可以沿着其中若干条边折叠 ,使其成为正方体如图 ( 1 ) .在正方体中上与下 ,左与右 ,前与后都是相对的面 ,上与左 ,右与后等是相邻的面 .( 1 )我们首先研究平面上六个不同位置的正方形何时才能折叠成正方体 .通过观察图 ( 1 ) ,显然的事实是 :1 排在同一条…     

一道高考题的引申

20 0 3年高考全国卷第 1 6题 :下列五个正方体图形中 ,l是正方体的一条对角线 ,点M ,N ,P分别为其所在棱的中点 ,能得出l⊥面MNP的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号 )①　　　　　　　②　　　　　　　③④　　　　　　　　　⑤此题涉及知识面广 ,思维量大 ,解法灵活多样 .考虑到MN ,MP ,NP均为正方体各棱的中点的连线 ,由此引申出一个更一般的命题 :正方体每两条棱的中点的连线与正方体的一对角线l所成的角为多少度 ?为此我们讨论如下问题 :问题 1　正方体每两棱的中点连线有多少条 ?因正方体共有 1 2条棱 ,故它们的中点连…     

从一题多证看直线与平面平行的证明

<正>题目如图所示,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,M,N分别是C_1C、B_1C的中点,求证:MN∥平面A_1BD.分析线面平行的证明用几何法和向量法都可以证明,本题也不例外,题目虽很简单,但其证明方法却包罗了线面平行的主要证法,现证明如下:证法1(线面平行的判定定理法)连接B_1C,根据正方体的性质可知,B_1C∥A_1D.     

解析几何试题的新背景

新一轮数学课程改革从理念、内容到实施 ,都有较大的变化 ,特别是要求学生具有一定的数学视野 ,能关注数学的文化价值 .如何将这些新课标的课改理念渗透到日常的高三复习之中 ,笔者认为 ,除了打好基础之外 ,还应注意培养学生从新背景中去发现问题、解决问题的能力 .下面笔者就解析几何试题的新背景作一例谈 ,以飨读者 .1　以立体几何为背景例 1　在正方体ABCD -A1 B1 C1 D1 的侧面AB1 内有一点P ,点P到直线AB与直线B1 C1 的距离相等 ,则动点P所在曲线的形状为(　　 )(A) (B) (C) (D)图 1　例 1图评析　此题将抛物线定义寓于正方体…     

在正方体中巧解正四面体问题

将正四面体嵌入正方体中,利用正方体中的线面关系,可以将正四面体的一些比较复杂的计算化简,利用正方体中的线面关系,可以使空间想象更清晰. 例1 (2003年全国高考试题)一个四面体的所有棱长为2~(1/2),它的顶点在同一球面上,则     

数学竞赛之窗

有关本栏的稿件,请直接寄给熊斌(200062,华东师范大学),或冯志刚(200231,上海市上海中学).提供试题及解答请尽量注明出处.本期给出由上海的至刚先生提供的1999年保加利亚数学奥林匹克(第四轮)试题及解答.收稿日期:2000-04-061999年保加利亚数学奥林匹克第四轮1　将一个长方体(边长为整数,且被分为若干个单位正方体)的表面染成绿色,已知没有染上绿色的单位正方体的个数为长方体中单位正方体个数的13,求这个长方体的三条棱长.2　设数列{ａｎ}为一个整数数列,满足:对任意自然数ｎ,均有(ｎ-1)ａｎ 1=(ｎ 1)ａｎ-2(ｎ-1).　若2000|ａ1999,求最小…     

例析用向量法解立体几何问题

<正>空间向量是解决立体几何问题的重要工具之一,而空间向量数量积又是求解高考立体几何问题的一把"利剑",它的应用非常广泛.本文谈谈如何量利用向量法巧思妙解立体几何题.一、线面角问题例1(2015年新课标2理科)如图1,长方体ABCD—A_1B_1C_1D_1中,AB=16,BC=10,AA_1=8,点E、F分别在A_1B_1、D_1C_1上,A_1E=     

再谈多面体的截面问题

<正>多面体的截面问题历来是高考和各地模拟考试考查的重点问题,常考查多面体截面的作法以及截面面积(或周长)等问题的求解,文献[1]对多面体截面的作法作了较为详细的讨论,但未对截面的面积(或周长)作过多的介绍,本文立足多面体截面的面积这一视角,通过实例谈谈多面体截面面积的求解策略.1过一点的截面例1已知正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱长为1,过点A作平面α,若平面α截该正方体所得的截面为β,当截面β为三角形时,     

选择题三道

本专栏提供三个“四里挑一”的选择题,都要求回答,故称一望而解。 1 图右所示是个从前、上、右方向看去的正方体,只须变更其中 (A)四对, (B)三对, (C)两对, (D)一对。棱的虚实,则变成一个从前、下、左方向看去的正方体。 2 所有对角线相等的棱柱一定不是 (A)正六棱肚, (B)正五棱柱。 (C)正四棱柱, (D)长方体。     

2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.已知a,b是方程log3x3 log27(3x)=-34的两个根,则a b=()A.2170B.841C.8110D.82182.设D为△ABC的边AB上一点,P为△ABC内一点,且满足AD=43AB,AP=AD 25BC,则SS△△AAPBDC=()A.130B.52C.175D.1853.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,2π)时,f(x)=sinx,则f(83π)的值为()A.23B.-23C.21D.-214.已知ABCD-A1B1C1D1是一个棱长为1的正方体,O1是底面A1B1C1D1的中心,M是棱BB1上的点,且S△DBM∶S△O1B1M=2∶3,则四面体O1ADM的体积为()A.274B…