由两个简单结论引发的对一道竞赛题的探究

结论一:角平分线+垂线(→)等腰三角形(及底边的中点). 具体理解:如图1,OP是∠MON的平分线,AB ⊥OP,分别交OM、ON于点A、B.则有以下结论成立:①OA =OB;②点C是AB的中点.即△AOB是等腰三角形,垂足是等腰三角形底边的中点.特别说明:结论②用的更多一些.证明比较简单,这里从略. 结论二:直角三角形一个锐角的平分线与斜边上的高线以及该锐角的对边围成等腰三角形. 具体理解:如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的一条角平分线AM相交于点P.求证:CM=CP(△CMP是等腰三角形).     

“两分角线相等的三角形必等腰”的三角证法

在平面几何中有一道几何题:“如果一个三角形的两条角平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形.”它的证法已有多种,一般较烦难.这里介绍一种三角证法,比较简捷,容易掌握.     

构造特殊线在几何证明中的妙用

<正>在几何图形中,有一些常见的具有独立性质的线,如平行线,角的平分线,三角形的中线和中位线,圆的切线等等,它们在图形中有着重要地位,也常常是证明几何题的重要条件.如果在已知图形中没有这些特殊线,但解题时又需要借助于特殊线的性质,那么就构造适当的特殊线,从而摆脱困境.1构造平行线平行线的性质主要有:两条平行线被第三条直线所截,则内错角相等,同位角相等,同旁     

利用角平分线的对称性解题

<正>角平分线是初中平面几何的重要概念之一,是初中几何题目中的"常客",如何挖掘角平分线的内在性质,往往成为解题的关键.本文就如何利用角平分线的对称性转移条件解题,谈谈自己的一点认识.原理角是一个轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线.操作角的角平分线一侧的图形元素(点、线段、三角形等),在角平分线的另一侧必有与之对应重合的部分.在图中找出,或在图中补出,实现题目条件的转移和转化,从而解     

“空间与图形”复习(一)

一、重点知识回顾1、“图形的认识”(1)点、线、面的认识·(2)角的认识·(3)相交线与平行线的认识·(4)三角形:三角形及有关概念;三角形的角平分线、中线和高的画法,三角形的稳定性;三角形中位线的概念和性质;全等三角形的概念、性质与两个三角形全等的条件;等腰三角形的有关概     

用翻折法找辅助线位置

在解平面几何问题时,经常要作辅助线,有些问题的辅助线添加在什么位置,往往很难确定.学过了轴对称以后,根据轴对称原理,把图形绕某直线翻折,翻折图形中的某点(或线段)的座落位置,就是添加辅助线的位置,再恰当作出辅助线就容易解题了. (一)用角平分线所在直线为轴翻折找辅助线位置 角是关于它的平分线所在直线为轴的轴对称图形,图中若有角平分线或可证明是角平分线,就可以用角平分线所在直线为轴翻折,从而作出辅助线. 例1 已知如图1,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于     

重视几何结论在解竞赛题中的应用

<正>在几何的学习中,积累一些常用的几何结论与掌握经典的基本图形同等重要,这些结论往往能起到事半功倍的效果.现以几道竞赛题为例,说明熟记一些几何结论的必要性.一、关于角平分线的几个结论(1)如图1,在△ABC中,作∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,则∠P=90°+(1/2)∠A.(2)如图2,在△ABC中,延长BC到点D,作∠ABC和外角∠ACD的角平分线交于点P,则∠P=(1/2)∠A.     

同位角 内错角 同旁内角

同位角、内错角、同旁内角是平面几何中出现的三种很重要的角,它是学好平行线的前提.部分同学由于对这三种角缺乏深入的认识,以致在复杂的图形中难以分辨.我们认为学好这三种角需注意以下几个方面:     

用面积法探究三角形的边角关系

<正>"面积法"是平面几何中解决问题的一种重要方法,平面几何中基本方法能解决的问题绝大部分都可用"面积法"来解决.笔者用"面积法"推导三角形的角平分线定理时联想到,去除"角平分线"这个条件时,三角形中的边的比例关系是否存在?探究得两个三角形中的边角关系结论,并用它来尝试解决了平面几何题.     

欧几里得为何舍近求远?

<正>等腰三角形是一种轴对称图形,它具有许多重要的性质,其中“等腰三角形的两底角相等”这条性质的证明方法十分丰富．教材中给出了3种证法．已知,如图1,在△ABC中,AB=AC,求证∠B=∠C．证法1作顶角的平分线,用“SAS”证明．证明如图2,作顶角的平分线AD,所以∠1=∠2,     

等腰三角形性质的MM方式的教学设计

1.教材分析 :“等腰三角形性质”是平面几何中的一个重要内容 .九年义务教育人教版教材将其放在全等三角形、基本作图与对称之间 ,是作为三角形全等的一个应用 ,同时也是研究轴对称图形的一个原型 .从本质上讲 ,等腰三角形的性质是其关于顶角平分线的对称性 .“等腰三角形性质”学习后 ,将使题目的难度有明显的增加 .因此这一部分是一个重要的承前启后的内容 .2 .设计思想与方法指导思想是 :体现 MM方式 ,力图使数学技术教育和数学文化教育两个功能水乳交融 ,相得益彰 .设计方法是 :1挖掘等腰三角形性质所蕴含的数学思想 . 2沟通等腰三角形…     

回归平面几何视角，妙用角平分线定理

作为平面几何中的一个重要定理,三角形的角平分线定理在判断图形结构特征与构建线段比例关系等方面具有重要的作用.结合高中数学中解三角形、平面向量、平面解析几何等模块中的问题,借助三角形角平分线定理的应用,总结解题研究与技巧方法,全面培养学生数学核心素养.     

初二几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三边上 ,那么这个三角形是三角形 .2 .到线段两端点的距离相等的点在 .3 .等边三角形ABC中 ,∠B ,∠C的平分线交于O ,O到点B ,C的距离为 2 3 cm ,则△ABC的周边长为cm ,面积为cm2 .4.如图 1 .∠B =∠C =60°,∠B ,∠C的平分线交于O ,过O点作MN∥BC .若BC =6cm ,则MN= .5 .等腰直角三角形的面积为2cm2 ,则斜边上的高为cm .6.边长为a的等边三角形的面积等于 .7.以 1 0cm为底的等腰三角形 ,腰长x的取值范围是 .8.如图 2 .已知AD∥BC ,则∠ 1 …     

见到中点,你想到什么

线段的中点是几何图形中一个特殊的点.见到中点我们应当构造出等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线、中心对称图形、三角形与梯形中位线等基本图形;掌握添加辅助线的方法:中点、中线、延长线、平行线.     

点线角——高考题中不可或缺的元素

点、线、角是平面图形中的支点与基本量,近几年高考中对解析几何中圆锥曲线的考查侧重于用代数的方法解决几何问题．考查的形式常结合中点、角平分线、中垂线、角度等几何量,运用方程思想、向量工具及平面几何性质,综合考查考生的逻辑思维能力、化归能力、运算能力等．     

一道等腰三角形问题的变化与引申

<正>重读周春荔教授的"初中平面几何基础培优专题讲座",我们增加了平面几何知识、提升了解题能力和数学素养,学习周教授的证题方法,也寻求自己的证明方法,现把其中一例展示给老师和同学们.1原例题呈现(《中学生数学》2016年8月(下)《等腰三角形综合探究(上)》例4)如图1,在△ABC中,AB=AC,AH是底边BC上的高,BD是底角B的平分线,过点D引BD的垂线交BC于E,DF⊥BC于点F.     

初二几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如图 ,在△ABC中 ,AH⊥BC于H ,则图中以AH为高的三角形共有个 .2 .一个三角形的两边长为2、9,第三边长为偶数 ,则三角形的周长为 .3 .已知△ABC中 ,∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶4,则这个三角形是三角形 .4.如图 ,已知AD ,BC相交于E ,且OA =OC .补充一个条件 ,可使△OAD≌△OCB ,应补充的条件是 (只须写出一个条件 ) ,此时 ,判定△OAD与△OCB全等的理由是 (填判定公理或推论的简写形式 ) .5 .等腰三角形中 ,有一个内角为 5 0°,则其余两个角的度数为 .6.等腰三角形的角平分线、中线和高共…     

与三角形角平分线相关的三条结论

三角形的三个内角之和为180°,这是平面几何中一条十分重要的定理.那么在此基础上,三角形的内角或外角平分线与其内角间有怎样的关系呢?本文总结出与角平分线有关的三条结论.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°;结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半;结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.证明如下:1.如图1,△ABC中,∠ABC与∠BCA的角平     

角平分线性质的“威力”

角平分线的性质告诉我们:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.反之,角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.这两个结论有很多用处,可以用来求线段的长度、角的度数、线段的关系等.下面以2011年中考试题为例来展现角平分线性质的     

利用角平分线构造轴对称图形

<正>角平分线是初中数学中的一个基础图形,它在几何的计算或证明中,起着很重要的作用.角本身是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴,依据角的对称性,结合角平分线的性质,可以构造多种轴对称图形,这些图形会给解题带来极大方便.下面举例说明如何利用角平分线构造轴对称图形.