平面束的方程

关于平面束的方程,有些通用教材的讲述似有不完善之处,今提出来向大家请教.例如,有教材一方面说“通过定直线的所有平面的全体称为平面束”;另一方面又说“方程A_1x B_1y C_1z D_1十 λ(A_2x B_2y C_2z D_2)=0(其中λ为任意常数)称为通过直线L:A_1x B_1y C_1z D_1=0A_2x B_2y C_2z D_2=0 (A_1:B_1:C_1≠A_2:B_2:C_2)的平面束方程.”     

一道数学竞赛题的几种解法

一九八五年省市自治区高中联合数学竞赛第二试第二题:如图1,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,E是BC的中点,F在AA_1上,且A_1F:FA=1:2,求平面B_1EF与底面A_1B_1C_1D_1所成的二面角。除《标准答案》的解法外,另提供几种解法,供参考。     

直线束与比例线段

定义:过一点可以引无数条直线,这些直线称为这点的直线束。 定理:一线束被两条(或者更多条)的平行线所截,则将这线束分成比例线段。 已知:NN‖M′N′,过O的直线OA、OB、OC、OD分别交MN于A_1,B_1,C_1,D_1,交M′N′于A_2、B_2、C_2、D_2。     

立体几何中轨迹问题的多角度思考

<正>立体几何中的轨迹问题往往是一个难点．在高三复习中,为大幅提升解决空间轨迹问题的能力,我们可以尝试一题多解,从不同角度思考,重构思维脉络,形成解决此类问题的方法体系．本文以一道浙江省三地市高三联考题为例,浅议高三复习．(2021年5月金丽衢十二校高三第二次联考第9题)如图1,正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,P为平面AB_1D_1内一动点,     

从一题多证看直线与平面平行的证明

<正>题目如图所示,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,M,N分别是C_1C、B_1C的中点,求证:MN∥平面A_1BD.分析线面平行的证明用几何法和向量法都可以证明,本题也不例外,题目虽很简单,但其证明方法却包罗了线面平行的主要证法,现证明如下:证法1(线面平行的判定定理法)连接B_1C,根据正方体的性质可知,B_1C∥A_1D.     

例析用向量法解立体几何问题

<正>空间向量是解决立体几何问题的重要工具之一,而空间向量数量积又是求解高考立体几何问题的一把"利剑",它的应用非常广泛.本文谈谈如何量利用向量法巧思妙解立体几何题.一、线面角问题例1(2015年新课标2理科)如图1,长方体ABCD—A_1B_1C_1D_1中,AB=16,BC=10,AA_1=8,点E、F分别在A_1B_1、D_1C_1上,A_1E=     

再谈多面体的截面问题

<正>多面体的截面问题历来是高考和各地模拟考试考查的重点问题,常考查多面体截面的作法以及截面面积(或周长)等问题的求解,文献[1]对多面体截面的作法作了较为详细的讨论,但未对截面的面积(或周长)作过多的介绍,本文立足多面体截面的面积这一视角,通过实例谈谈多面体截面面积的求解策略.1过一点的截面例1已知正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱长为1,过点A作平面α,若平面α截该正方体所得的截面为β,当截面β为三角形时,     

巧用解析法 体会立体图形之美

<正>空间想象能力是人们解决现实生活中空间问题所必须具备的能力,也是必备的数学素养之一．高考中常以正方体为基本几何载体,全面考查函数、解析几何等的知识交汇点．1问题(2010年全国Ⅱ卷理科数学第11题)与正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的三条棱AB,CC_1,A_1D_1所在直线的距离相等的点()．(A)有且只有1个(B)有且只有2个(C)有且只有3个(D)有无数个方法1利用对称性,想象整个正方体绕对角线B_1D旋转,可以发现三条棱AB,CC_1,     

解二元二次方程组的通法

对于一般的二元二次方程组A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0,A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0。可以写成下列形式 A_1x~2+(B_1y+D_1)x+ A_2x~2+(B_2y+D_2)x+ (C_1y~2+E_1y+F_1)=0 (1) (C_2y~2+E_2y+F_2)=0 (2)也可以把它写成y的降幂排列形式,如果把x~2、x作为两个未知数,那么解此二元一次方程组,有     

三棱柱中折线的最值问题

<正>问题呈现如图1,在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC_1=2(1/2),P是BC_1上一点,则CP+PA_1的最小值是____.讨论经历易知,若A_1、P、C三点在一条直线上时,A_1P+CP最短.连接A_1B,即可将平面A_1C_1B_1沿BC_1翻折,使之与平面BCC_1在同一平面(如图2)。     

图形在平面直角坐标系中的位似变换

<正>图形在平面直角坐标系中的位似变换及变换前后对应点的坐标有何规律?请看下面两个例题:例1如图1,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(2,-2),B(1,1),C(6,2).以原点O为位似中心,在y轴右侧,画出△A_1B_1C_1,使△A_1B_1C_1与△ABC的位似比为2:1,并写出点C_1的坐标.     

一道课本习题的探究

<正>问题提出(人教A版选修4-4p_(34)习题第2题)已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B_1,B_2的连线分别与x轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心,求证:|OP|·|OQ|为定值.1解法探究解法1设M (a cosθ,bsinθ),P(x_P,0),     

一道第49届IMO试题的解题分析

第49届IMO第一题是一道平面几何题:已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A_1,A_2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B_1,B_2;以边.AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C_1,C_2.证明:六点A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2共圆.     

理科第(23)题别解

题 如图,已知A_1B_1C_1-ABC是正三棱柱,D是AC中点。 (Ⅰ)证明AB_1∥平面DBC_1; (Ⅱ)假设AB_1⊥BC_1,求以BC_1为棱,DBC_1与CBC_1为面的二面角α的度数。     

六年級幾何課的計劃(續)

第四十一课本课主题:平面上直线的相互位置,平行线定义本课主题Ⅰ.课外作业检查(在黑板上).Ⅱ.复习提问.已知底边,一底角及两腰之和,求作三角形,什么叫做公理、直线公理?Ⅲ.学习新教材.直线公理是说通过两点D与D_1可能且只能引一直线AB.假定仍通过此二点再引第二条直线A_1B_1时,则与第一     

立几中几种常用的解题策略

本文归纳梳理立体几何中常用的几种解题策略.(一)联想试探法:联想熟悉的问题进行探求例1 平行六面体 ABCD—A_1B_1C_1D_1中,对角线 AB_1,B_1C,BD_1两两互相垂直,其长度分别等     

选修4-1圆柱面的平面截线中的一个错误

2007年4月第2版,2008年5月第1次印刷的普通高中课程标准实验教科书·数学B版选修4-1"几何证明选讲"P40 "2.1.2圆柱面的平面截线"中有一个很明显的错误.课本中说: "如果一个平面与圆柱的轴截面所成的角为锐角,截圆柱所得的截线的形状是什么样的.     

抛弃观察完美计算二面角大小

<正>用平面的法向量求二面角大小时,需要对二面角进行观察方可得到正确结果.如例1所示.例1长方体A-C_1中,AB=AA_1=2,AD=3,E为C_1D_1的中点,求二面角B_1-A_1C-E大小的余弦.     

对一道高考试题的再研究

<正>1试题赏析高考题1 (2010年江西卷理科第10题)过正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA_1所成的角都相等,这样的直线l可以作()．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条试题虽小但值得研究与思考．本题很好地考查了空间直线、直线与平面、线线角的概念的理解、空间想象能力、问题的转化与化归能力、分类讨论的思想以及知识的迁移能力等．本题解题思路广,解题方法多．     

阿波罗尼斯圆的变式应用

<正>人教A版必修2第140页利用"几何画板"探究了动点轨迹的形状:已知点P(2,0)、Q(8,0),点M与点P的距离是它到点Q距离的1/5,探究点M的轨迹,并给出轨迹的方程.得到点M的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.阿波尼斯圆的定义:平面内,若动点P到两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹是圆,称之为阿波罗尼斯圆.