聚焦网格作图

<正>所谓网格作图,就是仅利用无刻度直尺,根据正方形网格的性质,利用格点来作图,其难点在于找到符合条件的格点,下面举例说明其方法.1确定三角形顶点例1如图1G1,在8×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上.在图中找一点E (点E在小正方形的顶点上),使tan∠AEB=2(AE 相似文献   

一道面积问题的思考

<正>看课外书时,遇到这样一道题:如图1,当E在正方形ABCD的对角线上,作Rt△FEG,与BC,DC相交于M,N.正方形ABCD的边长为a,EC=2AE,求重叠部分的面积.第一眼看到这道题时,不知从何下手.想着想着,突然想起书上的"丰富多彩的正方形"中的一个问题:如图2,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A_1B_1C_1O的     

一道中考题的解答探究

<正>1.题目呈现(2015年江苏泰州第25题)如图1,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由;(3)求四边形EFGH面积的最小值.2.解法探究本题的第(1)问是正方形性质和判定相结合的一道题目.证明的思路可以先证明四边形     

正方形中的一个规律

在正方形中,存在许多规律,我们遇到这样的题目时,要多思考,挖掘本质特点,才能有利于掌握知识.图1已知:图1,两个全等的正方形ABCD、FEGO,且O为正方形ABCD的中心,正方形的边分别交于M、N两点;可得性质S四MBNO=14S正ABCD.     

旧问新思考

<正>在初中数学教学中有这样一道经典的题目:[1]如图1,在正方形ABCD中,P是BC边上的任意一点,连接AP,过P作AP的垂线交正方形外角平分线CF于点E,求证:AP=EP.解决这个问题的方法中,大多数采用构造含AP和PE的两个三角形,证明它们全等的方法,得到AP=PE.和这个问题类似的还有这样一个问题:     

简析以正方形为基的中考题的做法

<正>正方形形不仅具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质,而且具有轴对称性和中心对称性的美,还体现了角平分线、线段垂直平分线等性质,以正方形为基的考题历来是中考数学命题的热点和焦点之一.这些题的结构特点是:利用正方形的一些性质,结合其它知识点构成中考题,题目形式多样,精彩纷呈,很好地考查了图形类的主要知识点,以及学生分析问题和解决问题的能力.解题的切入点就是很好的利用正方形的性质,再综合其它知识通盘考虑去解答.一、利用正方形的角是直角图1例1(2013年长春)如图1,MN是⊙O的弦,正方形OABC的顶点B、C在MN上,且点B是CM的中点.若正方形OABC的边长为7,则MN的长为.     

一道常见题的证明、一般化和拓展

<正>1问题呈现已知如图1,O是正方形ABCD的对角线AC与BD的交点,AF平分∠BAC,DH⊥AF于点H,分别交AB,AC与点E,G.求证:OG=1/2BE.本题的一种证法是应用梅涅劳斯定理,即如图1,△ABO被直线ED所截,     

例说构造辅助图形解平面几何题

初中平面几何中 ,正方形与圆是比较完美的几何图形 ,它们具有其他图形难以企及的性质 .挖掘题设条件 ,展开联想 ,构造出相应的正方形或圆 ,其特性即可得到充分利用 ,使解题过程简捷明快 ,生动有趣 .本文例谈构造正方形与圆帮助解题的思维策略 .一、构造辅助正方形构造辅助正方形一般是以题目中出现的直角为基础 .例 1　如图 1 .在等腰直角△ABC中 ,AB =1 ,∠A =90° ,点E为腰AC的中点 ,点F在底边上 ,且FE⊥BE ,求△CEF的面积 .解 :以等腰直角△ABC为基础 ,作正方形ABGC(如图 1 ) .延长EF交CG于H .因FE⊥BE ,易证Rt△AEB∽Rt…     

一道课外练习题的再思考

<正>题目(中学生数学2017年7下P47)如图1,点P是正方形ABCD对角线BD上任意一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别是E、F,求证:AP⊥EF.这里从利用三角形全等、三角形相似、平行线的性质等方面思考解决问题.解法1利用三角形全等.     

网格小 容量大——以武汉市2021年中考试题为例探讨网格中分割线段

<正>1题目呈现及分析题目(2021年武汉)如图1是由小正方形组成的5×7网格,每个小正方形的顶点叫做格点,矩形ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.先在边AB上画点E,使AE=2BE,再过点E画直线EF,使EF平分矩形ABCD的面积.     

一道几何题的解法探索

<正>题目如图1,F为正方形ABCD的对角线AC上一点,M为CF的中点,FE⊥AD于点E.(1)求证:MB=MD;(2)试判断线段MB和ME之间的关系,并证明你的结论.问题(1)比较简单,利用三角形全等或正方形的对称性很容易证明.现在我们感兴趣的是问题(2).线段MB和ME之间的关系应该包括数量关系和位置关系.可以通过观察图形或采用度量的方法猜测MB=ME,且MB⊥ME.下面仅以两条线段的数量关系证明.     

一道课外习题的多种证法和说明

<正>《中学生数学》2020年8月下(初中版)课外练习初二年级第3题:问题呈现已知如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CM⊥AB于点M,点D在BC上,且AC=CD=DB,AD与CM交于点E.求证:2AE=ED.本题看似繁复,实则简单.它是一直角边为另一直角边2倍的直角三角形,在正方形问题中经常出现,只不过把它从正方形分离出来,变化为直角三角形的问题.     

一道经典几何题的多种解法

<正>一题多解有利于调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,有利于培养学生的创新思维能力.下面,以八年级一道经典几何题为例.题目如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.一、利用全等三角形的性质证明两线段相等解法1如图2,在AB上截取AG,使得AG=CE,易得BG=BE,     

圆方趣谈——圆与正方形

<正>我们知道任何一个圆都有外切正方形,任意一个正方形都有一个内切圆,这可能是圆与正方形之间最为"密切"的关系.除了这种显而易见的"密切"关系之外,二者之间还有一种较为深入的有趣的关系.一、已知正方形,不用圆规可以画出它的内切圆的草图已知正方形ABCD,边长为2r,边AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H,连接EG、HF,两线交于点O,如图1所示.将OF四等分,分点记为R、     

一道有趣的高考数学试题的延伸与拓展

2012年高考数学全国卷(大纲版)的文理科选择题第12题,非常有趣,试题如下:文科12题:正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=1/3,动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为()     

例谈中考题中的正方形问题

<正>正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,非常美观,有很多重要的性质,经常出现在中考选择和填空题中,请看下面几例.一、线段长度问题例1(2017天津)如图1,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,     

一道正方形习题的证明与变式

<正>题目如图1,B、C、E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形(两正方形边长不等),点G在边DC上,连接AF、DE.试证明AF=2^(1/2)DE.证法一如图2,延长FG与AB交于点H,显然FG⊥AB于H,设正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b(不妨设a>b),在Rt△AHF中,AF(1/2)DE.证法一如图2,延长FG与AB交于点H,显然FG⊥AB于H,设正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b(不妨设a>b),在Rt△AHF中,AF²=AH2=AH²+HF2+HF²,因     

对一道课本习题的浅析

问题人教版数学八年级下册教科书第133页的第15题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.图1图2证明在AB上任取一点M,使AM=EC,连结ME,如图2.因为∠MAE=∠FEC,∠AME=∠ECF,所以△AME≌△ECF故AE=EF.这是按教材提示做辅助线,很容易获得的结果.但是我们面对这一经典的习题不妨做些如下的探讨和研究:①将“问题”中的“E为BC的中点”,改为“E为线段BC上的任意一点”,其他条件不变.求证:AE=EF.(如图3)为使问题一般化,我做如此变换,下面探讨的方法仍然适合特殊情…     

在网格中求一个角的三角函数值的常用方法

<正>题目如图1,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、P、C、D、E、F都在这些小正方形的顶点上,AP的延长线交CD相交于点B,求sin∠CPB的值.解析求一个角的三角函数值一般有哪些方法?由三角函数不难联想到直角三角形.方法一构造一个所求角为内角的直角三角形.     

费尔马问题在圆锥曲线中的拓广

对费尔马问题有一组有趣的等比关系式. 性质1 如图1,OX轴上方是圆x2+y2=a2的上半部分,OX轴下方是正方形ABCD,边长等于圆的直径2a.在半圆上任取一点P(端点A、B除外),连结PC、PD分别交AB于点E、F.则|AF|·|BE|=|EF|2.