核心素养指向下的新定义创新题应关注什么——从2021年北京西城高三数学期末第21题说起

<正>近年来,以数列或集合为背景的新定义创新题一直是北京高考数学的特色.新定义创新题的显著特征是"新"和"活","新"体现在情境新和立意新,"活"体现在思维灵活,下面以2021年北京西城数学期末第21题为例,谈一谈数列创新题的考查应关注什么,怎么思考.     

2005年全国各地高考与模拟数学试题评析——数列与极限

1考点与命题 1．1客观题考点分析 1．1．1考查数列的概念 一般是先给出数列的递推公式，然后求数列的通项或前n项的和；或者研究新定义下数列项的特征等等．     

独具魅力的新数列——"等方差数列"

纵观近年全国高考试题和各省市高考模拟试题,数列一直是创新改革题型的"试验田",一些新定义型数列频频出现,这些新定义型数列是考查学生迁移和探究能力的极好素材,具有很好的区分和选拔功能.下面再给出一种独具魅力的新数列--"等方差数列",同时结合典型例题加以剖析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.……     

数形结合巧解数列问题

数列的本质是定义在自然数N^＊上的函数,我们在学习数列时不妨用函数的观点来认识数列,理解数列,用研究函数的方法来研究数列,用数形结合的方法来解决数列中的问题．下面举例说明．     

四、数列、极限、数学归纳法

知识要点］本章知识主要包括：数列的一般概念、通项、前ｎ项和公式的意义、数列｛ａｎ｝与｛Ｓｎ｝的关系;等差数列、等比数列的定义、判定、性质及其应用．数列的求和;数列极限的计算;数学归纳法及应用．本章的重点是等差数列和等比数列,有关数列的问题,大多要归结...     

等差等比递归数列性质初探

1问题的提出观察数列一般地,我们给出：定义1若数列{an}满足递推关系其中u．v（v=0)为常数，则称{an}为一型等差等比速归数列．称u为为公差，v为公比．定义2若数列{an}满足递推关系其中u，v（v=0）为常数，则称{an}为二型等差等比递归数列．称u为公差，v为公比．显然，非军常数列是以上两型数列当公差为年同时公比为1的特例．由定义可得定理1若｛an｝为互型数列，则{an 1}:为Ⅱ型数列；若{an}为Ⅲ型数列，则{an＋1}为I型数列．21型数列的性质定理ZI型数列｛a。｝的通项公式为证明由递推关系（互）可得由此递推式得将上面诸式相加得；从而…     

新定义数列的一种命题和解题方法——初探2020年北京卷21题及相关问题

<正>12020年北京卷新定义数列题新定义数列题是十几年来北京高考的特色题,也是考查能力的全卷压轴题.2020年第一次"文理合卷"后的北京卷,第21题如下:题1已知{a_n}是无穷数列.给出两个性质:(1)对于{a_n}中任意两项a_i,a_j(i>j),     

一些新数列的偏差与伪随机性

设p为奇素数,x为整数且满足1≤x≤p-1．定义数列其中■是n模p的乘法逆,满足n■≡1 mod p以及1≤■≤p-1．证明了(x_n)是一致分布数列,(e_n)是好的伪随机数列．这表明在二进制数列与[0,1)数列之间存在某种联系．     

培养学生迁移能力的好素材--新定义型数列

普通高中数学课程标准(实验)的知识与技能目标中要求学生具有一定的掌握、应用、迁移知识的能力.而近年在高考或各地高考模拟试卷中出现的一些新定义型数列,笔者认为是培养学生迁移和探究能力的良好素材.本文将介绍几种新定义型数列的定义、通项公式或前n项和、性质及初步应用,以供参考.1等和数列1.1定义在数列{an}中,若对任意n≥2都有an+an-1=d(n∈N+,d为常数),则称{an}为等和数列,常数d称为数列的公和.1.2通项公式与前n项和设等和数列{an}的首项为a1,公和为d,则an=a1,d-a1,n为奇数;n为偶数.Sn=a1+n-12d,n2d,n为奇数;n为偶数.1.3性质(1)an…     

平均数

众所周知：有限数列的几何平均数不大于它的算术平均数．在本文中，我们将推广这个事实，然后给出我们的结果的一些应用．我们假设所讨论的函数是单调的，这些单调函数的反函数在相关的点上有意义．找fi］还假设，我们所讨论的数列（包括经过变换的数列）的每一项都是正的．定义设有函数f和数列出，a1，a2,…，an，我们定义这个数列的f平均是即有限数列a1，a2，…，an的f平均是数列f（a1），f（a2），…，f（an）的算术平均的反函数．例1如果f是对数函数，那么，f平均就是几何平均．事实上，若f（x）=logax（a＞0且a≠1），那么又f（x）=log…     

数列极限教学中的若干思考

在中学阶段渗透近代数学的基础知识是课程教材改革的要求之一.高中数学教材把数列极限作为必修内容,其目的是在中学阶段渗透极限思想,使学生初步接触用有限刻划无限,由已知认识未知,由近似描述精确的数学方法.本文对数列极限的教学提出几点思考,谨供大家参考.(一)基本概念、基础知识的正确理解与掌握1.数列极限的定义数列极限概念是教学上的难点,教材采用描述法定义数列极限.对数列极限定义的正确理解,是学习本章内容的基础例1等差数列{an}中,首项a1=60,公差d=-2,记Sn=a1 a2 … an,Tn=|a1| |a2| … |an|,求li mn→∞SnTn.错解:Sn=na1 n(n2…     

谈数列教学中,学生探索思维能力的培养

培养学生的探索思维能力既是数学教学的重点课题,又是素质教育的需要．本文以数列的教学为例,就探索思维能力的培养途径谈一些个人看法．１　在知识的发生、发展以及形成过程中培养学生的探索思维能力数列是一种特殊的函数值,其离散性为培养学生探索思维能力提供了丰富的素材．在新知识的教学中,设计发现的情境是培养探索意识的主渠道．等差数列和等比数列的定义、通项公式及前ｎ项和公式等新知识的教学都是这方面的良好素材．如在等差数列前ｎ项和公式的推导中,学生一般难以直接完成．对此,教师应引导学生回到特殊事例中去：举其喜闻…     

知识形成过程教学个案——数列极限的ε-N定义

个案包括三部分 :教学目标的确立 ;教学过程实录 ;对个案的分析与评价 .1　教学目标的确立数列极限的ε-Ｎ定义是学生相当难掌握的内容 ,往往需要学生在相当长的学习时间内 (甚至要到学习微积分以后 )反复体会才能加深对此概念的理解 .因此 ,一开始让学生接触数列极限的ε-Ｎ定义时 ,应注重让学生体会数列极限概念的合理性 ,并为学生创立一个比较容易独立进行准确、深入思考的语境背景和图形背景 .2　教学过程2 1　数列极限的描述性定义设计思想　在生活中学生也会使用诸如“极限”、“无限接近”等词语 ,对这些词语生活化的使用有时会给准…     

高考专题复习系列讲座（2）——数列、极限和数学归纳法

近几年高考试题中，数列、极限和数学归纳法始终占有比较大的比重，2007年全国高考19套（37份）数学试卷中，涉及这部分内容的题目共70道（小题34道，大题36道），分值平均占卷面总分的12％左右，大大超过了课时所占比重（仅约8％）．小题重点考查等差数列、等比数列以及数列的极限，大题则突出对递推思想、归纳方法、运算能力和推理论证能力的考查，常考的知识点有：数列的概念，数列的表示方法，数列的通项公式，等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和公式、性质，递推数列，数列极限的定义，两个重要极限，无穷递缩等比数列的各项和公式，数学归纳法．此外，函数方程思想、从一般到特殊的思想、归纳与转化思想、递推方法等数学思想方法也是命题者关注的热点．     

对一道高考题的反思和探究

2009年高考陕西省理科数学卷第22题是一道数列问题,这已经是连续第四年用数列作压轴题了,有着较为深刻的背景,让人做过之后回味无穷．下文仅仅是我做过之后的一点思考和看法．     

巧借函数，妙解数列

数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数．数列问题常常蕴含着函数的本质及意义,具有函数的一些固有的特征．因此函数观点下解数列问题是数列综合复习中不可缺少的一环,用函数的观点去审视和分析,能直达问题的实质,用函数的思想和方法去解答,更有驾轻就熟的感觉,下面举例说明．     

巧用(-1)~n求摆动数列的通项

在数列中,我们经常会碰到求形如:1,-1,1,-1,…或-1,1,-1,1,…等数列的通项,很显然,我们只要利用(-1)n进行符号的调整,就能很快求出数列的通项公式,我们不禁会思考,在其它的摆动数列中,还能不能用(-1)n去求通项?引例(2004年北京卷)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为,且这个数列的前21项和S21的值为.分析由等和数列的定义,易知a2n-1=2,a2n=3(n=1,2,…),故a18=3.当n为偶数时,Sn=52n;当n为奇数…     

借函数之力攻数学难题

数列与函数关系密切，数列是定义在自然数集（或其子集）上的特殊函数，数列的通项与前以项和都具有隐含的函数关系．在处理一些数列的综合难题时，根据题目特征，凸显其函数关系，即有意识构造函数，从函数视角去研究，常能明确思路，简单而易操作．     

快速收敛于Euler常数的数列

快速收敛于Ｅｕｌｅｒ常数的数列Ｄ．Ｗ．ＤｅＴｅｍｐｌｅ撰．汤明华（合肥职工大学）、杜家安（安阳师专）译Ｅｕｌｅｒ常数通常由下述关系式所定义：根据Ｙｏｕｎｇ在文［２］中用初等方法证明的不等式知，上述数列Ｄｎ的收敛速度是非常缓慢的。若用数列代替Ｄ。，可大...     

求数列极限的三个原则

学习数列极限这部分内容时，除了要牢固掌握极限的定义外，在求数列极限时还要遵循以下三个原则．