一阶线性微分方程的别解

一阶线性非齐次微分方程常用常数交易法求解,也可用下面两种方法求解.一、积分因子法一阶线性非齐次方程一般形式是y′+P(x)y=Q(x)其对应的齐次方程y ′+P(x)y=0有通解     

一阶非齐次线性微分方程的齐次解法

现行高等数学教材对于一阶非齐次线性微分方程均采用常数变易法求通解，而本文是运用变量替换法将非齐次方程化为齐次方程求出通解。对于一阶非齐次线性微分方程做变换两边关于x求导数即有（1）式整理得令y的系数和常数项均为零这时变换后的微分方程为Z′＝0，解得Z一C（C为任意常数），于是将A（X）、B（X）和Z代入（2）式得原方程通解为从以上解法我们可以得到两方面启示：～方面可见变量替换法在解微分方程中同常数变易法都不失为行之有效的方法。另一方面常数变易法的解法思路是齐次方程～非齐次方程，而变量替换法的解法思路是非齐…     

解一类一阶统一微分方程的常数变易法

在文[1]中我们介绍了将一阶可分离变量方程、齐次方程、线性方程和伯努利(Bernoulli)方程等作为特例的统一方程y′ P(x)y=ynQ(x)F(ye∫P(x)dx)(1)　式中P、Q、F均为其变量的连续函数,n为常数,并给出了解法,即作统一变换y=ue-∫P(x)dx(2)　将方程(1)化为可分离变量方程u′e-∫P(x)dx=une-n∫P(x)dxQ(x)F(u)(3)　分离变量后积分,得(1)的通解(通积分)∫duunF(u)=∫Q(x)e(1-n)∫P(x)dxdx C(4)　式中u=ye∫P(x)dx.我们把这种解法称为解方程(1)的变量代换法.这里我们再介绍求解方程(1)的常数变易法(详见文[2],那里的方程是这里方程(1)当n=…     

n阶常系数非齐次线性微分方程的降阶解法

给出一阶线性非齐次微分方程的积分因子解法,避免了常数变易法带来的不便和不自然;给出,n阶常系数非齐次线性微分方程的降阶解法,可以看出,高阶常系数线性非齐次微分方程最终都可以归结为求解一阶线性微分方程,从而避免了待定系数法求非齐次方程特解的繁琐,并最终说明了一般微积分教材中只给出两种类型常系数非齐次线性微分方程的待定系数解法的原因．     

一类线性随机微分方程的解法

本文关注一类线性随机微分方程的解法,先求解伪齐次随机微分方程,变易对应解的常数,再带回原方程求解.这区别于以往求解随机微分方程所对应的齐次微分方程的常数变易法.多个例子证明本文的方法更简明.     

二阶非齐次线性微分方程的常数变易法

在数学后继课程的学习中,常遇到如下的定解问题：书中告诉我们可用参数（常数）变易法来解,但到底如何求得其解呢？好多同学都感到束手无策．翻阅同济大学犒等数学》教材,只有一阶非齐次线性微分方程的常数变易法,现来介绍二阶以上非齐次线性微分方程．设讨论的n阶非齐次线性微分方程为：其中及都是区间a＜x＜b上的连续函数．（1）对应的齐次线性方程为：我们知道：n阶齐次线性方程（2）一定存在n个线性无关的解．并且（2）的通解可表示为：其中Q,Q,…,C为任意常数,儿（X）,儿（X）,…,人（x）为（2）的一组线性无关解．方程（…     

关于常数变易法与积分因子的求法

一阶线性非齐次方程dy/dx p(x)y=Q(x)(1)所对应的线性齐次方程为dy/dx p(x)y=0 (2)方程(2)的通解为y=ce-∫p(x)dx(c是任意常数).常数交易法的要点是把任意常数c变为c(x),然后求方程(1)的通解.这一点初学者不易理解,常常会问“怎么想到把c变易为c(x)”.为了解决这个疑难问题,我们介绍以下分析方法.     

一类微分方程积分因子求法

—阶微分方程p(x,y)dx Q(x,y)dy=0,当它不是全微分方程但可化为形式x~(α_1)y~(β_1)(m_1ydx n_1xdy) x~(α_2)Y~(β_2)(m_2ydx n_2xdy)=0(1)(其中α_1,β_1,m_i,n_i,i=1,2,均为常数)时,若用观察法不易找到其积分因子.并且一般即方程也不存在仅与x或仅与y有关的积分因子.下面介绍这类方程(即方程(1))求积分因子的一个方法.     

几类一阶微分方程的统一方程和统一变换

在高等数学的微分方程一章中,一阶变量可分离方程是最基本的方程,分离变量后积分,即得通解（通积分）：式中x（s）羊0（否则y一C）,C为积分常数（下同）．对于一阶非齐次线性方程由于其对应的齐次方程将常数U变易为函数U什）,即作变量代换方程（3）就变为关于函数X（X）和变量X的变量可分离方程积分后代入（5）式,即得非齐次线性方程（3）的通解对,右端为零次齐次。数。（于卜齐次方程当机y缸）学VX（否则,变量可分离）,作变换可得变量可分离方程UU‘＋U一J（U）,于是（7）的通解对于伯努利（Bernoulli）方程（n羊0,豆,否…     

常系数非齐次线性微分方程特解的一种求法--升阶法

考虑 n阶常系数非齐次线性方程y(n) +p1y(n- 1) +… +pn- 1y′+pny =f ( x) ( 1 )方程 ( 1 )的通解等于其对应的齐次方程y(n) +p1y(n- 1) +… +pn- 1y′+pny =0 ( 2 )的通解与它本身的一个特解之和。而方程 ( 2 )的通解 ,只要能求得 ( 2 )对应的特征方程的特征根 ,则( 2 )的通解问题就解决了。因此 ,求得 ( 1 )的一个特解就成为求微分方程 ( 1 )的通解的关键了。一般常微分方程教材或参考书 ,对于 f( x)的不同类型 ,分别采用降阶法、待定系数法、常数变易法、拉普拉斯变换法、算子法等方法求得其特解。本文再介绍一种新的方法——升阶法 ,用…     

用常数变易法求微分方程特解的简单处理

简化了用"常数变易"法求常系数非齐次线性微分方程特解的过程,给出了求二阶常系数非齐次线性微分方程特解的一般公式.并将该方法推广到对n阶方程的降阶,从而求其特解.此方法简单实用,且运算量小.     

求解Bernoulli方程的常数变易法

同济大学数学教研室主编的《高等数学》教材中,把Bernoulli（伯努利）方程与一阶线性微分方程放在同一节中,一阶线性微分方程的求解使用的是常数变易法,而Bernoulli方程的解法却使用了变量代换,将其化成一阶线性微分方程后,采用常数变易法来求解．这给学生一种印象,即Bernoulli方程只能通过变量代换化成一阶线性微分方程后才能求解．作者在教学中发现,Bernoulli方程实际上可以不用通过变量代换,而直接通过常数变易方法来求解．对Bernoulli方程,与求解一阶线性微分方程一样,常数变易方法也是通过两步来完成．首先求解方程对应的…     

关于常微分方程的常数变易法

将常数变易法应用于二阶线性微分方程,可解变系数方程,且针对非齐次方程,不必受非齐次自由项形式的限制,即可求得通解.     

一类二阶常微分方程的特解

研究一类二阶实常系数非齐次微分方程y″+py′+q=(a0+a1x)eαxsinβx的解法,应用叠加原理和Euler公式,将其化为二阶线性非齐次方程,并利用对应的特征方程给出了这一类方程特解的一般公式,简化这一类微分方程的求解过程.     

大规模稀疏线性规划问题的初等矩阵解法

当线性规划约束条件的系数矩阵A为稀疏矩阵时,一般称为稀疏线性规划问题.解这类问题有分解原则及一般上界法,我们这里讨论初等矩阵法。 §1.齐次线性不等式的初等矩阵解法 [3] 中给出x≥0满足Ax≥0的充要条件是x=K(A)ω,ω≥0.     

关于一阶常微分方程的积分因子解法

<正> 对于一阶常微分方程的若干可积类型方程的解法中,积分因子解法难度较大,技巧性比较高,而高等数学教科书中介绍得较少,它是常微分方程教学中的一个难点。此外,一阶线性方程的常数变易法也是常微教学中的难点。     

Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件

本文利用变量变换法与常数变易法给出Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件∫P(x)e~(∫Q(x)dx)dx=-1/2∫R(x)dx,同时给出该条件下方程的通解,并由此推得若干类Riccati方程的通解.     

一些特殊类型的变系数二阶线性微分方程解法的研究

运用变量变换的方法将一些特殊类型的变系数二阶线性微分方程化为常系数二阶线性微分方程,或已知齐次方程的一个解来求出齐次方程的另一个线性无关解,从而达到按照常系数二阶线性微分方程的特殊方法和利用常数变易法来求方程的通解的目的,同时纠正了文献[3]的结论和例子2的错误.     

Bernoulli方程解法的启迪

众所周知 ,Bernoulli方程dydx=P( x) y +Q( x) yn( n≠ 0 ,1 ) ( 1 )是可用初等积分法求解的一类非线性方程 ,其解法是用函数变换 z=y1- n,则方程 ( 1 )就化为关于未知函数 z的一阶性方程dzdx=( 1 -n) P( x) z +( 1 -n) Q( x)上述解法启迪我们提出一般的问题 :非线性微分方程dydx=P( x) f ( y) +Q( x) g( y) ( 2 )经函数变换化的一阶线性微分方程的充要条件是什么 ?又方程 ( 2 )经函数变换化为 Bernoulli方程的充要条件是什么 ?其中 P( x) ,Q( x)和 f( y) ,g( y)都分别是 x和 y的连续函数 ,且它们都不为零。定理 1　方程 ( 2 )经未知函…     

一类二阶常系数非齐次微分方程的解法

我们学过对于二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py′+qy=f(x) 当f(x)具有eλxpm(x)或eλx[Pl(x)cosωx十Pn(x)sinωx]时的解法,其中较繁琐的是求其特解.由此,我想针对一类特定方程,提出一种可避开求特解这一过程的解法.