"黄金椭圆"的性质探求

全日制普通高级中学教科书(试验修订本)·数学(第二册(上))中讲述了一般椭圆的性质.本文则讨论一类特殊椭圆的性质,而这些性质在中学数学教学及解题过程中常会涉及到.为了下文表述的方便,我们给出规定:连接任一椭圆四个顶点的四边形是菱形,则称此菱形为“椭圆菱形”.如下图1所示的菱形ABCD即为椭圆菱形.图1研究其方程知:若已知椭圆方程为x2a2 y2b2=1(a>b>0),则其菱形方程为｜x｜a ｜y｜b=1;反之,若已知椭圆菱形的方程为｜x｜a ｜y｜b=1(a>b>0),则与之对应的椭圆方程为x2a2 y2b2=1,从图形与方程间的联系,我们可以欣赏椭圆与其菱形间的简单…     

"根为正"与"有正根"不可混淆

在将无理方程或指数方程转化为一元二次方程时,会经常使用"根为正"与"有正根"用以过渡,有些粗心的同学将其混用,但二者之间确有着明显的界限,且看几例. [例1]若方程(1gax)(lagx2)=4的所有解都大于1,求a的取值范围. 解原方程可化为x>0a>0 21g2x+31galgx+1g2a-4=0 21g。 若令t=lgx,则①化为 t2+31gat+1g2a-4=0 ② 分析 若原方程的所有解都大于1,则lgx     

一个"数学问题"的简解与推广

《数学通报》2006年第4期刊登的第1609号问题是:问题1609:求内切圆半径为1的三角形面积的最小值.问题提供人给出的解法[1]较曲折复杂,而且不易推广.本文给出一种简洁解法,并将结论推广至任意的圆外切多边形.图1问题的简解如图1,设ΔABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c,其内心为I.     

"排列组合和概率"教学三落实

排列组合和概率是高中数学新教材中一个相对独立且难度较大的一章 ,其思想方法较为独特 ,且又多以实际问题为模型 ,是发展学生抽象思维能力和逻辑思维能力的好素材 .如何抓好本章教学 ,培养学生的逻辑思维能力及数学知识应用能力 ,形成良好的数学素质 ,本人结合教学实际认为应落实好三点 .不妥之处 ,望广大同仁予以指正 .1　 理解、区别概念本章中有些概念易混淆 ,要正确理解它们的实质及实际意义 ,弄清它们之间的联系和区别 .1 .1　分清排列与组合分清一个具体问题是排列问题还是组合问题 ,关键在于看从 n个不同元素取出 m( m≤ n)个元素是…     

基于"教学思想方法"的"同底数幂的乘珐"教学探索

1 引言 数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略,是数学的灵魂.以数学知识为载体揭示其内容中蕴涵的数学思想方法,是帮助学生理解数学、提高思维水平和解决问题能力的需要,是现代教学思想与传统教学思想的根本区别之一.     

对两个"疑团"的释疑

文 [1 ]给出了关于拼组问题和着色问题的两个疑团 ,为了便于说明 ,现抄录如下并释疑 .1　拼组问题例 1　 ( 1 999年荆州卷 )现有 8名青年 ,其中 5名青年会英语翻译 ,4名青年会电脑工作 .现要从中选派 5名青年承担一项任务 ,其中 3人从事英译 ,2人从事软件 ,则不同选法有 (　 ) .( A) 60　 ( B) 5 4　 ( C) 42　 ( D) 30其解答 :C34 C24 + C24 C1 1 C23=42 .答 ( C) .例 2　某旅行社有 9名导游 ,其中 6人会英语 ,4人会日语 .若在同一天要接待 5个不同的外国旅游团 ,其中 3个队要英语导游 ,2个队要日语导游 ,则共有种不同的安排方法 (用数…     

求"线面角"需"三思"

提到求“线面角”,可能大家马上会想到“射影转化法”.殊不知,在实际求解过程中仅知道“射影转化法”是远远不够的.本文仅从思路调控的角度结合自己的教学实践谈一些粗浅的认识:求“线面角”需“三思”!1思:所求线面是否垂直例1如图1,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=     

一道高考选择题的"背后"

2009年高考数学湖北卷文、理第10题如下: 　　古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如: 　　他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.……     

突出函数主线把握"交汇"热点

函数是高中数学的重点 ,也是高考的考查重点 .函数的内容丰富多彩 ,其应用广泛、灵活 .因此 ,我们应把函数的概念和性质把握好、运用好 .尤其是综合复习时更应以函数为主线串联其他各知识点 ,使之形成知识网络 .这样就能“以纲带目 ,纲举目张”,就更有利于扩展知识面 ,拓宽解题思路 .既能深化概念的理解 ,提高思维层次 ,又能强化以函数为主干的知识网络的整体意识及应用意识 ,因而也就更有助于培养和提高学生分析问题、解决问题的综合能力及创新能力 .下面围绕函数部分的热点问题 ,以 2 0 0 1年全国各地模拟试题为例 ,分类评析 .1　函数与方…     

论"为教育而历史"的教学观

1 引言 在当今的各级教育中,数学已经几乎进入一切课堂,其作为基础课程的地位日重一日.随着新一轮的改革浪潮,高等数学"下放"已成定势.然而高等数学在教学上的困难,却并不因为其重要性和地位的加重而有所改善.许多院校都有自己成功的经验,但也有很多在教学过程中处置不当,使得学生们往往害怕或厌恶数学、摸不着头脑.其中很重要的因素之一,是教师在教学过程中仅仅强调了其逻辑性、严密性方面的特征,却忽略了其他方面;而对于学生吸收新知识来说,又一时难以接受高等数学知识的思维的突变,最终导致教学的失败.     

三角形一个共点线命题的"姊妹"命题

文[1]给出这样一个共点线定理: 三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形,其内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点共线.     

"双勾"函数的性质及在高考题中的应用

1问题的提出已知x∈(0,π),求y=2sinx sinx2的最小值.错解:∵x∈(0,π),∴sinx>0,由均值不等式2sinx sinx2≥22sinx·sinx2=2·故ym in=2·显然这是个错误的结论.因为当且仅当2sinx=sinx2时才能取最小值.而此时sinx=2(矛盾)·那么如何解决这一问题呢?我们还是先回到基本函数的性质分析,利用单调性来求值域.2“双勾”函数的性质引题求作y=x 1x(x≠0)的函数图像并判断其单调区间.利用描点法(或作y=x与y=1x叠加)作图如下:①从图像可见y=x 1x的图像在y=x与y=1x之间.在(0,1)为减函数,在(1, ∞)为增函数.当x=1时,ym in=2·②f(x)为奇函数,图像关于…     

"口诀"应淡出中学数学教学的阵地

1　口诀产生的历史口诀 ,在古代算书中常常是算法的记录 .如程大位在《算法宗统》中关于“有物不知其数 ,三三数之余二 ,五五数之余三 ,七七数之余二 ,问物几何 ?”的解法 ,便留下了口诀 :“三人同行七十稀 ,五树梅花廿一枝 ,七子团圆正月半 ,除百零五便得知 .”口诀 ,在珠算中得到大量运用 .至今留下了不少与其有关的俗语 ,如“三下五除二”,“二一添作五”等等 ,在加快拨珠速度、进行程式化运算方面 ,发挥了一定作用 .口诀又有其历史局限性 ,今天的年青人有的没有学过珠算 ,就难得理解其口诀的含义 .如有一次就餐 ,一瓶酒三个人分 ,分酒的…     

浅谈"三个二次"分类讨论的依据

在"二次方程,二次不等式和二次函数"(简称"三个二次")的教学中,经常会遇到分类讨论的标准问题,本文借助例题对其进行探究. 1 依据二次项系数     

关于"椭圆的长轴最长"的另两种解释

文[1]《椭圆的长轴最长吗》一文,运用代数方法给出结论.现给出另外两种简单、直观的解释.(1)运用椭圆定义设AB是异于长轴的任一条弦,连接AF1、BF1、AF2、BF2(如图1),由椭圆定义知∵AF1 BF1>AB,AF2 BF2>AB,∴AF1 BF1 AF2 BF2>2 AB,即4a>2 AB,∴AB<2a.对于某些特殊情况,如AB过一个焦点,同样可得.(2)作辅助圆(如图2)以椭圆的长轴为直径作圆,那么椭圆必内切于此圆,椭圆内任一条异于长轴的弦,根据圆的性质,其长度必小于圆直径2a.若再作以椭圆短轴为直径的圆,则还可以得到如下结论:椭圆内过中心的所有弦中,以长轴最长,短轴最短.关…     

"取倒数"技巧的妙用

常言道“小技巧,办大事”,取一个数(式)的倒数,就是这样一个能“办大事”、解难题的小技巧.1分子有理化“取倒数”对于分子有理化,有关键作用,进而可化简根式、比较大小、判断函数单调性等.例1求值log(2-1)(3 22).解log(2-1)(3 22)=log(2-1)(2 1)2=log(2-1)21-12=-2.例2已知c>1     

"1"在中学数学中的妙用

自然数单位“1”是人类认识最早的一个数,它有一些特殊的性质,例如任意数乘以或除以1仍等于原数.解某些数学题时运“1”的某些特殊性质,可达到化繁为简,化难为易的目的.本文主要通过举例,从教师的角度探析在数学教学中如何引导学生巧妙利用“1”来简捷地解决问题.     

"传球问题"的一般解法

问题包含甲在内的m(m≥2)个人练习传球,设传球n次,球首先从甲手中传出,第n次仍传给甲,共有多少种不同的传球方法?分析设第n次球传给甲的传球方法有an种,第n次球不传给甲的传球方法有bn种,对每个传球的人来说,每次传球的方法有m-1种,n次传球共有(m-1)n种方法.∴an+bn=(m-1)n.另外,第n+1次球传给甲,则第n次球必不传给甲,因而an+1=bn,∴an+an+1=(m-1)n.设cn=an(m-1)n,则cn+1+1m-1cn=1m-1,∴c-1=-1(c-1).又a1=0,c1=0,c1-1m=-1m,∴数列{cn-1m}是首项为-1m,公比为-1m-1的等比数列,∴cn=1m+(-1m).(-1m-1)n-1,∴an=1m(m-1)n+(-1)n.m-1m.例1甲、乙、…     

诱人的"怎么想到的"

题 已知正整数n≥2,求证:2n/3n+1<1/n+1+1/n+2+...+1/2n<3/4. 上题是笔者期中复习课上选用的一道例题,旨在帮助学生复习数列不等式证明的常用方法.     

"把数学变得容易一点"--"教育数学"思想及其启示探讨

纵观历史,数学及其发展与人类社会的进步息息相关.在当代,其影响更是遍及人类活动的所有领域,成为推进人类文明的不可或缺的重要因素,从而使得社会对公民的数学素养进而对数学教育提出了新的更高的要求.基于此,世界各国纷纷在进行形式各异的数学教育改革.兼有科学和技术双重身份的数学,是一门累积的学问,有着数千年的成果.这使得数学教学内容的选择与优化成为数学课程改革的"世纪难题"而长期备受关注.改进数学的整体形象,向大众普及数学,是各国数学教育改革迫切需要解决的问题.除了注重数学的文化属性,如何"让数学变容易些"[1]也是改进数学整体形象,超越形式主义和单纯演算,以及建设体现数学学科特色的"数学教材论"的重要课题.