Closed form solutions for small deformations superimposed upon the symmetrical expansion of a spherical shell

For small axially symmetric deformations of isotropic incompressible hyperelastic materials which are super-imposed upon the symmetrical expansion of a spherical shell, new closed form solutions are derived without any restrictions on the strain-energy function. These solutions are used to derive the n=1 buckling criterion for thick-walled spherical shells which are subjected to uniform external pressure. They are also used to deduce an upper bound to the force deflection relation for small superimposed translational deflections of bonded pre-compressed spherical rubber bush mountings.

---

Zusammenfassung Für den Fall kleiner, axialsymmetrischer Deformationen isotropischer inkompressibler hyperelastischer Materialien, die der symmetrischen Dehnung einer sphärischen Schale überlagert sind, werden Lösungen in geschlossener Form abgeleitet, ohne einschränkende Bedingungen für die Deformationsenergiefunktion. Mit Hilfe dieser Lösungen wird das Knick-Kriterium (n=1) für dickwandige sphärische Schalen gewonnen, die gleichförmigem, äusserem Druck, ausgesetzt sind. Weiterhin wird mit Hilfe der Lösungen eine obere Grenze gewonnen für die Kraft-Ablenkungs-Relation im Falle überlagerter kleiner Translationen von gebundenen, vorgespannten sphärischen Gummibuchsen.

     

Spin of an almost-axial,almost-symmetric,torque-free gyrostat near an osculation condition

Summary Some spacecraft can be modeled as torque-free spinning gyrostats, and in practice these often are designed as nominally symmetric about a principal axis with an internal angular momentum aligned with the same axis. As actually constructed, they are almost-symmetric, almost-aligned. A general solution for the polhodes is known as a computational algorithm, though not as a literal expression. The general solution does not simplify in the slightly off-nominal case. This paper develops an accurate literal expression for polhodes sufficiently close to an osculation points in the latter case. Errors in the endcap solutions are of the order of I % for the end-cap in the several test problems examined.

---

Übersicht Als Modelle für Raumschiffe werden meist Gyrostaten verwendet, die im allgemeinen bezüglich einer Hauptachse symmetrisch mit einem inneren Drallvektor längs dieser Achse entworfen werden. Reale Konstruktionen sind jedoch nur fast-symmetrisch und fast-ausgerichtet. Die dann entstehenden Polkurven können zwar in bekannter Weise ausgerechnet werden, jedoch sind bisher keine expliziten Formeln dafür bekannt. Die allgemeinen Lösungen werden für geringe Abweichungen vom symmetrischen, ausgerichteten Fall nicht einfacher. Deshalb wird hier ein Ausdruck für die Polkurven in der Umgebung stationärer Lösungen für schwach abweichende Fälle abgeleitet. Die Fehler dieser Lösungen liegen in den durchgerechneten Fällen bei etwa I %.

     

Die Inversion der Torsionsspannungen prismatischer Stäbe in allgemeinen Koordinaten

Zusammenfassung Ausgehend von den Grundgleichungen der Elastizitätstheorie in allgemeinen Koordinaten werden durch einen speziellen Ansatz die Grundgleichungen der Torsionstheorie abgeleitet. Sowohl für eine Verwölbungsals auch für eine Spannungsfunktion werden die partiellen Differentialgleichungen aufgestellt und die Randbedingungen angegeben. Für spezielle krummlinige Koordinatensysteme erhalten die Differentialgleichungen in allgemeinen Koordinaten dieselbe Form wie in kartesischen. Daher können bekannte Lösungen von einem Koordinatensystem in das andere invertiert werden und liefern neue geschlossene Lösungen des Torsionsproblems.Auszug aus der gleichnamigen von der Bergakademie Freiberg genehmigten Dissertation; Referent Prof. Dr.-Ing. habil. D. Rüdiger; Korreferent Prof. Dr.-Ing. habil. A. Kneschke.     

Zur homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen

Zusammenfassung Unter gewissen Bedingungen liefern die für die Berechnung der Eigenwerte einer homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen maßgebenden transzendenten Gleichungen bei alleiniger Berücksichtigung der reellen Lösungen zu wenig Eigenfrequenzen. Die fehlenden Frequenzen — es handelt sich hierbei stets um die höchsten — erhält man aus den komplexen Lösungen. Es werden, unter Beschränkung auf eine oder zwei Zusatzmassen, die Bedingungen untersucht, bei denen komplexe Eigenwerte auftreten, und die in diesen Fällen geltenden Gleichungen für die Eigenfrequenzen, Momente und Drehwinkel abgeleitet. Neben dem Verhältnis der Trägheitsmomente ist auch dasjenige der Federkonstanten für das Auftreten komplexer Lösungen von Bedeutung, so daß solche, wie man aus den zuständigen Bedingungsgleichungen ersieht, auch bei sehr großen Zusatzmassen vorkommen können. Man kann übrigens zeigen, daß beim Vorhandensein von z Zusatzmassen maximal z komplexe Eigenwerte möglich sind.Es sei hier noch vermerkt, daß sich die gewonnenen Ergebnisse analog auf homogene Schwingungsketten mit Zusatzmassen an den Enden übertragen lassen.     

On the propagation of flexural waves in anisotropic bars

Summary Propagation of flexural waves in circularly cylindrical bars of anisotropic material on the basis of the exact three-dimensional theory of elasticity of small deformations is considered, the rigor of the analysis being the same as the one of the Pochhammer-Chree theory. A system of the governing equations of motion for the cylindrical orthotropy (its axis coinciding with the axis of the bar) is derived and expressed in terms of radial, tangential and axial displacement components. For a steady-state sinusoidal flexural wave the system reduces to coupled ordinary second order differential equations with a regular singular point. Solution for a transversely isotropic is obtained by means of Frobenius series method. Upon using two or three terms of the series approximate dispersion relations for isotropic material as well as for the pyrolytic graphite type material and two other types of anisotropic materials are obtained and illustrated by graphs. Higher order modes than those already known are found.

---

Übersicht Die Fortpflanzung von Biegewellen in kreiszylindrischen Balken aus anisotropem Material wird auf der Grundlage der exakten dreidimensionalen Elastizitätstheorie kleiner Verformungen betrachtet. Die Strenge der hier gegebenen Untersuchungen entspricht der in der Theorie von Pochhammer-Chree. Das System der Bewegungsgleichungen wird für zylindrische Orthotropie, deren Achse mit der Balkenachse zusammenfällt, abgeleitet und durch die radialen, atngentialen und axialen Verschiebungskomponenten ausgedrückt. Das System reduziert sich im Fall einer stationären sinusförmigen Biegewelle auf gekoppelte, gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung mit einem singulären Punkt. Lösungen für transversale Isotropie werden mit Hilfe der Reihenmethode von Frobenius abgeleitet. Unter Verwendung von zwei oder drei Gliedern dieser Reihen werden angenäherte Dispersionsbeziehungen sowohl für isotropes Material als auch für Material vom Typ pyrolytischen Graphits und für zwei andere Typen anisotropischer Materialien erhalten und graphisch dargestellt. Es werden Schwingungsformen gefunden, die von höherer Ordnung als die bisher bekannten sind.

---

---

Research supported by a grant of the National Science Foundation.     

Closed form solutions of the differential equations governing the plastic fracture field in a power-law hardening material with low strain-hardening exponent

Summary In this paper closed form solutions for the evaluation of the stress and strain-fields are estimated for a power-law hardening, plastically incompressible material, cracked under plane-strain conditions. A convenient decoupling methodology, concerning a strongly non-linear ordinary differential system given by Rice and Rosengren [1], leads to a modified higher-order non-linear differential equation which for the case of low strain-hardening behaviour, using appropriate analytical treatments, is integrated in a closed form. Applications of the derived solutions for low hardening exponents yield results which are in excellent agreement with those derived numerically by other investigators. The solutions obtained herein cover a large class of problems in the mathematical theory of plasticity and fracture mechanics, and may be proved powerful in application .

---

Geschlossene Lösungen der Differentialgleichungen für das plastische Ri\feld eines nach einem Potenzgesetz schwach verfestigenden Materials

Übersicht Es werden geschlossene Lösungen für die Spannungs- und Verzerrungsfelder eines plastisch inkompressiblen Materials mit Verfestigung nach einem Potenzansatz und mit einem Ri bei ebener Formänderung abgeschätzt. Eine geeignete Entkopplungsmethode für ein von Rice und Rozengren [1] angegebenes, stark nichtlineares System gewöhnlicher Differentialgleichungen führt auf eine modifizierte nichtlineare Differentialgleichung höherer Ordnung, die mit geeigneten analytischen Schritten bei schwacher Verfestigung in geschlossener Form integrierbar ist. Anwendungen der hergeleiteten Lösungen für kleine Verfestigungsexponenten liefern Ergebnisse, die ausgezeichnet mit numerischen Ergebnissen anderer Autoren übereinstimmen. Die hier gewonnenen Lösungen umfassen eine weite Klasse von Problemen der mathematischen Plastizitätstheorie und Bruchmechanik und erweisen sich bei Anwendungen als sehr zweckdienlich.

     

Zur Theorie der Verzweigungen nicht-isothermer elastoplastischer Deformationen

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird eine allgemeine Theorie nicht-isothermer Verzweigungen für kompressible elasto-plastische Körper entwickelt. Im Bereich plastischer Deformationen wird dabei ausgegangen von einer gekoppelten Plastizitätstheorie mit Normalenregel und einer Fließbedingung nach von Mises. Zur Bestimmung der Verzweigungslast wird ein inkrementelles Randwertproblem formuliert, dessen Lösungen auf Eindeutigkeit untersucht werden. Zur Veranschaulichung wird diese Theorie angewendet auf die Lösung des Einschnürproblems für zylindrische Zugproben.

---

Summary The paper presents a theory of non-isothermal bifurcation of deformations for compressible elasticplastic bodies. The constitutive relations introduced are based on a coupled thermoplasticity with J ₂-flow theory and von Mises yield criterion in the plastic range. To determine the critical load a rate boundary value problem is formulated and tested for nonunique modes of deformation. The general analysis is applied to the necking process in cylindrical specimens.

---

---

Die vorliegende Arbeit entstand während eines Studienaufenthaltes des zweitgenannten Autors am Institut für Mechanik der Ruhr-Universität Bochum. Herrn Prof. Dr.-Ing. Th. Lehmann sowie der Alexander von Humboldt-Stiftung, die diesen Aufenthalt ermöglichten, sei dafür an dieser Stelle gedankt.     

Basic singular solutions for a cracked circular hole in an infinite medium

Summary This article provides basic elastic solutions for an infinite medium containing a cracked circular hole, subject to singular external loads in form of a dilatation center, a concentrated force and a point couple. The complex function method in conjunction with a rational mapping function is used to solve the problem. Analytic expressions for stress functions, stresses and stress intensity factors are obtained. Numerical values of stress intensity factors are presented in graphic and tabular forms.

---

Grundlegende singuläre Lösungen eines angerissenen kreisförmigen Loches in einem unbegrenzten Medium

Übersicht In diesem Artikel werden die grundlegenden elastischen Lösungen für einen unendlichen Körper hergeleitet, der ein angerissenes kreisförmiges Loch enthält und mit singulären äußeren Lasten in Form einer punktförmigen Aufweitung, einer Einzelkraft und eines Einzelmoments beaufschlagt wird. Zur Problemlösung werden komplexe Funktionen und rationale Abbildungsfunktionen verwendet. Man erhält analytische Ausdrücke für die Spannungsfunktionen, die Spannungen und die Spannungsintensitätsfaktoren. Numerische Werte für die Spannungsintensistätsfaktoren werden in graphischer und tabellarischer Form angegeben.

     

Theory of unsteady heat conduction in multicomponent finite regions

Summary General solutions of the heat conduction equation are obtained analytically in a rigid, finite body of arbitrary shape and composed of an arbitrary number of isotropic components in imperfect thermal contact. The solutions for the unsteady temperature distributions incorporate arbitrary heat sources and initial conditions, and time-dependent boundary conditions. Various forms of the solutions are given and the reduction of the general problem to simpler ones is indicated.

---

Übersicht Es werden allgemeine Lösungen der Wärmeleitungsgleichung für einen starren, endlich ausgedehnten Körper beliebiger Gestalt angegeben. Der Körper ist aus einer beliebigen Anzahl isotroper Teilkörper aufgebaut, die untereinander einen unvollständigen thermischen Kontakt haben. Bei den Lösungen für die nichtstationären Temperaturverteilungen werden beliebige Wärmequellen, beliebige Anfangsbedingungen und zeitveränderliche Randbedingungen berücksichtigt. Es werden verschiedene Formen der Lösungen angegeben und es wird gezeigt, in welchen Fällen sich das allgemeine Problem vereinfacht behandeln läßt.

     

A screw dislocation near an elliptic hole in non-local elasticity

Summary The solutions are given for the stress field and elastic energy of a screw dislocation near an elliptic hole in non-local elasticity by a conformal mapping technique. The numerical results are discussed for the stress along thex-axis. Allowing one axis of the ellipse to dwindle to zero, the solution of the finite length crack is obtained.

---

Schraubenversetzung neben einem elliptischen Loch bei nichtlokaler Elastizität

Übersicht Durch eine konforme Abbildungstechnik werden die Lösungen für das Spannungsfeld und die elastische Energie der Schraubenversetzung neben einem elliptischen Loch in nichtlokaler Elastizität gegeben. Die numerischen Ergebnisse werden für die Spannung entlang derx-Achse diskutiert. Läßt man eine Ellipsenachse gegen Null gehen, so gewinnt man die Lösung für den Riß endlicher Länge.

     

Das Wärmeflattern von Lapprohren

Übersicht Satelliten mit langen stabförmigen Auslegern sind durchweg mit Lapprohren versehen, bei denen im Sonnenlicht Wärmeflattern auftreten kann. Zunächst werden die Querschnittskennwerte für Lapprohre angegeben, bei denen Schubmittelpunkt und Flächenmittelpunkt zusammenfallen. Dann wird der Begriff des Heiß-Kalt-Linienpaares definiert und Ausdrücke für die statische Verbiegung und Verdrillung unter Sonneneinstrahlung hergeleitet. Schließlich werden die Differentialgleichungen für die Biege- und Drillschwingung des Wärmeflatterns aufgestellt und allgemeine Lösungen angegeben, aus denen die Stabilitätskriterien beim Wärmeflattern von Lapprohren abgeleitet werden.

---

Summary Satellites with long tubular booms are generally equipped with STEMs (Storable Tubular Extendible Members), which may be subject to thermal flutter when exposed to the sun. The mechanical constants for STEMs with coincident centres of shear and cross-sectional area are given. Then the concept of a hot and cold line couple is introduced and static flexure and torsion due to solar radiation are determined. Finally the differential equations for flexural and torsional vibration caused by thermal radiation are set up, their general solutions given and stability criteria for thermal flutter derived.

     

A note on asymptotic solutions for heat transfer in laminar forced flow against a non-isothermal rotating disk

Exact asymptotic expansions for heat transfer in laminar forced flow against a non-isothermal rotating disk are obtained for large and small Prandtl numbers using a perturbation method. The surface temperature of the disk is assumed to vary according to a power law with the radial distance. The results point out the erroneous terms in the existing asymptotic solutions and give the further higher order corrections to them.

---

Zusammenfassung Mit Hilfe einer Störungsmethode werden exakte asymptotische Entwicklungen für den Wärmeübergang in laminarer Zwangskonvektion gegen eine nichtisotherme rotierende Scheibe für kleine und große Prandtl-Zahlen erhalten. Die Oberflächentemperatur soll nach einem Potenzgesetz vom Radius abhängen. Die Ergebnisse zeigen die Fehler in den bisherigen Lösungen auf und geben die Korrekturen höherer Ordnung.

     

Zur Theorie von Auskühlungs- und Anheizungsvorgängen

Zusammenfassung Nach der Methode der Quellpunkte werden zunächst an Hand einfacher Beispiele neuartige Lösungen für Temperaturausgleichsvorgänge in ebenen, gleichförmigen Platten von endlicher Dicke in Form von unendlichen Reihen entwickelt. Diese weisen im Gegensatz zu der bisher üblichen Darstellung, der Entwicklung nach Fourierreihen, zu Beginn des Ausgleichsvorganges sehr gute Konvergenz auf; dafür wird diese aber mit fortschreitender Zeit immer ungünstiger. Beide Lösungsformen ergänzen sich also gegenseitig und können daher zweckmä\ig nebeneinander verwendet werden. Um aber auch die hier gefundenen Lösungen für beliebig späte Zeitpunkte verwendbar zu machen, wurde ein einfaches Verfahren zur Entwicklung von praktischen Näherungslösungen für schlecht konvergente, unendliche Reihen abgeleitet. Dieses liefert dabei am Anfang des Vorganges sowie für genügend gro\e Werte der Zeit sehr genaue Ergebnisse und ergibt für mittlere Zeitpunkte einen beliebig klein zu haltenden Grö\twert des Fehlers. Weiterhin werden dann exakte Lösungen für Körper entwickelt, die aus planparallelen Schichten bestehen. Für ebene Grundfelder erweist sich hierbei die Auffassung als vorteilhaft, da\ diese an der ebenen Grenzfläche zweier Stoffe teilweise reflektiert werden. Die Reflexionszahl ergibt sich dabei nach den gleichen Gesetzen wie für periodisch veränderliche Vorgänge. Die Ergebnisse dieser Betrachtungen werden auch auf den Wärmeübergang angewendet. Dabei zeigt sich, da\ für die vorliegenden nichtstationären Vorgänge auch das anfängliche Temperaturfeld in der Grenzschicht von Bedeutung sein kann. Schlie\lich werden noch die Gleichungen der Grundfelder für eine Reihe von Wärmequellen der verschiedensten Formen entwickelt, so z. B. für die Kugel- und Zylinderflächenquelle (diese dabei für endliche und unendliche Zylinderlänge), die Raumquelle in Form eines Quaders und die Kreis-Linienquelle.     

Die Berechnung stationärer ebener Grenzschichtströmungen nicht-Newtonscher Flüssigkeiten,für die das Ostwald-de Waelesche Reibungsgesetz gilt

Übersicht Für nicht-Newtonsche Flüssigkeiten, für die das Ostwald-de Waelesche Potenzreibungsgesetz gilt, werden die ebenen Grenzschichtdifferentialgleichungen aufgestellt und es wird ihre Gültigkeit diskutiert. Als exakte Lösungen der Differentialgleichungen für die Strömungs- und Temperaturgrenzschicht werden die ähnlichen Lösungen für die Keilströmungen behandelt. Mit den Ergebnissen der ähnlichen Lösungen werden Näherungsverfahren zum Berechnen der Strömungs- und Temperaturgrenzschichten aufgestellt.

---

Summary A study of the laminar boundary layer equations of fluids governed by the Ostwald-de Waele. power law is presented. Using the similar solutions for flows past wedges, methods for the approximate solution of the laminar velocity and thermal boundary layer equations are presented for the case of laminar flow past arbitrary external surfaces.

---

---

Die vorhegende Arbeit entstand während der Assistenztätigkeit des Verfassers am Institut für Maschinenelemente und Fördertechnik der Technischen Hochschule Braunschweig (Direktor Prof. Dr.-Ing. O. Lutz) auf Anregung von Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Gersten. Verfasser dankt den Herren Professoren Schlichting, Lutz und Gersten, die ihm die Durchführung dieser Arbeit ermöglichten.     

On the stability of viscoelastic fluid flow

Summary In continuation of two foregoing investigations where stability of rectilinear flows of viscoelastic fluids between two plane parallel plates was analysed, the present paper discusses the analogous problem for flow in a cylindrical tube (Poiseuille flow) and a cylindrical annulus. The linearized disturbance equations for steady instabilities of cellular type are derived taking into account viscoelasticity according to second-order theory as well as inertial forces. ForPoiseuille flow analytical solutions are obtained, whereas for flow in an annulus a technique of numerical integration is utilized. It is found that curves of neutral stability are similar to the ones for plane channel flow giving a hint in this ease also that possibly two different types of instabilities may occur simultaneously.

---

Zusammenfassung Im Anschluß an zwei vorangegangene Untersuchungen, in denen die Stabilität von geradlinigen Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten zwischen zwei ebenen, parallelen Platten behandelt worden war, wird hier das analoge Problem für die Strömung in einem Kreiszylinder (Poiseuille-Strömung) und in einem Ringspalt analysiert. Die Störungsgleichungen für stationäre Störströmungen vom Zellulartyp werden unter Zugrundelegung einer Theorie zweiter Ordnung für die Viskoelastizität und Einbeziehung der Trägheit in linearisierter. Form abgeleitet. Für diePoiseuille-Strömung lassen sich analytische Lösungen finden, wohingegen für die Ringspalt-Strömungen die Lösungen durch numerische Integration gewonnen werden. Die Indifferenzkurven sind von ähnlicher Gestalt wie bei der Strömung durch den ebenen Kanal und weisen ebenfalls auf die Möglichkeit eines gleichzeitigen Vorhandenseins zweier verschiedener Störströmungen hin.

---

---

The main results of this paper were presented as the second part of a talk entitled On stability of rectilinear flows of viscoelastic fluids at the annual meeting of German Rheologists held in Bad Münster a. Stein from 28–30 May 1969.     

Rotordynamik mit Berücksichtigung von Längskraft und Torsion im achsparallelen Schwerefeld

Übersicht Die gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen der Rotordynamik einer in axialer Richtung homogenen Welle werden mit den Voraussetzungen der Bernoullischen Balkentheorie mit innerer Dämpfung (Kelvin-Material) nach der Theorie zweiter Ordnung für Längskräfte und Torsionsmomente bereitgestellt. Belastungen sind verteilte und diskrete Längskräfte und Torsionsmomente sowie äußere Dämpfung. Die Wirkung von Flüssigkeit, die den Rotor in Achsrichtung durchströmt, wird berücksichtigt. Das Differentialgleichungssystem besitzt nicht-konstante Koeffizienten und ist im Vergleich zu den sonst verwendeten Differentialgleichungen der Rotordynamik erweitert, um die oben aufgeführten Einflüsse zu berücksichtigen. Nach der Linearisierung der Differentialgleichungen und der Abkopplung der Torsion werden Lösungen durch komplexe Potenzreihen in der Achskoordinatex dargestellt. Diese Lösungen sind so genau, wie die zu ihrer Berechnung verwendete Anlage es zuläßt. Eigenwerte und Eigenformen werden in herkömmlicher Weise ermittelt und durch Vergleich mit bekannten Ergebnissen überprüft. Für eine Turbinenwelle und ein Tiefbohrgestänge werden kritische Lastkombinationen aus Drehzahl und Belastungen exemplarisch untersucht.

---

Rotor dynamics with regard to longitudinal forces and torsion in a gravity field parallel to the axis

Summary The coupled differential equations of a shaft, homogeneous in axial direction, are derived under the assumption of the Bernoulli beam hypothesis and internal damping (Kelvin material). Second order theory is applied. The loads are distributed and discrete longitudinal forces and torsional moments. External damping and the effect of flow in the rotor along the axis are taken into account. The derived system of differential equations has non-constant coefficients. Compared with the commonly used ones it is extended with regard to the named actions. After linearisation and separation of torsion solutions are described with complex series of the axis coordinatex. The accuracy of the solutions depends on computer and software. Eigenvalues and characteristic functions are calculated and compared with known results. For a turbine shaft and a drill pipe critical combinations of loads and rotational speeds are exemplarily investigated.

     

Zur zyklischen elasto-plastischen Torsion des Kreiszylinders bei endlichen Verzerrungen

Übersicht Es werden die Grundgleichungen für die elasto-plastische Torsion kreiszylindrischer Körper bei endlichen Verzerrungen aufgestellt und für die zyklische Torsion eines Vollzylinders konstanter Länge näherungsweise gelöst. Für die Spannungsverteilung über den Querschnitt in Abhängigkeit von der Zyklenzahl werden geschlossene Formeln angegeben. Als Stoffgesetz für die plastischen Deformationen wird die Theorie des plastischen Potentials mit der Fließbedingung nach Huber-Mises-Hencky bei isotroper, linearer Werkstoffverfestigung zu Grunde gelegt. Bei der Berücksichtigung des elastischen Anteils der Deformationsgeschwindigkeiten ergibt sich ein Poynting-Effekt, der sich durch Druckspannungen in Achsrichtung äußert.

---

Summary The basic equations for the elastic-plastic torsion of cylindrical bodies in the case of finite deformations are stated and are approximately solved for the cyclic torsion of a cylinder of constant length. Formulae are given for the stress distribution of the section depending on the number of cycles. Taking into account the elastic part of the rate of deformation a Poynting effect is obtained which causes axial pressure.

---

---

Die vorliegende Arbeit entstand während eines Studienaufenthaltes des erstgenannten Verfassers am Institut für Mechanik der Ruhr-Universität Bochum. Herrn Professor Dr.-Ing. Th. Lehmann sowie dem Deutschen Akademischen Austauschdienst sei für die Ermöglichung dieses Aufenthaltes herzlich gedankt.     

Non-similar solutions of free convection flow over a vertical frustum of a cone for constant wall temperature

Summary The laminar free convection flow and heat transfer over a vertical frustum of a cone is studied. The governing boundary layer equations are solved using local non-similarity method for constant wall temperature case. Local similarity and the local non-similarity two- and three-equation models are constructed and the resulting equations are solved numerically. Results obtained from two- and three-equation models are in good agreement. The numerical values of the flow and temperature functions required to calculate the surface skin friction and heat transfer rate have been reported for various values of Prandtl numbers.

---

Nichtähnlichkeits-Lösnngen für die freie Konvektionsströmung an einem vertikalen Kegelstumpf bei konstanter Wandtemperatur

Übersicht Untersucht wird die laminare freie Konvektionsströmung und der Wärmeübergang an einem vertikalen Kegelstumpf. Zur Lösung der zugehörigen Grenzschichtgleichungen im Fall konstanter Wandtemperatur werden die Modelle der lokalen Ähnlichkeit und der lokalen Nichtähnlichkeit mit zwei bzw. drei Gleichungen eingeführt und die sich ergebenden Gleichungen numerisch gelöst. Die Lösungen nach den Modellen mit zwei und drei Gleichungen passen gut zusammen. Die Zahlenwerte von Strom- und Temperaturfunktionen, die für die Berechnung der Wandschubspannung und der Wärmeübergangsrate benötigt werden, sind für verschiedene Werte der Prandtl-Zahl angegeben.

     

Non-uniform inflation of a cylindrical elastic membrane and direct determination of the strain energy function

The existence of non-uniform inflation solutions in a closed end, initially cylindrical elastic membrane is proved by introducing plausible general constitutive assumptions. The deformation eventually reaches a steady progressive pattern under a constant internal pressure. Such deformations will actually occur because they require less work than the corresponding uniform deformations of the same membrane enclosing same amounts of ideal gas. The strain energy at each particle can be expressed algebraically in terms of the extension ratios and other measurable quantities. This suggests a simple and accurate method for directly determining the strain energy function over a wide range of strain.

---

Zusammenfassung Die Existenz der Lösungen ungleichmässiger Inflation in einer abgeschlossenen Ende, das ursprünglich eine zylindrisch elastische Membran ist, ist bestätigt durch einfuhrung allgemeiner und plausibler Material-Voraussetzungen. Die Deformation erreicht schliesslich unter einem konstanten inneren Druck eine beständig fortschreitende Weise. Solche Deformationen werden in der Tat vorkommen, weil sie weniger Arbeite als bei den entsprechenden gleichmässigen Deformationen brauchen, die mit derselber Membran den gleichen Betrag ideale Gas erhalten. Die Dehnungsenergie an jedes Teilchen kann algebraisch ausgedruckt werden, durch Dehnungsquotienten und andere messbaren Daten. Es andeutet eine einfache und sorgfältige Method für die direkte Bestimmung der Funktionen von Dehnungsenergie über einen breiten Dehnungsbereich.

     

Ein Beitrag zur Stabilitätstheorie der Wirbelstraßen unter Berücksichtigung endlicher und zeitlich wachsender Wirbelkerndurchmesser

Zusammenfassung Nach dem Bericht über die bekannten Arbeiten über die Stabilitäts-theorie der Wirbelstraßen wird die Vermutung ausgesprochen und begründet, daß der in den bisherigen Theorien nicht berücksichtigte endliche Wirbelkerndurchmesser und seine zeitliche Veränderung einen neuen Einblick in das Stabilitätsproblem der Wirbelstraßen verspricht.Es werden für die einreihige Wirbelstraße Bewegungsgleichungen aufgestellt, linearisiert und durch eine unendliche Reihe gelöst. Die Stabilitätsdiskussion zeigt die Instabilität der einreihigen Wirbelstraße in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung.Im Anschluß hieran werden die Bewegungsgleichungen für die beiden Typen der zweireihigen Wirbelstraße angegeben, linearisiert und für den Fall, daß nur ein Wirbel gestört wird, gelöst. Die Diskussion der Lösungen ergibt, daß für die Wirbelstraße mit auf Lücke stehenden Wirbeln für endliche Zeiten ein Stabilitätsgebiet existiert. Es werden spezielle stabile Lösungen angegeben. Für verschwindende Zähigkeit schrumpft das Stabilitätsgebiet auf eine Gerade zusammen, die die alte Stabilitätsbedingung nach Th. v. Kármán darstellt.Die Diskussion der Wirbelstraße mit gegenüberstehenden Wirbeln zeigt das überraschende Ergebnis, daß neben der Instabilität dieser Anordnung für kleine Zeiten bzw. für große Werte des Parameters k=h/l auch ein Stabilitätsbereich existiert, der jedoch nur durch Instabilitätsgebiete hindurch erreicht werden kann.Zum Schluß werden einige Bemerkungen über die Gültigkeit der Theorie und über die Möglichkeiten der experimentellen Verifizierung gemacht.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Wille, Prof. Dr. phil. E. Mohr).