一道高考向量题的多种解法

2014年高考数学（湖南卷）理科第16题：在平面直角坐标系中,O为原点,A（-1,0）,B（0,（1/2）3）,C（3,0）,动点D满足｜→CD｜=1,则｜→OA＋→OB＋→OD｜的最大值是.本题是一道平面向量最值问题,考查的知识点有向量的坐标运算、向量模的计算、两点之间的距离等,考查了转化与化归的思想,运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.属较大难度题.下面提供几种解法,供参考.     

离心率为2的双曲线的性质

1．问题的提出 在2007年高三复习中笔者选用了温州市高三适应性测试数学试卷，其中解答题17题是这样的：如图（图略），设A（-2，0），B（2，0），直线l：X=1，点C在直线l上，动点P在直线BC上，且满足→AP·→AC=0．     

直线的向量参数方程的推广及应用

新人教必修4第二章平面向量：已知A、B是直线L上任意两点,O是L外一点,则对直线L上任意一点P,存在实数t,使O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=（1-t）O→A＋tOB→,此向量等式叫做直线L的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足A→P=tAB→.若点P是平面内任意一点,向量O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=→λOA＋B→μO,当λ＋μ=1时,点P在直线L上,当λ＋μ≠1时,点P在哪？就这个问题做一下探讨,供参考.     

用向量的数量积巧解一类向量问题

已知三个向量a^→，b^→，c^→的模（长度）及a^→，b^→，c^→中每两个向量的夹角（或夹角的余弦值），且a^→=x^→b＋y^→c，如何求x，y的值？下面通过实例给出这一类问题的一种解法．     

一道高考题的拓广

2007年全国高考福建省理科卷第20题： 如图1，已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且^→QP·^→QF=^→FP·^→FQ.     

一个克莱姆规则几何背景的启示——怎么教？怎么学？

一个克莱姆规则几何背景的启示—怎么教？怎么学？余玄冰（北京师范大学数学系１００８７５）１克莱姆规则的一个几何背景在空间解析几何中，一个简单的几何事实是联系向量和坐标的纽带．即：给定不共面的三个向量ａ→，ｂ→，ｃ→，则空间任意一个向量ｄ→可由ａ→，ｂ→...     

直线的向量参数方程的推广及应用

<正>新人教必修4第二章平面向量:已知A、B是直线L上任意两点,O是L外一点,则对直线L上任意一点P,存在实数t,使O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=(1-t)O→A+tOB→,此向量等式叫做直线L的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足A→P=tAB→.若点P是平面内任意一点,向量O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=→λOA+B→μO,当λ+μ=1时,点P在直线L上,当λ+μ≠1时,点P在哪?就这个问题做一下探讨,供参考.     

力的合成与倍角公式

设在图1中所示的直角坐标系中,向量OA^→和OB^→百分别表示各为一个单位的力,它们之间的夹角为2θ．A点,B点的坐标显然分别为（1,0）和（cos2θ,sin2θ）．由求合力的法则可知,     

向量的平方

对于向量的平方,我们有（1）^→2a=｜^→a｜^2;（2）（^→a＋^→b）^2=｜^→a｜^2＋｜^→b｜^2＋2｜^→a｜·｜^→b｜cosθ（θ为^→a与^→b的夹角）。向量的运算和其他运算一样,若能考虑到向量自身的平方,则往往可以收到事半功倍的效果．本文试举几例,以期引起重视．     

[美]数学奥林匹克第5题推广的简证

第5题 设α，b，c是正实数，证明：（α^5-α^2＋3）（b^5-b^2＋3）（c^5-c^2＋3）≥（α＋b＋c）^3 （1） 文[2]将（1）推广为：     

数形结合妙解三题

例1 已知向量→OA=（2,0）,→OC=（2,2）,→CA=（√2cosα,√2sinα）,则→OA与→OB夹角的范围是（ ）．     

一道统考题的解题思路

题目（湖北省孝感市2009—2010学年度高中三年级第一次统一考试数学（理科）第18题）如图1,半径为1的⊙O上有一定点P和两个动点A、B,且AB=1,求PA^→·PB^→的最大值．     

关于共点向量分割三角形面积的四个结论

在三角形平面内任取一点,从该点到三个顶点的连线对应三个向量,其中每两个向量与三角形的一条边可构成一个三角形.若规定每个向量所对的三角形是指另外两个向量所在的三角形,那么各向量所对的三角形的面积与三个共点向量之间满足什么关系呢？下面归纳四个结论并证明之.结论1对于△ABC内的任一点P,若△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为SA、SB、SC,则SA·→PA＋SB·→PB＋SC·→PC=0.     

扇形的一个向量性质

若将平面向量的基本定理引入扇形,进行研究,则可得到定理设C是扇形ADB的弧AB上的动点,其中O是扇形所在的圆的圆心,     

一道美国数学奥赛题的再思考

第33届美国数学奥林匹克第5题为： 设a，b，C均为正实数，证明： （a^5-a^2＋3）（b^5-b^2＋3）（c^5-c^2＋3）≥（a＋b＋c）^3.     

多角度深层次挖掘已知条件

笔者在某高三一轮复习参考书上看到这样一道习题： 题目 如图1所示,P为△AOB所在平面上一点,向量^→OA=^→a,^→OB=^→b,且P在线段AB的垂直平分线上,向量^→OP=→c.若｜^→a｜=3,｜^→b｜=2,则^→c·（^→a-^→b）的值为（ ）.     

定比分点公式的向量形式及其应用

向量代数中 ,关于线段的定比分点公式有两种形式 :一种是坐标形式 ,一种是向量式 ,由于受传统习惯思维的影响 ,我们在解决有关问题时 ,往往倾向于用坐标形式的公式 ,但其实向量式在应用时更具有整体、便捷的优越性 .下面推导定比分点向量公式 :图 1　定比分点示意图如图 1 ,在平面内任取一点O ,设OA→ =a ,OB→ =b ,OC→ =c,C分别AB→ 所成的比为m ,即AC→ =mCB→ .∵AC→ =OC→ -a ,　CB→ =b -OC→ .∴ (OC→ -a) =m(b -OC→ ) .OC→ =a +mb1 +m =11 +ma + m1 +mb ( 1 )公式 ( 1 )就是线段的定比分点公式的向量形式 .1　对公…     

空间向量，夹角与距离

本单元的重点：空间向量的加减、数乘以及数量积的运算，向量共线、共面及其基本定理，向量的坐标形式及其运算，空间的夹角与距离．其中夹角（异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角等）与距离（点点距、点线距、点面距等）一直是高考考查的重点和热点．     

活用三角形外心向量性质解向量问题

对于三角形的外心,有如下优美的向量性质：性质如图1,O为△ABC的外接圆的圆心,则→AO·→AC,1/2→AC,→CO·→CB=1/2→CB2,→BO·→BA→=1/2→BA2证明过点O作OD⊥AC于点D,则D为线段AC的中点.于是→AO·→AC =｜→AO｜·｜→AC｜cos∠OAC= （｜→AO｜·cos∠OAC）·｜→AC｜     

一道最值问题的两种求解策略

题目 如图1，已知｜OA^→｜=1，｜OB^→｜=√3，OA^→与OB^→的夹角为150°，点C是△AOB的外接圆上优弧AB上的一个动点，求OA^→·OC^→的最大值．