调和点列在高考试题中的应用

定义1设A、B、C是直线l上三点,称(AC)/(BC)为点列A、B、C的单比,表示为(ABC)=(AC)/(BC).这里AC、BC都为有向线段.定义2设射影直线上的点列A、B、C、D均为普通点,称(ABC)/(ABD)为点列A、B、C、D的     

一类抛物线内接三角形的面积公式

文[1]给出了一类三角形面积公式的优美结论,即过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点,若线段AF与FB的长分别为a、b.则S△AOB=(p2)/(4)((a)/(b) (b)/(a)).事实上有     

利用杠杆原理和重心概念解题例说

用杠杆原理和重心概念解几何题,就是把几何上同一直线上的点赋予质量,这样根据杠杆平衡条件,几何上的线段比与线段端点的质量比就能互相转化。如图1,将线段MN视为没有质量的杠杆,对杠杆MN来说,在M、N点分别置质量m,n使杠杆MN的重心在MN上的某点A,根据重心概念则A点的质量即为(m n)。若分别将A,M,N视为支点,则由杠杆平衡条件分别有:AM·m=AN·n;MN·n=AM·(m n);MN·m=AN·(m n),即(AM)/(AN)=n/m;(AM)/(MN)=n/(m n);(AN)/(MN)=m/(m n)·运用这种方法解答某些几何题,能起     

张角定理及其应用

<正>一、张角定理设A、C、B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA、PC、PB上的点,线段AC、CB对点P的张角分别为a、β,且a+β<180°,则A、C、B三点共线的充要条件是:(sin(a+β))/(PC)=(sinα)/(PB)+(sinβ)/(PA).     

一道传统试题的研究性学习

我们大都见过这样一道习题:曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)＝1上的两点A(x1、y1),B(x2、y2),线段AB的中点为M,若AB、OM的斜率分别为kAB、kOM,则 kABkOM＝(b2)/(a2). 该题的精典解法是点差法(端点坐标相减法),本文略.现在该题的基础上作如下探究,切入点是将习题中一条弦变为(共端点的)两条弦.     

对双曲线中点弦的探讨

例题已知双曲线x~2-y~2/2=1,试问过点A(1,1)能否作直线l,使它与双曲线交于M、N两点,且点A是线段MN的中点?解设M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)则①-②得(x_1~2-x_2~2)-(y_1~2-y_2~2)=0,∴k_(MN)=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(2(x_1 x_2)/(y_1 y_2)=2．     

一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

巧用定比λ处理介值问题

一、λ的范围及其几何意义我们知道,定比λ=(P_1P)/(PP_2)。表示的是P点分有向线段P_1P_2的(分点P的)比,其几何意义是: 1.当λ>0时.P点位于P_1、P_2之间; 2.当-1<λ<0时,P点在P_2P_1的延长线     

转换视角看新定义问题

<正>1原题及分析(2023年海淀初三期末)在平面直角坐标系x Oy中,对于点P和线段AB,若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点,则称点P为线段AB的融合点．(1)已知A(3,0),B(5,0),(1)在点P1(6,0),P2(1,-2),P3(3,2中,线段AB的融合点是_____;     

有向线段、定比分点

本单元知识点及重要方法本单元有几个重要概念 :有向线段 ,有向线段的长度 ,有向线段的数量 ,有向线段的定比分点 ;二个重要公式 :有向线段的定比分点公式 ,两点间的距离公式 ;一个重要的数学方法 :解析法 .有向线段、有向线段的定比分点是本单元的重点与难点 .深刻理解有向线段的定比分点概念 ,是灵活运用有向线段定比分点公式解题的关键 .练习选择题1　若点Ｐ分有向线段ＭＮ所成的比为 - 13 ,则点Ｎ分有向线段ＭＰ所成的比为 (　　 )(Ａ) - 13 .　　　　　 (Ｂ) 13 .(Ｃ) - 23 .　 (Ｄ) 23 .2　已知点Ａ(ｘ1 ,ｙ1 )关于点Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )中…     

立足旧教材融合新课改——对2010年湖北高考数学理科第15题的思考与拓展

2010年湖北高考数学理科第15题:图1设a>0,b>0,则(2ab)/(a+b)为a,b的调和平均数.如图1,C为线段AB上的点,AC=a,CB=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.     

初中几何中线段的最小值问题

<正>几何中线段的最小值问题常作为中考的考点,解题依据主要有:"两点之间线段最短"、"垂线段最短"和"圆外一点与圆心的连线与圆相交,这一点与交点的线段就是点到圆的最短线段"等几何基本事实和推论,但运用时往往会将其转化,构造相等线段(全等三角形)和辅助圆来解答.1直接利用基本事实和推论(1)利用"两点之间线段最短"例1如图1,在菱形ABCD中,AB=10,∠A=120°,点P,Q分别是线段BC、CD的中点,点K为线段BD上任意一点,求PK+QK的最小值.分析运用"两点之间线段最短"时,往往运用轴对称,因为点K为线段BD上任意一     

二次曲线切线通解方程的初等形式

《二次曲线切线方程的进一步讨论》 (I)一文中,运用高等数学知识,导出了从平面上一点作二次曲线切线的通解方程。在数学实践中,曾用中学生所熟悉的定比分点及二次方程判别式的原理导出二次曲线通解方程的初等形式。在推导过程中,既能灵活地运用基础知识,又能拓宽学生的思路,在知识方面也形成了一个比较完整的体系。现简介如下。如图,过二次曲线Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)外一点P(x_θ,y_θ)作直线PT,T的坐标为(x_T,y_T),那么分线段PT所成的比为λ的点Q的坐标为[(x_θ+λx_T)/(1+λ),(y_θ+λy_T)/(1+λ)]。若Q     

构造“圆和圆外一定点”模型求线段最值

<正>如图1,点P为⊙O外一点,连接PO并延长,交⊙O于点A,B,则连接点P和⊙O上任意一点所得的线段中,PA最短,PB最长.结论略证如下:如图2,点C为⊙O上任意一点(不和点A,B重合),连接CO,由三角形三边关系知道:PC+CO>PO,又PO=PA+AO,CO=AO,所以PC+CO>PA+AO,即PC>PA.由三角形三边关系知道:PO+CO>PC,又PO+CO=PB,所以PB>PC.当C为⊙O上任意一点(可以和点A,B重合)时,便有结论 PA≤PC≤PB,利用这一     

三角形等角共轭点的一个性质

定理 设P、Q为△ABC内两点,且∠PAB=∠QAC, ∠PBC=∠QBA,∠PCA=∠QCB,求证:(AP)/(AQ)=(sin∠BQC)/(sin∠BPC), (BP)/(BQ)=(sin∠AQC)/(sin∠APC), (CP)/(CQ)=(sin∠AQB)/(sin∠APB).     

线段、角目标检测(二)

一、判断(每空2分,共26分) 1.三条直线两两相交一定有3个交点。 ( ) 2.线段AB的长度是点A到点B的距离。 ( ) 3.当线段AM=MB时M就是线段AB的中点。 ( ) 4.平角是始边和终边互为反向延长线的角。 ( )     

以定比λ为参数的题解拾零

一、定比λ的几何意义及其正负值的确定从高中课本《平面解析几何》所述“线段的定比分点”的内容中,我们便可得到定比λ(在定比分点坐标中λ≠-1)的几何意义是:λ所对应的点P就是分线段p_1p_2为定比λ=p_1 p/(pp_2 )的分点。如果点P是线段p_1 p_2了的内分点,这时λ为正值;如果点P是线段p_1p_2的外分点,这时λ为负值。二、应用举例如果视λ为多数,那么,我们在解决一些关于线段的比以及与线段的比有关的问题时,便可以考虑利用参数λ。 (I)组成解析法。例1 △ABC的两边AB、 AC 的中点分别     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.己知点C是线段AB上一点,且BC=2⁽²⁰¹⁸⁾,点M,N分别是线段AB和线段AC的中点,然后顺次取线段AM和线段AN的中点M_1,N_1,接着顺次取线段AM_1和线段AN_1的中点M_2,N_2……试求线段M_(2017)N_(2017)的长.     

一道填空压轴题的解法探究与启示

<正>原题如图1,抛物线y=-1/3x²+1/3x+4与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B.在线段AC上取一点D,使AD=AB.动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点C运动,运动时间为t秒,当点P关于直线BD的对称点在线段BC上时,则t的值是().(A)4(B)(45)/(13)(C)(25)/7(D)(18)/5分析此题是一道选择压轴题,考察了二次函数、三角形、图形变换、动点等综合问题,从不同的角度突破,可以探寻出多种解法.我     

一道中考题让我知道

<正>(2015年湖州)24.平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,线段AB的两个端点A(0,2),B(1,0)分别在y轴和x轴的正半轴上,点C为线段AB的中点,现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过点D.(1)如图1,若该抛物线经过原点O,且a