数学问题解答

数学问题解答１９９６年７月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０２１任意给定个不同的自然数，证明其中必有两个数的和或差是ｎ的倍数证明任意个不同自然数除以ｎ的余数，只能是０，１，２，…，（ｎ－３），（ｎ－２），（ｎ－１），这ｎ个数中的数．１）如果这个余...     

柯召、孙琦—单墫定理的拓广

一、引言人们容易证明任意3个整数中必有两个整数之和为2整除,任意5个整数中必有3个整数之和为3整除,柯老和孙琦教授在[1]中证明了任意7个整数中必有4个整数之和为4整除,并猜测任意2n-1(n>1)个整数中必有n个整数之和能为n整除。1983年单墫     

关于n连贯多项式的几个结论

数集K上的多项式f（x）＋i（i＝0，1，…，n－1，整数n≥2）均在K上可约，则称f（x）为K上的n连贯多项式，二连贯多项式简称连贯多项式．自[1]提出n连贯多项式的概念以来，有较多文献在研究它．一般在复数集C，实数集R，有理数集Q，或整数集Z上研究n连贯多项式．本交给出关于”连贯多项式的n个结论（没有指明在哪个数集上时，指在任意数集上），这些结论都是由n连贯多项式的定义容易证明的，所以多未证明．定理1（1）复数域C上次数不小于2，或R上次数不小于3的多项式均为n连贯多项式；（2）ax2＋bx＋c（a＞0）在R上为n连贯多项式的充要…     

初等数论中的一个猜测

任意的三个数(本文中数均指整数)中必有两个数的和为2整除,五个数中必有三个数的和为3整除,柯召、孙琦证明了任意的七个数中必有四个数的和为4整除,并猜测任意的2n—1个数中必有n个数的和为n整除.本文证明这一猜测是正确的,即有     

谈谈质数

自然数是指　１,２,３,…之一;整数则是指　…,－２,－１,０,１,２,…之一;自然数即正整数;二整数间可以定义和、差、乘运算,其结果仍为整数,即“整数集合对加、减、乘运算是自封的”;定理１（欧氏除法）：任二整数ａ及ｂ（＞０）,必有整数ｑ及ｒ满足　ａ＝ｂｑ＋ｒ,　　０≤ｒ＜ｂ若在上式中ｒ＝０,即ａ＝ｂｑ,则称ａ为ｂ之倍数,或ｂ为ａ之因数,记为ｂ｜ａ．否则记为ｂｘａ．自然数可以分成三类：１：只有自然数１为其因数;ｐ：恰有１与ｐ为其因数,这种数称之为质数;ｎ：除１与ｎ之外,还有一个因数,这种数称为复…     

计算星期几的一个公式

本文依据同分理论和容斤原理，建立起计算星期几的一个公式1预备知识（1）年份为4的倍数但非100的倍数的那年为闰年，年份为400的倍数的那年为闰年（2）平年一年的总天数为365天，闰年二月29天（3）1至n中a的倍数的数有个，a∈N，[x]为x的整数部分（4）365≡1（mod7），29≡1（mod7）2计算公式Si．j．k≡（i－1）（r为整数，0≤r≤6）式中Si．j．k表示从公元元年1日至所求之日的总天数，i、J、k分别表示所求之日对应的年、月、日，Ni．j．k表示i年元月1日至k日的总天数3公式推导因为100的倍数的数包含在4的倍数的数之中，而400的倍数的数…     

初一(上)半期综合测试(一)

一、判断题（每小题１分，共１０分）１．整数和分数统称有理数．（　）２．设甲数为ｘ，若乙数比甲数的一半小２，则乙数是１２（ｘ－２）．（　）３．若ａ、ｂ互为相反数，则１３（ａ－ｂ）＝０．（　）４．若ａ＞０，ｂ＜０，则１ａ＞１ｂ．（　）５．没有最大的负数．（　）６．两个有理数的差一定小于被减数．（　）７．任何有理数都有倒数．（　）８．两个有理数的和与积都是正数，则这两个数必都是正数．（　）９．如果（－ｘ）２＝９，那么ｘ＝３．（　）１０．一个数的平方一定是正数．（　）二、填空题（每小题２分，共２０分）１…     

求伪素数的一个公式

定义若n是合数，且满足2n－1－1≡0（modn），则称数n是伪素数．从1819年有人发现第一个伪素数341后，更多的伪素数被找出，如561，645等等．伪素数的个数无穷．陈历功和陈君安在上文文[2]中提出了一条直接求伪素数的定理．即：若p是大于5的素数，则n是伪素数．此理论概括了一类伪素数，笔者通过探索发现，还存在另一类伪素数，其公式如下．定理若p是异于3和7的奇素数，则是伪素数．证明设p是异于3和7的奇素数．为整数，数．因异于3和7的奇素数的个数无限，所以，这类伪素数的个数也无穷．文［Zj中猜想："无法找出两个统一的正整数a，m，当…     

用142857练习珠心算加减法

一、我们从14285714285714……这个循环数字中任意取出连续3位数，再加上1，就可以组成143、286、429、572、715、858，这6个数字，它们都是142857＋999：143的倍数。我们将这6个数任意错位相加或相减．或多次任意加减后所得到的任意数，仍然是143的倍数。如：     

关于一道IMO函数方程试题的再推广

第28届IMO的第四题是一道关于函数方程的试题：求证不存在函数f：N→N，使得对于每个n∈N，f（f（n））＝n＋1987[1]．沈华老师[2]将上述试题推广为下面的定理：定理1设m为自然数，存在函数f:N→N，使得每个n∈N，均有f（f（n））＝n＋m的充要条件是m为偶数．但其证明有一处小的疏漏（见［2］中证明的（2）式）．本文我们首先完善定理1的证明，并给出当m为偶数时满足条件的函数f：N→N的构造与个数．定理1的证明对任何m∈N，假设存在这样的函数f，则有f（n＋m）＝f（f（f（n））））＝f（n）＋m．进而由归纳假设易证：对非负整数k，均…     

关于Konvalina定理的注记

从1,2,…,n中选定个数a_1相似文献   

关于周期函数的定义及教学中应注意的问题

1问题的提出在中学数学教学时，经常会遇到类似这样的问题：函数y＝sinx（x＞0）是不是周期函数？要回答这个问题，我们还得从周期函数的定义谈起．2关于周期函数的定义关于周期函数的定义，我们常见的有如下两种：定义1设f（X）是定义在某数集M上的函数，若有在一常数T（≠0），具有性质；（i）对于任回x∈M，有±T∈M;（ii）对于任何x∈M，有f（x＋T）＝f（x），那么称f（x）为集M上的周期函数．常数T称为f（x）的一个周期．定义2对于函数y＝f（x）的定义域内的任意一个x的值，若存在一个非零常数T，使得f（x＋T）＝f（x）恒成立，则…     

“隐含条件”对确定微分方程解的作用

微分方程解的理论告诉我们：通解中任意常数的个数与方程的阶数相同，求得通解后，利用初始条件就可确定其特解。但对某些特殊问题，微分方程的通解中任意常数的个数多于微分方程的阶数或持解决定不出。我们认为这并不是解的理论出了问题，而是一些条件没有得到充分利用，笔者将其称为“隐含条件”。现举例说明如下：试求函数f（x）。解为：而一阶方程只含一个任意常数。分析可知：f（t）是方程的解，则存在。据可导必连续有人0”）一八百）定出口2＊一1．故所求通解为人X）一在这里f连续是“隐含条件”。例2求方程y”W4y一3sinx在卜一。，…     

一个插值公式及其应用

本文介绍二次拉格朗日插值公式及其在证明与二次函数相关的不等式方面的广泛应用．二次拉杜朗间揭值公式：设f（x）是M次多项式，。，，az，as是3个两两不等的常数，则：、（xa。）（xas）。in3u！，＼2382，证明将等式右端的二次三项式记为p（X），由于人J）一户（X）的次数＜2且人工）一户（X）一0有3个不同的根：N一rtl，HMQZ，NMrt3·故f（X）一p（X）．下面略举囊的介绍二次指位公式的应用．例1已知a，b，c为实数，函数／（x）。。2＋bte＋C，g（x）＝。＋b，当1＜x＜1时，if（川＜1．（1）证明：Icl＜1；（2）证明：当一1＜X＜…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅳ)

例题讲解25设0≤ai≤9(i＝0，1，2，n，）。）且。，；产0，A—10’la＋10”’a。；－I＋…＊10al＋ac（1、）作AI＝D（A）＝。，；十2。；；l＋2、，；，十··＋2”Ial＋2”a。（z）AZ＝D（AI），A3＝D（AZ），…（1）证明：对任意自然数A，在上述过程中必出现Ah＜20，使D（Ah）一Ah门）若A＝1998，试确定Ah使D（Ah）一Ah证明（1）若，I＝0即A为一位数，则D（A）＝A；若n—1即A为两位数，则A－D（A）＝（10al＋ac）－（al＋Zan）一901－10（3）故A—D（A）＞0即A＞D（A），当且仅当川”1，。0“9，即A＝19时成立等号若…     

与一类算术函数关联的矩阵的行列式的下界

设f为一个算术函数，S=｛x1，…，xn｝为一个n元正整数集合．称S为gcd-封闭的，如果对于任意1≤i，j≤n，均有（xi，xj）∈S．以S=｛y1，…，ym）表示包含S的最小gcd-封闭的正整数集合．设（f｛xi,xj））表示一个n×n矩阵，其（i,j）项为f在xi与xj的最大公因子（xi,xj）处的值．设（f[xi,xj]）表示一个n×n矩阵，其（i,j）项为f在xi与xj的最小公倍数[xi.xj]处的值．本文证明了。(i)如果f∈Cs=｛f:(f*μ)(d)＞0，x∈S,d|x｝这里f*μ表示f与μ的Dirichlet来积，μ表示Mobius函数，那么并且（1）取等号当且公当S=（ii）如果f为乘法函数，并且1/f∈Ca,那么并且（2）取等号当且仅当S=。不等式（1）和（2）分别改进了Bourque与Ligh在1993年和1995年所得到的结果。＃且（1）＄＄95llttgS－g；（n）toilk＃ffed数，＃if｝。C。，W4并且问取等号当且仅当S一S．不等式（1）和（2）分别改进了Bourque与Li少在1993年和1995年所得到的结果     

数学奥林匹克讲与练(V)

例题讲解33考察由数字0和1组成的有序组，我们称之为"元"；元中所含数字（0和1）的个数称为元的长度．由若干元组成的集合A称为基本的：若任意一个由0和1组成的无穷序列中总存在一段（即存在若干相邻的项），此段恰是A中的一元．求证可选出不多于n个长度为8的元，它们组成的集合是基本的证明我们先取定51个长度为8的元，然后证明由它们组成的集合是基本的取a1＝11111111，a2＝00000000，a3＝10101010；又取b1＝100βi，其中βi历尽长度为5的元，共有25＝32个，故1≤i≤32；再取cj＝1101rj，其中rj历尽长度为4的元，共有24＝16个，故1≤j≤1…     

河南省暨重庆市(1998)高中数学竞赛试题及解答

一、选择题：（本题满分30分，每小题5分）1．在等差数列｛an｝中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a9－a10的值为（C）2．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作倾角为的弦AB，则△ABF1的面积为（B）．5．一半径为a的半球内切于顶角为90°的圆锥，半球的底面在圆锥的底面内，则V半球：V圆锥等于（A）6．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，对任意x∈R，都有f（x＋4）＝f（x）＋f（2）成立．则f（1998＝（D）．即f（x）是以4为周期的函数．∴f（1998）＝f（499×4＋2）＝f（2）＝0．二、填空题（本题满分30分，…     

两个充要条件及应用

定理1 设函数f（x）=Atan（ax＋φ）（A〉0，m〉0）的最小正周期为T，则当自变量x在任意两个整数间（包括两个整数本身）变化时，f（x）至少有两次失去意义的充要条件是T≤1/2．     

关于高斯整数环的商环元素个数的注记

设 Z表示整数环 ,i表示虚数单位 ( i=- 1 ) .Z( i)为所有形如 a+ bi( a,b∈ Z)的复数组成的集合 ,称为高斯整数环 .高斯整数环中的元素称为高斯整数 .在文 [1 ]中 ,提出了两个猜测 ,其中之一是 :设 m和 n都是整数 ,则高斯整数环 Z( i)的商环 Z( i) /( m+ ni)的元素个数不超过 m2 + n2 .本文证明这一结论成立 ,且更明确的有 ,| Z( i) /( m+ ni) | =m2 + n2 .注意 ,对 m=0 (或 n=0 )以及 m任意但 n=1 (或 n任意但 m=1 )的情形 ,文 [1 ]已经证明此等式成立 .以下我们用 | A|表示集合 A的元素个数 ,也用 | α|表示复数 α的模 .下面给出的是…