从几道北京高考题看数学思想的解题威力

问题是数学的核心 ,思想 (数学思想 )是数学的灵魂 .数学思想在数学解题中的自觉应用正在引起广大中学生的高度重视 .2 0 0 2年高考第一次北京市自主命题 ,现撷取其中题目加以评析 ,供读者欣赏 .一、( 2 )在平面直角坐标系中 ,已知两点Ａ(ｃｏｓ80° ,ｓｉｎ80°) ,Ｂ(ｃｏｓ2 0°,ｓｉｎ2 0°) ,则 |ＡＢ|的值是(　　 ) .(Ａ) 12 　 (Ｂ) 22 　 (Ｃ) 32 　 (Ｄ) 1解　 |ＡＢ|=(ｃｏｓ80° -ｃｏｓ2 0°) 2 +(ｓｉｎ80° -ｓｉｎ2 0°) 2=ｃｏｓ2 80° +ｓｉｎ2 80° +ｃｏｓ2 2 0°+ｓｉｎ2 2 0° - 2 (ｃｏｓ80°ｃｏｓ2 0° +ｓｉｎ80°…     

名校基础知识自测

★高一年级北京师大二附中 (10 0 0 88)　汪燕铭一、选择题1.ｓｉｎ15°·ｓｉｎ3 0°·ｓｉｎ75°的值等于 (　　 ) .(Ａ) 34 　 (Ｂ) 38　 (Ｃ) 18　 (Ｄ) 142 .ｃｏｓ2 75° +ｃｏｓ2 15° +ｃｏｓ75°·ｃｏｓ15°的值等于 (　　 ) .(Ａ) 62 　 (Ｂ) 32 　 (Ｃ) 54 　 (Ｄ) 1+343 .ｃｏｓ(α +β)·ｃｏｓ(α- β) =13 ,则ｃｏｓ2 α -ｓｉｎ2 β的值是(　　 ) .(Ａ) - 23 　 (Ｂ) - 13 　 (Ｃ) 23 　 (Ｄ) 134 .ｃｏｓ4 0° +ｃｏｓ60°+ｃｏｓ80°+ｃｏｓ160°等于 (　　 ) .(Ａ) 0　 (Ｂ) 12 　 (Ｃ) - 1　 (Ｄ) 15.ｃｏｓ π12 -ｃ…     

用余弦定理构造三角形解题

余弦定理是解决有关三角形问题的有力工具 ,其实它还可用于非三角形问题的求解 .在数学解题中 ,常会碰到形如“ａ2 ｂ2 ｋａｂ =ｃ2 (ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,|ｋ|<2 )”的结构 ,这时可类比余弦定理 ,进行几何代换 ,从而把代数问题转化为三角形问题 ,使比较隐蔽的关系直观化 ,实现了难题巧解 ,下面举例说明 .1　三角求值例 1　 (1995年全国高考题 )求ｓｉｎ2 2 0° ｃｏｓ2 50° ｓｉｎ2 0°ｃｏｓ50°的值 .解　ｓｉｎ2 2 0° ｃｏｓ2 50° ｓｉｎ2 0°ｃｏｓ50°=ｓｉｎ2 2 0° ｓｉｎ2 4 0° ｓｉｎ2 0°ｓｉｎ4 0°=ｓｉｎ2 2 0° ｓｉ…     

名校基础知识自测

高一年级北京师范大学二附中 (10 0 0 88)　汪燕铭一、选择题1.若ｃｏｔα =125 ,则有 (　　 ) .(Ａ)ｓｉｎα =513 　　　　 (Ｂ)ｓｅｃα >ｔａｎα(Ｃ)ｃｏｓα =±1213 (Ｄ)ｔａｎα =± 5122 .若ｔａｎ10°·ｃｏｔ10° + 1-ｓｉｎ2 α·ｃｏｓα +1-ｃｏｓ2 α·ｓｉｎα =0 ,则 (　　 ) .(Ａ)α =10°(Ｂ)α =ｋ·3 60°+ 10°(ｋ∈Ｚ)(Ｃ)α为任意角　　 (Ｄ)α是第三象限角3 .若α∈ (-π ,-π2 ) ,则 1-2ｓｉｎ α2 ·ｃｏｓ α2化简的结果是 (　　 ) .(Ａ)ｓｉｎ α2 -ｃｏｓ α2 (Ｂ)ｃｏｓ α2 -ｓｉｎ α2(Ｃ)± (ｓｉｎ α2 …     

一道三角题的另几种解法

《中学生数学》(2 0 0 2年 4月上期中刊登的《一道三角题的几种解法》)给人启示很大 .今给出该题与另外几种解法与大家共享 .题目　若 0 <θ <π2 ,且 3ｓｉｎθ+4ｃｏｓθ =5 ,求ｔａｎθ .一、向量模型解解　由向量内积的坐标表示我们可以构造ａ—→ =(3 ,4) ,ｂ—→=(ｓｉｎθ ,ｃｏｓθ) ,设ａ—→ 与ｂ—→ 的夹角为α .由ａ—→·ｂ—→=|ａ—→||ｂ—→|ｃｏｓα得5 =3ｓｉｎθ +4ｃｏｓθ =5× 1×ｃｏｓα ,得　ｃｏｓα =1 (0°≤α≤ 1 80°) ,　∴　α =0°,即ａ—→ 与ｂ—→ 共线 ,　∴　ｔａｎθ=34.二、解析几何模型解解法…     

一道数学高考题的巧解及推广

例1　求ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°·ｃｏｓ50°的值.按常规解法,这道题一般是先降次,再和差化积,积化和差.但过程较繁,现给出一种解法如下.解　设ｘ=ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°·ｃｏｓ50°,ｙ=ｓｉｎ270° ｓｉｎ250° ｓｉｎ70°·ｓｉｎ50°,则ｘ ｙ=2 ｃｏｓ20°(1)　ｘ-ｙ=ｃｏｓ140° ｃｏｓ100° ｃｏｓ120°=2ｃｏｓ120°ｃｏｓ20°-12=-ｃｏｓ20°-12(2)(1) (2)得2ｘ=32,即ｘ=34.∴ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°ｃｏｓ50°=34.现在,我们把这道题推及一般.例2　求ｃｏｓ2α ｃｏｓ2β ｃｏｓαｃｏｓβ在…     

高一同步测试题

两角和与差的三角函数选择题1　ｃｏｓ75°ｓｉｎ75° -ｓｉｎ75°ｓｉｎ15°的值为 (　　 )(Ａ) 0 .　 (Ｂ) 1.　 (Ｃ) 12 .　 (Ｄ) - 12 .2　已知α ,β ,α β都是锐角 ,则 (　　 )(Ａ)ｓｉｎα ｓｉｎβ <ｓｉｎ(α β) <ｃｏｓα ｃｏｓβ .(Ｂ)ｓｉｎα ｓｉｎβ <ｃｏｓ(α β) <ｓｉｎ(α β) .(Ｃ)ｓｉｎ(α β) <ｃｏｓα ｃｏｓβ <ｓｉｎα ｓｉｎβ .(Ｄ)ｓｉｎ(α β) <ｓｉｎα ｓｉｎβ <ｃｏｓα ｃｏｓβ .3　若α ,β均为锐角 ,ｓｉｎα =2 55,ｓｉｎ(α β) =35,则ｃｏｓβ = (　　 )(Ａ) 2 55.　…     

绍兴市1999年高考模拟考试数学试卷

以下数据、公式供解题时选用 :2 =1.4 14,3=1.732 ,ｓｉｎ4 5°=0 .70 71,ｓｉｎ75° =0 .96 59,ｃｏｓ75° =0 .2 588.ｓｉｎα ｓｉｎβ =2ｓｉｎα β2 ｃｏｓα - β2 ,ｃｏｓα ｃｏｓβ=2ｃｏｓα β2 ｃｏｓα - β2 ,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=2ｃｏｓα β2 ｓｉｎα - β2 ,ｃｏｓα -ｃｏｓβ=- 2ｓｉｎα β2 ｓｉｎα - β2 .选择题 :本大题共 14小题 ;第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　已知集合Ｍ ={ｘ|ｘ≥ 33,ｘ∈Ｒ}及ａ =2 7,则下列各…     

关于无穷级数等式sum from n=1 to ∞( 1/n~2)=π~2/6的证明

无穷级数是数学分析、微积分、高等数学等课程的重要组成部分 ,它在组合数学、近似计算、敛散性判断等领域中起着不可估量的作用 .本文按照初等数学与高等数学相结合的原则 ,收集整理了无穷级数∑∞ｎ =11ｎ2 =π26 的二种证明方法 ,为同学们学习提供一些参考 .证法一　棣莫佛公式法 (ＤｅＭｏｉｖｅｒ)将ＤｅＭｏｉｖｅｒ公式 (ｃｏｓα+ｉｓｉｎα) ｋ =ｃｏｓｋα+ｉｓｉｎｋα按二项式定理展开为ｃ0ｋｃｏｓｋα +ｃ1 ｋｃｏｓｋ- 1 α·ｉｓｉｎα -ｃ2 ｋｃｏｓｋ- 2 α·ｓｉｎ2 α +… +ｃｋｋ(ｉｓｉｎα) ｋ =ｃｏｓｋα+ｉｓｉｎ…     

一个三角函数的最小上界

第 1 9届全俄中学生数学奥林匹克竞赛中有一个三角不等式问题 :求证 :对任意的实数ｘ,ｙ,ｚ,有下面的不等式ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ+ｓｉｎ2 ｙｃｏｓｚ+ｓｉｎ2 ｚｃｏｓｘ<32 (1 )成立 .文[1 ]对(1 )做了推广 ,给出一个一般性的结果 :命题 1　设ｘ,ｙ,ｚ∈ 0 ,π2 ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,则ｓｉｎｍｘｃｏｓｎｙ+ｓｉｎｍｙｃｏｓｎｚ+ｓｉｎｍｚｃｏｓｎｘ<1 +ｍｍｎｎ(ｍ+ｎ) ｍ+ｎ (2 )并根据 (2 )将 (1 )加强为ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ +ｓｉｎ2 ｙｃｏｓｚ +ｓｉｎ2 ｚｃｏｓｘ<1 +2 39≈ 1 3 85 (3 )本文进一步将 (3 )加强为ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ+ｓｉ…     

sinα±cosα与tgα-ctgα的符号图

判断ｓｉｎα±ｃｏｓα与ｔｇα -ｃｔｇα的符号问题 ,在高考中屡见不鲜 .由单位圆中的三角函数线易得如下结论 :图 1　ｓｉｎα±ｃｏｓα的符号图　图 2　ｔｇα -ｃｔｇα的符号图由图 1知 ,直线 ｙ =±ｘ将坐标平面分成四个区域 ,当角α的终边落在直线ｙ=ｘ上时 ,ｓｉｎα-ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =ｘ上方有ｓｉｎα -ｃｏｓα >0 ,在 ｙ =ｘ下方有ｓｉｎα-ｃｏｓα <0 ;当角α的终边落在直线 ｙ =-ｘ上时 ,ｓｉｎα +ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =-ｘ上方有ｓｉｎα +ｃｏｓα >0 ,在ｙ =-ｘ下方有ｓｉｎα +ｃｏｓα <0 .由图 2知 ,ｘ轴、ｙ轴…     

综合题新编选登

题 3 5　 三角形ＡＢＣ中 ,三内角为Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,复数ｚ =52 ｓｉｎＡ +Ｂ2 +ｉｃｏｓ Ａ -Ｂ2 ,|ｚ| =324 .1)求ｔａｎＡ·ｔａｎＢ的值 ;2 )当Ｃ取最大值时 ,存在动点Ｍ使 |ＭＡ| ,|ＡＢ| ,|ＭＢ|成等差数列 .试通过建立适当的坐标系 ,求|ＭＣ||ＡＢ| 的最大值 .解　 1) |ｚ| 2 =52 ｓｉｎ Ａ +Ｂ22 +ｃｏｓ2 Ａ -Ｂ2 =98,即 10ｓｉｎ2 Ａ +Ｂ2 + 8ｃｏｓ2 Ａ -Ｂ2 =9,10·1-ｃｏｓ(Ａ +Ｂ)2 + 8·1+ｃｏｓ(Ａ -Ｂ)2 =9,∴ 4ｃｏｓ(Ａ -Ｂ) - 5ｃｏｓ(Ａ +Ｂ) =0 ,4ｃｏｓＡｃｏｓＢ + 4ｓｉｎＡｓｉｎＢ -5ｃｏｓＡｃｏｓＢ + 5ｓｉｎＡ…     

一道错题

错题　 (本刊 2 0 0 2年第 14 ,16期Ｐ31第 15题 )设α ,β ,γ∈ 0 ,π2 ,且ｓｉｎα +ｓｉｎγ =ｓｉｎβ ,ｃｏｓα+ｃｏｓγ =ｃｏｓβ ,则 β -α等于 (　　 )(Ａ) - π3.　 (Ｂ) π6 .　 (Ｃ) π3或 - π3.　 (Ｄ) π3.错因　因α ,β ,γ都是锐角 ,故ｓｉｎα ,ｓｉｎβ ,ｓｉｎγ及ｃｏｓα ,ｃｏｓβ ,ｃｏｓγ均为正值 ,于是 0 <ｓｉｎα <ｓｉｎβ及0 <ｃｏｓα <ｃｏｓβ ,从而ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α <ｓｉｎ2 β +ｃｏｓ2 β ,矛盾 .题设条件不相容 ,原题是一道错题 .修正　将条件“ｃｏｓα +ｃｏｓγ =ｃｏｓβ”换为“ｃｏ…     

一个三角等式的探索过程

笔者在探究光的反射和弹性碰撞问题时 ,发现了如下三角公式 :ｓｉｎαｃｏｓ4αｃｏｓ3α ｓｉｎαｃｏｓ3αｃｏｓ2α ｓｉｎαｃｏｓ2αｃｏｓα ｓｉｎαｃｏｓα=ｔｇ4α ( 0°<α <2 2 .5°) ( 1)本文将展开与 ( 1)式相关的思维过程 .1　 ( 1)式的成因　图 1　原线拆射图1.1　问题的提出　如图 1,假设两平面镜ＯＡ ,ＯＰ成 15°角 ,一束光线从Ａ点与ＯＡ成 30°角射出 ,经ＯＰ反射后 ,反射光线ＢＣ又经ＯＡ反射 ,然后ＣＤ经ＯＰ第二次反射 ,此时的反射光线ＤＥ必垂直于镜面ＯＡ(Ｅ为ＤＥ与ＯＡ的交点 ) ,此时再反射 ,光线就按原路返…     

例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

美国纽约州立大学招生会考试卷数学B

(考试时间 :2 0 0 2年 8月 1 3日上午 8:3 0 - 1 1 :3 0 )注意 :考试中需要下列工具 :计算器、圆规、直尺 .参考公式 :三角形的面积ｋ =12 ａｂｓｉｎＣ两角和与差的三角函数ｓｉｎ(Ａ +Ｂ) =ｓｉｎＡｃｏｓＢ +ｃｏｓＡｓｉｎＢｃｏｓ(Ａ +Ｂ) =ｃｏｓＡｃｏｓＢ -ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎ(Ａ -Ｂ) =ｓｉｎＡｃｏｓＢ -ｃｏｓＡｓｉｎＢｃｏｓ(Ａ -Ｂ) =ｃｏｓＡｃｏｓＢ +ｓｉｎＡｓｉｎＢ正弦定理ａｓｉｎＡ=ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ二倍角公式ｓｉｎ2Ａ =2ｓｉｎＡｃｏｓＡｃｏｓ2Ａ =ｃｏｓ2 Ａ -ｓ…     

从三角换元学习中谈数学认知结构的发展

数学学习的过程是一个数学认知结构的发展变化过程 .教师若能从学生原有认知结构中找到生长点 ,把新数学问题由浅入深地分析 ,引导学生思考 ,使新知识不断有程序地作用于学生原有的认知结构 ,形成新的数学认知结构 ,就能收到很好的教学效果 .本文仅以“平方和为定值”型的最值题为例 ,从三角换元法学习中来谈数学认知结构的变化 .例 1　若ｘ2 +ｙ2 =1 ,求ｚ =ｘ +ｙ的最值 .分析　以学生已掌握的ｓｉｎ2 θ +ｃｏｓ2 θ =1为知识生长点 ,设ｘ =ｓｉｎθ ,ｙ =ｃｏｓθ ,θ∈ [-π ,π],则ｚ =ｘ +ｙ =ｓｉｎθ +ｃｏｓθ =2ｓｉｎθ +π4,θ…     

名校基础知识自测

★高一年级一、选择题1 .已知△ＡＢＣ中 ,若ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ ,则必有 (　　 ) .(Ａ)Ａ >Ｂ　　　 (Ｂ)ｃｏｓＡ >ｃｏｓＢ(Ｃ)ｃｏｓＡ <ｃｏｓＢ (Ｄ)ｔａｎＡ >ｔａｎＢ或ｔａｎＡ <ｔａｎＢ2 .在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＣ =1 ,Ｓ△ＡＢＣ =3 ,则ａ +ｂ +ｃｓｉｎＡ +ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ=(　　 ) .(Ａ) 3 3　 (Ｂ) 2 3 93 　 (Ｃ) 2 633 　 (Ｄ) 3 923 .已知△ＡＢＣ中的三边为ａ ,ｂ ,ｃ,且ａ -ｂ =Ｃ·ｃｏｓＢ-Ｃ·ｃｏｓＡ ,则△ＡＢＣ为 (　　 ) .(Ａ)直角三角形　　　 (Ｂ)等腰三角形(Ｃ)等腰直角三角形　 (Ｄ)等腰或直角三…     

关于椭圆的一个命题

设Ｐ1Ｐ2 Ｐ3 Ｐ4 为椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1的内接矩形 (如图1) ,则Ｐ1Ｐ2 ,Ｐ1Ｐ4 分别平行于ｘ轴 ,ｙ轴 .证　不妨设ａ >ｂ ,Ｐｉ(ａｃｏｓαｉ,ｂｓｉｎαｉ) (ｉ =1,2 ,3,4 ) ,0≤α1<α2 <α3 <α4 <2π .因为矩形两条对角线相交于一点 ,且相互平分 ,所以ａｃｏｓα1+ａｃｏｓα3 =ａｃｏｓα2 +ａｃｏｓα4 ,ｂｓｉｎα1+ｂｓｉｎα3 =ｂｓｉｎα2 +ｂｓｉｎα4 ,即 ｃｏｓα1+ｃｏｓα3 =ｃｏｓα2 +ｃｏｓα4ｓｉｎα1+ｓｉｎα3 =ｓｉｎα2 +ｓｉｎα4(1)(2 )∴ (ｃｏｓα1+ｃｏｓα3 ) 2 + (ｓｉｎα1+ｓｉｎα3 ) 2=(ｃｏｓα2 …     

两角互余的几个等价条件

结论 1　已知α ,β为税角 ,ｋ≥ 0 ,则α +β=π2 的充要条件是ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ + 2 βｃｏｓｋα =1 .证　必要性是显然的 ,充分性 :ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ+ 2 βｃｏｓｋα =1 =ｃｏｓ2 β +ｓｉｎ2 β .ｓｉｎｋ + 2 α-ｃｏｓｋ + 2 βｃｏｓｋβ =ｓｉｎ2 β(ｃｏｓｋα -ｓｉｎｋβ)ｃｏｓｋα .假设α + β >π2 ,则α >π2 - β ,β >π2 -α ,∵α ,β ,π2 -α ,π2 - β∈ 0 ,π2 ,∴ｃｏｓα <ｃｏｓ π2 - β =ｓｉｎβ ,　ｃｏｓβ <ｃｏｓ π2 -α =ｓｉｎα ,从而ｓｉｎｋ + 2 α -ｃ…