二次曲线约束下的取值范围题的统一解法

在各类教辅资料上,常常可见到下面的问题: 例1 已知x~2-4x+y~2+3=0, 1)求y/x的取值范围; 2)求y+3/x+1的取值范围;     

换元法解一类取值范围题

例1实数x,y满足x~2+xy-2y~2=1,求S= 3x~2-y~2的取值范围。这是《数学通报》2006年第4期上《一类求取值范围问题的解法》中的一例,也是该刊2007年第9期上《二次方程约束条件下的一类取值范围问题》中的例题。前者用判别式法得到了一个不引人注目     

数学问题1848的错解分析及修正

《数学通报》2010年4月第1848号数学问题为: 已知函数:f(x)=x3+bx,数列{an},其中a1＞0. (1)若an=f(n),当数列{an}为递增数列时,求b的取值范围; (2)若an+1=f(an),当数列{an}为递增数列 时,求首项a1的取值范围.(用b表示,且b≥0) 原解答对于(1),将数列{an=f(n)}递增数列转化为函数f(x) =x3 +bx在[1,+∞)单调递增,进而转化为f′(x) =3x2+b≥0在[1,+∞)上恒成立,从而求出b的范围是:b≥-3.     

割线斜率集是切线斜率集真子集的一个充要条件

《数学通报》2011年第6期刊登的《从割线斜率到切线斜率的不等价转化及其逻辑解读》(以下称文1)一文分析了以下一道题目的解法:题目 已知函数f(x)=-x3+ ax2+ b(a,b∈R),若函数y=f(x)的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2,求a的取值范围.     

恒成立不等式面面观

在高三复习中,我见过很多题目似乎相似,课余加以比较分析,果然有不少发现.题一若|x-(a+1)2/2|≤(a-1)2/2与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集依次为A与B,求A∪B=B时a的取值范围.题二已知p:|1-x-1/3|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0,若p是q的充分条件,求m的取值范围.     

新题征展(61)

A　题组新编1 已知函数 f(x) =lg(ax2 +ax +2 ) ,其中a为实数 .( 1 )若函数 f(x)的定义域是R ,求a的取值范围 ;( 2 )若函数 f(x)的定义域是 ( -2 ,m) ,求a的取值范围 ;( 3 )若函数 f(x)的值域是R ,求a的取值范围 ;( 4)若函数 f(x)的值域是 ( -∞ ,1 ],求a的取值范围 .2 半球的半径为R(R为定值 ) ,它的内接长方体A1B1C1D1-ABCD的下底面ABCD在半球的底面上 .( 1 )求长方体AC1的体积的最大值 ;( 2 )求长方体AC1的所有棱长之和的最大值 .B　藏题新掘3 已知集合A ={x｜x2 -(t2 +t+1 )x+t(t2 +1 ) >0 } ,B={x｜x =12 m2 -m+52 ,0 ≤m…     

一元二次方程根的判别式的应用

<正>一元二次方程根的判别式是初中数学的重要内容,本文以近年中考中所考查的题型为例,归纳整理如下,供同仁们参考.一、求待定字母的取值范围(1)已知方程根的情况,求待定字母的取值范围例1若关于x的方程(k-1)x2+2(k)^(1/2)x+1=0有两个不相等的实数根.求k的獉獉取值范围.析解由题意"方程有两个不相等的实数獉獉根"可知:该方程是一元二次方程,且Δ>0,即     

一道高三联考压轴题的多方法解析

正题目:已知f(x)=lnx,g(x)=mx-1.(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求m的取值范围.(2)若n∈N*,n1,求证3/2~2+5/3~2+…+(2n-1)/n~22lnn.这道题表面是一道不等式题目,仔细深入挖     

关于三次函数切线问题的思考

<正>2014年北京高考文数试卷的20题如下:已知函数f(x)=2x³-3x,(Ⅱ)若过点(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.无独有偶,2016年沧州质检文科试卷上的21题与其相似:已知函数f(x)=ax3-3x,(Ⅱ)若过点(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.无独有偶,2016年沧州质检文科试卷上的21题与其相似:已知函数f(x)=ax³-3x,g(x)=xlnx+63-3x,g(x)=xlnx+6^(1/2)/9,且函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在交点处存在公共切线,(Ⅱ)若     

我为高考设计题目

题55已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在实数x_0,使得f(x_0+1)=f(x_0)+f(1)成立.(1)函数f(x)=1/x是否属于集合M?说明理由;(2)证明:函数f(x)=2~x+x~2∈M;(3)设函数f(x)=1g a/(x~2+1)∈M,求a的取值范围.解(1)假设f(x)∈M,则存在x_0,使得     

看透本质就不是"废招"

<数学通报>2008年第7期刊载了<减少解题中的"废招">一文,文中例6是: 对所有的实数x及1≤t≤√2,都有(x+t2+2)2+(x+at)2＞1/8,求实数a的取值范围.     

点P分椭圆的弦所成定比的范围

由《中学数学》编写的2000年《高三备考专辑》中有这样一道题: 　　已知椭圆x2/9+y2/4=1,过点P(0,3)引直线与椭圆相交于A、B两点,AP/PB=λ,求λ的取值范围.……     

二次函数问题错解例析

二次函数问题,历来是中考的重要考点.有些问题看似不难,但若数学概念模糊,掌握知识不够全面,或粗心大意忽视隐含条件,或考虑问题不周密,加上思维定势的影响,就会形成错误的判断,产生错误的理解,导致错误的结论.现略举几例加以剖析:例1已知抛物线y=(m+3)x2-mx+1与x轴有交点,试求m的取值范围.错解:∵抛物线y=(m+3)x2-mx+1与x轴有交点,∴Δ=(-m)2-4(m+3)·1≥0即m2-4m-12≥0,解得m≤-2或m≥6,故m的取值范围为:m≤-2或m≥6剖析:m的取值范围应满足①:与x轴有交点,即一元二次方程(m+3)x2-mx+1=0的判别式Δ≥0;同时它又是一条“抛物线”,还须满足②…     

课外练习

1.已知f(x)=Sin(ωx+(?))-3~(1/2cos(ωx+(?))(ω>0).(1)求f(x)的图像过原点的充要条件;(2)求f(x)为偶函数的一个充分不必要条件;(3)当f(x)是偶函数且在区间[-1,1]上的图像与x轴恰有10个交点时,求ω的取值范围.(江苏盐城师院数学系04(2)班学109信箱(224002)孙金兰)2.设定义域为一切实数的奇函数f(x)是减函数,且当0≤θ<π/2时,有f(cos2+2msinθ)+f(-2m-2)>0.求m的取值范围     

含参数恒成立问题的三种解法

<正>题目已知函数f(x)=xlnx/(x+1)和直线l:y=m(x-1),若对任意的x∈[1,+∞),f(x)≤m(x-1)恒成立,求m的取值范围;以上是2016年湖北省三月联考数学(理科)第22题,以下给出的三种解法体现了解决含参恒成立问题的三种基本策略.解法1(分离参数)     

一道经典不等式赛题的多种证法

<正>题目已知p>0,q>0,且p³+q3+q³=2,求证:p+q≤2.这是1986年江苏省宿州市初中数学竞赛题.稍作改动,成为1988年江苏省初中数学竞赛题:已知p3+q3=2,其中p,q都是实数,试求p+q的最大值.1993年,该题又成为北京市高一数学竞赛题:x,y为实数且x3=2,求证:p+q≤2.这是1986年江苏省宿州市初中数学竞赛题.稍作改动,成为1988年江苏省初中数学竞赛题:已知p3+q3=2,其中p,q都是实数,试求p+q的最大值.1993年,该题又成为北京市高一数学竞赛题:x,y为实数且x³+y3+y³=2,求x+y的取值范围.此题文字简洁,结构优美,设计精巧,内涵丰富,解法多样,赏心悦目.是一道很值得探究的好题.以下几种证法,在此与读者共享.     

对《巧求值》的指正和另解

<正>《中学生数学》2013年第6期(下)刊载的《智慧窗》第三题《巧求值》及"解答"如下:题目已知:x2-4x-3=0,y2-6y+2=0,求x2+2y2+4x-4y-2的值.参考答案将x2-4x-3=0化为(x+2)2-8(x+2)+9=0.将y2-6y+2=0化为(y+1)2-8(y+1)+9=0.因此,x+2,y+1是一元二次方程t2-8t+9=0的两个根.     

一道高考试题的演变

2008年高考全国卷Ⅰ有这样一道题: 　　已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R. 　　(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间; 　　(Ⅱ)设函数f(x)在区间-(2)/(3),-(1)/(3)内是减函数,求a的取值范围.……     

浅析“动抛物线”问题的转化

<正>1问题提出(2018·北京)在平面直角坐标系x Oy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax²+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.     

问题与解答

一、本期问题 1若f(二+1)=!万一1:,求f(1987)=? 2对之1 im(1.+2“+3“+…+1985t)笼In 3求函爹刀二(x一1):十(x一2广+…十 (x一3969)忍取得最小值时的x值. 大悟县三中郭炳坤提供 4己知,为任意实数,求二次方程二名+二x+(”*1)〔”+2)(”+3)(”+4)+5/4=0恒有实根时佗的取值范围. 5已知△ABC的三边为a、b、e,且a,+b,+C,二ab+西c+ca,问△A刀c是怎样的三角形? 6在△ABC中,已知乙A二600,a=1,求证b十‘(2. 江西泰和中学凌全华提供 7已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,AD》BC,BE》AC,求证CF二AB/2。 8等腰三角形的面积和周长被平行于底边的…