一个无理不等式的证明

文[1]给出了猜想：设α，b〉0，n≥2且，n∈N，0〈λ≤n则 n√α/α＋λb＋n√b/λb＋α≤2/√1＋λ本文给予证明。     

一个无理不等式及其猜想的初等证明

文[1]给出了不等式:设a,b＞0,0＜λ≤2,则(√a/a+λb)+(√b/b+λa)≤2/(√1+λ)…………………(1) 文[2]类比给出了不等式:a,b＞0,0＜λ≤3,则3(√a/a+λb)+3(√b+b+λb)≤2/3(√1+λ)……………(2) 文[2]猜想:a,b＞0,n≥2,n∈N,0＜λ≤n,则n(√a/a+λb)+n(√b+b+λa)≤2/n(√1+λ)……………(3) 文[2]只给出不等式(2)的微分法证明,未能给出初等证明,并指出如何给出初等证明是一个值得继续研究的问题.本文将给出不等式(2)、(3)的一个初等证明;因为要用到不等式(1)证明过程中的一个结论,所以,先证不等式(1).     

两个有趣的无理不等式

本文旨在建立两个十分有意义的无理不等式．     

一类无理不等式

近两年 ,各种中学数学刊物对于代数不等式中的分式不等式的讨论颇多 ,但对无理不等式的关注似乎较少 .本文将利用文 [1 ]的结论 ,即下述引理建立几个无理不等式 ,它们或推广或加强了已知不等式或给出已知不等式的反向估计 .引理　设ａ≤ｘｉ ≤ｂ ,ｉ=1 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 2 ,ｘ1 … ｘｎ =ｓ,ｆ(ｘ)是 [ａ ,ｂ]上的连续的严格上凸函数 ,Ｆ(ｘ1 …ｘｎ) =ｆ(ｘ1 ) … ｆ(ｘｎ) ,则Ⅰ　Ｆｍａｘ =Ｆ ｓｎ,… ,ｓｎ =ｎｆ ｓｎ ,即当且仅当ｘ1 =… =ｘｎ 时Ｆ达到最大值 ;Ⅱ　Ｆｍｉｎ =Ｆ(ａ ,… ,ａ ,ｂ ,… ,ｂ ,ｃ) =ｕｆ(ａ) (ｎ - 1 -ｕ…     

含参数的无理方程或无理不等式的构造解法

解含参数的无理方程、不等式 ,我们希望把它转化为有理方程、不等式 ,故需分类讨论 ,平方去根号 ,讨论过程冗长繁琐 ,学生往往会顾此失彼 ,考虑不周 .近年来的高考题中 ,选择题、填空题等题型由于不要求写出解答过程 ,要求应用数形结合的思想 ,通过图形的启示与诱导 ,找到简捷的思路 ,快速、准确地做出判断 ,得到结果 .对于要求完整写出解答过程的主观性试题 ,由于其包含的知识量大 ,涉及的基本概念多 ,数形结合思想主要用于思路分析、化简运算及推理过程 .1　含参数的无理方程例 1　当ａ取何值时 ,关于ｘ的方程ａ(ａ - 2ｘ) =ｘ - 1有解 ?…     

课本无理不等式的巧证及推广

高中《数学》第二册 (上 )第六章不等式中涉及到一类无理不等式的证明 ,本文先给出它们的一种巧证 ,然后将其作统一推广 .1　巧证引理　如果x≥ 0 ,那么x =x2 .例 1　 (P15例 1)求证 :3+ 7<2 5.证明　 3+ 7=( 3+ 7) 2=10 + 2 2 1<10 + 2 2 5=2 5.例 2　 (P16题 1)求证 :6 + 7>2 2 + 5.证明　 6 + 7=( 6 + 7) 2=13+ 2 4 2>13+ 2 4 0=( 8+ 5) 2 =2 2 + 5.例 3　 (P17题 4 )求证 :1) 3+ 5<4 ;2 ) 13+ 2 >5- 2 .证明　 1) 3+ 5=( 3+ 5) 2=8+ 2 15<8+ 2 16 =4 .2 ) 13+ 2 =2 - 3=( 2 - 3) 2=7- 43>7- 45=( 5- 2 ) 2 =5- 2 .说明　不等式 1)与 2…     

一个无理不等式的修正

笔者拜读了文献[1],受益匪浅,同时发现文中给出的一个无理不等式有误,这个不等式是:~~     

一个无理分式不等式的溯源与推广

对一个形式优美的无理分式不等式问题进行研究,发现它是以Nesbitt不等式为背景衍变而来的,再对该不等式的项数、指数及加权系数进行推广,得到了一些有意义的结论.     

一类无理不等式的深入探究

本文先从3个有趣的代数不等式出发,给出它们的统一深化,进而联系到2道数学竞赛试题和一道征解数学问题,并给出了类似的深化,获得了一些有趣的代数不等式.     

一个双边不等式的推广

文[1]建立并证明了“两个十分有意义的无理不等式”（定理2此略）．     

巧用三角换元法妙解无理不等式

众所周知 ,解无理不等式的常规方法是通过平方 ,把无理不等式转化为有理不等式求解 .笔者发现 ,许多无理不等式 ,若能根据题设条件巧妙地采取三角换元 ,也能实现化无理为有理、化难为易、化繁为简的目的 .下面以几道名题为例予以说明 .例 1　 (第四届ＩＭＯ试题 )解不等式3 -ｘ -ｘ 1>12 .解　∵ ( 3 -ｘ) 2 (ｘ 1) 2 =4,∴可令 3 -ｘ =4ｓｉｎ2 θ ,ｘ 1=4ｃｏｓ2 θ ,θ∈[0 ,π2 ] .则原不等式化为2ｓｉｎθ -2ｃｏｓθ >12 ,即2ｓｉｎθ >2ｃｏｓθ 12 .由θ∈ [0 ,π2 ]可知 ,2ｃｏｓθ 12 >0 ,两边平方并整理 ,得3 2ｃｏｓ2 θ …     

一个无理不等式的修正北大核心

笔者拜读了文献[1],受益匪浅,同时发现文中给出的一个无理不等式有误,这个不等式是：     

一个有理型不等式的类比

文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,若ab≥1/2,则1/(1+a2)+1/(1+b2)≤1+1/(1+(a+b)2)当且仅当a=b=2～(1/2)/2时等号成立.本文给出不等式①的一个类比.     

一个无理不等式的类比

文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,0<λ≤2,则aa λb bλa b≤21 λ(1)本文给出(1)式的一个类比.定理设a,b>0,0<λ≤3,则3aa λb 3bλa b≤231 λ.(2)证令f(x)=311 λx 131 λx(x>0),则f′(x)=-λ3(1 λx)-43-13(1 λx)-43(-λx2)=-λ3(1 λx)-43 λ3(x λ)-43·x-23,于是,f′(x)     

一个不等式与一个猜想的统一证明

文[1]建立并证明了“两个十分有意义的无理不等式”.     

一个猜想不等式的证明

文[2]给出了一个猜想不等武，我刊2006年第17期刊出的文章《一个无理不等式的证明》用归纳法给出的证明有误，原因是λ与n有关，因此无法用归纳假设，对于该不等式，西安交大附中樊益武，天津宝坻区第一中学于士良。河南质量工程职业学院李永利。山东科技大学公共课部岳嵘等作者均给出了较为简洁的证明．[编者按]