平面向量数量积性质的应用

<正>平面向量的数量积是平面向量的核心内容,同时是高考考查的热点.平面向量的数量积分坐标形式与几何形式,利用这两种形式及相关的性质不仅可以解决平面向量的长度、角度、垂直等问题,还可以解决一些函数的最值问题,往往收到化繁为简、化难为易的效果.下面举例说明平面向量数量积性质的应用.一、求解两向量垂直问题     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

三角形外心创设,创新题向量应用

三角形的外心作为平面几何中的一个基本知识点,极具几何性质与结构特征,在平面向量中具有非常重要的价值体现.结合实例,就三角形外心背景下设置一些相关的平面向量的数量积类型加以剖析,总结技巧规律,启示教学应用.     

空间向量 夹角与距离

重点：1）掌握空间向量的几何运算与数量运算；2）理解空间向量平行与共面定理；3）利用空间向量的数量积计算夹角与距离；4）掌握向量平行与垂直的充要条件；5）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影；6）掌握面面垂直的判定定理和性质定理。     

剖析错因反思教学--对一道试题错解的思考

人民教育出版社蔡上鹤老师在“高中数学新教材教学内容”中,有如下一道题目:已知△ABC中,(?)=a,(?)=b,(?)=c,为什么a·b=b·c=c·a是△ABC为正三角形的充要条件?笔者2002年6月将该题的充分性证明作为高一期末试题,有些学生是这样证明的:     

平面向量的运算及其应用

在高中数学中，平面向量的运算主要包括两类，一是向量的线性运算，二是向量的数量积．这些运算都有明确的几何意义，因此学好向量可以为研究数学的其它问题(特别是平面几何)带来很大的方便．     

平面向量的几何意义的应用

<正>平面向量作为一种基本工具,在平面几何问题的求解中具有极其重要的地位与作用,而教材中对于平面向量给出了几何表示和坐标表示两种形式,相比较而言,同学们对于向量的坐标表示更容易接受和理解,但对向量的几何表示包括几何运算往往感到比较困难,然而从平面向量的几何意义来看,其中又有很多独特之处,如能合理地运用向量的加法、减法的平行四边形法则或三角形法则以及向量平行与垂直的充要条件,结合平面向量的基本定理等这些几何意义,那么在解决平面几何问题时往往也能起到避繁就简的效果.     

解斜三角形

本单元运用平面向量的数量积推导出三角形的正弦定理和余弦定理，连同三角形、三角函数的其它知识作为工具．比较系统地研究了求解斜三角形这个课题．     

强化八种意识 引领向量解题

求解向量问题时,要强化基底意识、坐标意识、斜坐标意识、平方意识、点乘意识、图形意识、三点共线意识、极化恒等式意识等八种意识,进而引领解题的方向.     

以皓骏设计“平面向量的数量积”的积件及教学应用

平面向量的数量积是向量与向量的内积,是矢量与标量的桥梁,密切联通了代数与几何,是几何代数化的主要工具,是发展学生数学运算、数学抽象等核心素养的重要载体.在传统的“黑板+粉笔”的教学中,至少有三个难点:其一,难以理解平面向量数量积的几何意义;其二,难以想象平面向量数量积的结果是一个标量;第三,难以发现平面向量数量积的性质.本文试图应用Hawgent皓骏设计“平面向量的数量积”的积件,破解这些难点的同时,发展学生数学抽象、直观想象等核心素养.如下概述本积件的制作原理与过程以及在教学中的主要应用.详细操作步骤请扫描二维码学习微课.     

向量数量积在解代数题率的应用

由于平面向量融数、形于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此,向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法,使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用．利用平面向量这个工具解题,可以简捷、规范地处理数学中的许多问题．下面分类介绍向量的数量积在解代数题中的应用．     

向量回路法简解竞赛题

例1(第23届希望杯全国数学邀请赛培训题高一41题)△ABC中,已知AB=4,BC=5,AC=6,若点O是△ABC的外心,则→AO.→AC的值是.分析标准解答给出的解法是应用余弦定理、正弦定理和向量数量积的定义,繁琐冗长.事实上,若注意到题设条件AC=6及向量回路A→M→O,便有如下简解.简解取AC的中点M,则必有MO⊥AC,     

一个向量模的多种解法

<正>向量a的模是指向量a的长度即向量a的大小,记作|a|.对|a|有两种基本的思考方法,一是通过|a|2=a·a=a2,进行向量的数量积运算,二是若a=(x,y),则|a|=x2+y2,进行向量的坐标运算,这是处理与长度(模)有关问题的主要依据.     

“正弦定理(第1课时)”教学设计与反思

<正>一、教学背景(一)教学内容分析本节内容安排在苏教版数学必修5第一章,"正弦定理"第1课时,是在高一学生学习了三角等知识之后,是对三角知识的应用;同时,它作为三角形中的一个定理,也是对初中解直角三角形内容的直接延伸,因而定理本身的应用十分广泛.实际教学中,"正弦定理"这部分内容共分为三个层次.第一层次,教师引导学生对实际问题进行探索,并大胆提出猜想.第二层次由猜想人手,带着疑问,以及特殊三角形中边角的关系的验证,通过"作高法"、"等积法"、"外接圆法"、"向量法"等多种方法证明正弦定理,验证猜想的正确性,并得到三角形面积公式.第三层次利用正弦定理解决引例,最后进行     

透过“教材”关注“向量”

自新课程改革以来,向量正式从"幕后"走向"前台",成交衔接代数、几何与三角的纽带,把向量和向量法穿插、渗透和融合到其他知识点中,已成为数学试题中一道亮丽的风景.现在笔者通过对人教A版的教材例题或习题来谈谈向量与向量法的广泛应用.     

用向量数量积的几何意义妙解题三例

说明 此题原标准解答是利用正弦定理解答,较繁琐,事实上,注意到向量的加法运算及效量积的几何意义,便有如下简解．     

向量在平面几何中的应用

<正>由于向量具有几何形式和代数形式的"双重身份".其特殊的身份决定了其特殊的功能,灵活运用平面向量的"工具性",可以使很多相关问题简单化.本文就向量在平面几何中的具     

融情于景 推理探究——“正弦定理”的教学设计与反思

正弦定理是解三角形的一个重要定理,是用向量法研究三角形边角关系过程中自然而然得到的结论.在参加市青年教师教学竞赛时,笔者以培养学生逻辑推理等数学核心素养为目标设计了“正弦定理”这节课,以探究台球桌上的数学奥秘引入并贯穿整个课堂,融情入景,激发学生兴趣.通过多个探究活动的设计,让学生利用数量积自主探究定理的证明和相关结论,在推理探究的过程中完成逻辑推理等数学核心素养的渗透.     

向量数量积的一些应用

两个非零向量的数量积指的是它们长度的乘积再乘以它们之间夹角的余弦．也就是a·b。｜a｜．｜b｜．cosα,其中α是向量五α万b之间的角．