综合题新编选登

题165 （Ⅰ）已知函数f（x）=-x^2-2x（x∈（-1，2）），P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是f（x）图象上的任意两点，且x1〈x2.     

一个定理的再推广

定理 若函数f^-1（x），g^-1（x）分别是函数f（x），g（x）的反函数（下同），且g^-1（x）=g（x），则方程f（x）=g（x）有根a←→方程f^-1（x）=g（x）有根g（a）．     

含有溶质的流体在两层多孔介质中的渗流问题

本文讨论含有溶质的流体在两层多孔介质中的渗流问题，即（θ（x，U）t=（K（x，U）Ux-K（x，U））x，（x，t）∈GT，（θ（x，U）V（x，t）t=（DθVx）x-（V（KUx-K））x，（x，t）∈GT，U（x，0）=U0（x），V（x，0）=V0（x），0≤x≤2，U（0，t）-h0（t），U（2，t）=h2（t），0≤t≤T，V（0，t）=g0（t），V（2，t）=g2（t），0≤t≤T。其中θ（x,U)=θ1(x,U)，当（x,t)∈D1=｛0≤x≤1,0≤t≤T｝；θ（x,U)=θ2(x,U)当（x,t）∈D2＋1｛1＜x≤2，0≤t≤T｝。K（x,U)=K1(x,U)当（x,t)∈D1;K(x,U)=K2(x,U)，当(x,t)∈D2。θi，Ki分别是Di上的介质含水率及水力传导率，V是溶质的浓度，此外还要求U，V，K（x,U)(Ux-1)及DθVx V(KUx-K)在x=1连续。     

二元全微分的原函数的求法

设du＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy，称P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为函数u（x，y）的全微分，u（x，y）为P（x，y）dx＋Q（x，x）dx的一个原函数。若已知P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为某一函数的全微分，如何求u（x，y）呢？今举例说明如下：例求全微分（x＋y）dx＋（x—y）dy的一个原函数。首先注意，在本题中P（x，y）一一函数的全微分，即存在原函数u（x，y），使有du（x，y）＝（x＋y）dx＋（x－y）dy．解法一，简单路径法可选取或为积分路径，即这里取则解法二，微分方程法由前式解得。（x，s）一专x’＋xv＋。s），其中。，）为y的一个…     

关于利用等价无穷小代换来求极限的探讨

一、利用等价无穷小代换来求极限的一些容易证明的定理定理1设无穷小量f（x）～（x），且limf（x）·g（x）存在，则这里，（1）无穷小量f（x）～（x），表示f（x）与（x）是当x→x0或x→∞时的等价无穷小；（2）limf（x）表示limf（x）或limf（x）．下同。定理2设无穷小量f（x）～（x），且存在，则由这二个定理可知，一般在乘或除的情况下是可用等价无穷小代换来求极限的。此外在幂指函数求极限中，也常利用等价无穷小代换，这有下面二个定理，这里只证后一个定理。定理3设八x）＞0，无穷小量g（x）～～（x），且tim八x）”“’存在，则定…     

一类流传很广的错题

题1 若f（x）是定义在实数集上的偶函数，且f（x＋5）=-f（x），当x∈（5，10）时，f（x）=1/x，则f（2003）的值等于（ ）     

n次迭代还原函数的一个构造定理

定义1 记函数f（x）=f^{1}（x），f（f（x））=f^{2}（x），…，f（f（…f（x）…））=f^{n}（x），f^{n}（x）为f（x）的n次迭代．     

简议用相关点法求轨迹方程

若动点P（x，y）的变动依赖于另一动点Q（x0，y0），而Q在某已知曲线F（x，y）=0（或具有某种规律的图形）上（这时把从动点P叫做轨迹动点，主动点Q叫做点P的相关点），求出关系式{x0=f（x,y） y0=（x,y） （＊），并代入方程F（x，y）=0，得所求轨迹（或轨迹所在曲线）方程F[f（x，y），g（x，y）]=0，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，     

一道联考题的探源及解法分析

例 （湖北省百所重点中学2010届高三联合考试理科第10题）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2010，且对任意x∈R，满足f（x＋2）-f（x）≤3·2^x，f（x＋6）-f（x）≥63·2^x，则f（2010）等于 （ ）     

对一组容易混淆问题的剖析

问题已知函数f（x）=（x-1）^2，g（x）=x^3-3x^2-6x＋m． 1）若对于任意的x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数优的取值范围；     

三角恒等式与三角方程

设有两个函数y=f1（x）与y=f2（x），如果对任意x0∈D都有f1（x0）=f2（x0），则称f1（x）=f2（x）是D上的恒等式，如果f1（x），f2（x）中有一个是三角函数式，就称此恒等式为三角恒等式。     

从L’Hospital法则失效想到的

大家都很熟悉L’Hospital法则，其叙述和证明如下：设f（x）和F（x）满足如下条件：（2）在点的某空心邻域O＜|x－a|＜σ内，f（x）与F’（x）存在，且f’（x）≠0．证明因为x→a时，f（x），F（x）的极限与在x=a处的值没有关系，因此我们定义f（a）=F（a）=O，则应用Cauchy中值定理，可得：当x→a时，由于介于x和a之间，所以，故由条件（3）得从这个证明过程中，我们不容易发现在不存在（不包括无穷大）时，为什么L’Hospital法则就不能用？定义设x→a，5介于x和a之间，则称liing（Z）为x、a时g（x）的子极限。从I，Uospital法则的证…     

一道存在性问题的巧解

记G（x）=f（x）-g（x），即求G（x）〉0在[1，e]上有解时P的取值范围，只需G（x）在[1，e]上的最小值大于0即可．尝试求G（x）的最小值十分困难，改变思路求解．     

一个二阶三点边值问题的可解性

本文考虑如下这位问题：x″＝f（t，x，x′）（0＜t＜1），x（0）＝0，x（ξ）＝x（1），其中ξ∈（0，1）是给定的．利用基于度理论的一定不动点定理，得到了以上过值问题有解的某些充分条件     

三阶非线性边值问题的奇摄动(英)

本文利用Volterra型积分算子和微分不等式技巧给出了一类三阶非线性微分方程奇摄动边值问题：εX＝f（t，x，x，ε，x（0）＝A，g（x'（0），（0），ε）＝0，h（x（1），x（1），ε）＝0解的存在性．唯一性及渐近估计．     

积分上限函数在运用微分中值定理证题中的应用

一、在运用洛尔定理证题中的应用分析将结论改写为，由于给出的条件：f（x）在［0，1］上连例3设y＝f（x）是闭区间［0，1」上的任一非负连续函数。（1）试证存在x。E（O，1），使得在区间「0，x＊上以f（x。）为高的矩形面积等于在区间［x。，l］上以y一八x）为曲边的梯形面积；（2）设入。）在（0，1）内可导，且／（x）＞－——，证明（1）中的lr。唯一。分析（1）矩形面积一T／（x。），曲边梯形面积一I人x）d。，即欲证明的结论为。。八x。）一if。）dx．If（）dx－x。f（。）一O（一）（）’。x＝。。一Ifx）dx－。。八万。）一0，…     

2006全国高中数学联赛的函数迭代题

2006年全国高中数学联合竞赛一试最难的题是第15题： 设f（x）=x^2＋a，记f^1（x）=f（x），f^n（x）=f（f^n-1（x））,     

二阶系统边值问题的正解

本文以关于非线性全连续算子的锥不动点定理为工具，研究以下二阶系统边值问题x"（t）＋λa（t）f（x（t），y（t）＝0，y"（t）＋λb（t）g（x（t），y（t））＝0，x（0）＝x（1）＝y（0）＝y（1）＝0．在不假定f单调的情况下，本文得出了上述问题存在正解的若干充分条件．     

素环的李结构

设R是一个咎征非2的素环，U是R的一个平方封闭的李理想，d1，d2，d是R的导子，δ是R的广义导子．本文证明了U为中心李理想，如果以下条件之一成立：（1）d（x）od（y）=xoy；（2）d（x）οd（y）＋xοy=0；（3）d1（x）οd2（可）=0；（4）δ（[x，y]）=0；（5）δ（xοy）=0对所有的x，y∈U．     

函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…